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对数正态分布


对数正态分布
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对数正态分布 機率 密度 函數

μ =0

累積分布函數

μ =0

參數

值域

概率密度函数

累積分布函數

期望值

中位數

眾數

方差

偏態

峰態

熵值

動差生成函數 (参见原始动差文本)

特徵函數

is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes

在概率论与统计学中 对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分 , 布。如果 X 是正态分布的随机变量,则 exp(X) 为对数分布;同样,如果 Y 是 对数正态分布,则 ln(Y) 为正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立

因子的乘积,则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资 的长期收益率,它可以看作是每天收益率的乘积。 对于 ,对数正态分布 的概率分布函数为

其中



分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是

方差为

给定期望值与标准差,也可以用这个关系求



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与几何平均值和几何标准差的关系 矩 局部期望 参数的最大似然估计 相关分布 进一步的阅读资料 参考文献 参见

[编辑] 与几何平均值和几何标准差的关系

对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下,几何平 均值等于 ,几何平均差等于 。

如果采样数据来自于对数正态分布,则几何平均值与几何标准差可以用于估计置 信区间,就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。 置信区间界 对数空间 3σ 下界 2σ 下界 1σ 下界 1σ 上界 2σ 上界 3σ 上界 几何

其中几何平均数

,几何标准差

[编辑] 矩
原始矩为:

或者更为一般的矩

[编辑] 局部期望
随机变量 在阈值 上的局部期望定义为

其中

是概率密度。对于对数正态概率密度,这个定义可以表示为

其中 是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及 经济领域都有应用。

[编辑] 参数的最大似然估计
为了确定对数正态分布参数 μ 与 σ 的最大似然估计,我们可以采用与正态分 布参数最大似然估计同样的方法。我们来看

其中用

表示对数正态分布的概率密度函数,用

— 表示正态分布。

因此,用与正态分布同样的指数,我们可以得到对数最大似然函数:

由于第一项相对于 μ 与 σ 来说是常数,两个对数最大似然函数





同样的 μ 与 σ 处有最大值。因此,根据正态分布最大似然参数估计器的公式 以及上面的方程,我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计

[编辑] 相关分布
?

如果 分布。



,则

是正态

?

如果

是有同样 μ 参数、而 σ

可能不同的统计独立对数正态分布变量 ,并且

,则 Y 也

是对数正态分布变量:



[编辑] 进一步的阅读资料
?

Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion", in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994.

[编辑] 参考文献
? ?

对数正态分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957) Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues, E.
Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001). 对数正态分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4 Eric W. Weisstein et al. 对数正态分布 at MathWorld. Electronic document, 2006 年 10 月 26 日造訪.

? ?

[编辑] 参见
? ? ?

几何平均数 几何标准差 误差函数
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概率分布
均勻 泊松 曼 ? 对数 δ ? 分形 ? 伯努利 ? 几何 ? 二項 ?β -二項? ? 超几何 ? 多项 ? 負二项 ? 玻尔兹 复合泊松 ? 退化 ? 高斯-庫茲明 ? ? 拉德馬赫 ? Skellam ? Yule-Simon ? 齐夫 ? 齐夫-曼德尔布罗特 ? 抛物线

离散概率分布

单随机变量

多随机变量

Ewens 抽样公式 均勻 ? 正态 ? 指数 ? β (貝塔) ? β ' (第 二類) ? 柯西 ? χ ?(卡方) ? δ (德爾 塔) ? 爱尔朗(Erlang) ? 广义误差 ? F ? 衰落 ? Fisher 的 z ? Fisher-Tippett ? γ (伽瑪) ? 广义极值 ? 广义双曲 ? 半邏輯 ? Hotelling 的 T 平方 ? 双曲正割 ? 超指数 ? 逆 χ ? ? 逆高斯 ? 广义逆高斯 ? 逆 γ ? Kumaraswamy ? Landau ? 拉普拉斯 ? 列維 ? 稳定 ? 邏輯 ? 对数正态?麥克斯韋-玻爾茲 曼?麦克斯韦速率分布律 ? 玻色-愛因斯坦 ? 費米-狄拉克 ? Pareto ? Pearson ? 極角 ? 餘弦平方 ? 瑞利 ? 相對論的 Breit-Wigner ? 萊斯 ? t(學生氏) ? 三 角 ? 第一類 Gumbel?第二類 Gumbel ? Voigt ? von Mises ? 韋氏 ? Wigner 半圓形 狄利克雷 ? 肯特 ? 矩陣常態分配 ? 多變 量常態分配 ? von Mises-Fisher ? Wigner 拟概率 ? Wishart

单随机变量 连续概率分布

多随机变量

其它分布

康托尔分布 ? 条件概率 ? 指数分布族 ? infinitely divisible ? location-scale family ? 边缘 ? 最大熵 ? phase-type ? 后验概率 ? 先验概率 ? 拟概率 ? 抽樣分配 ? singular


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