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18学年高中数学导数及其应用章末小结知识整合与阶段检测教学案苏教版2_21803021105

内部文件,版权追溯 第一章 导数及其应用 [对应学生用书 P31] 一、导数的概念 1.导数 Δy 函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),当 Δ x 无限趋近于 0 时,比值 = Δx f x0+Δ x -f x0 无限趋近于一个常数 A,则称 f(x)在点 x=x0 处可导,称常数 A 为函 Δx 数 f(x)在点 x=x0 处的导数,记作 f′(x0). 2.导函数 若 f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则 f′(x)在各点的导数中随着自变量 x 的变 化而变化,因而也是自变量 x 的函数,该函数称为 f(x)的导函数.记作 f′(x). 二、导数的几何意义 1.f′(x0)是函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率,这是导数的几何意义. 2.求切线方程: 常见的类型有两种: 一是函数 y=f(x)“在点 x=x0 处的切线方程”,这种类型中(x0,f(x0))是曲线上的点, 其切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 二是函数 y=f(x)“过某点的切线方程”,这种类型中,该点不一定为切点,可先设切 点为 Q(x1,y1),则切线方程为 y-y1=f′(x1)(x-x1),再由切线过点 P(x0,y0)得 y0-y1= f′(x1)(x0-x1),又 y1=f(x1),由上面两个方程可解得 x1,y1 的值,即求出了过点 P(x0,y0) 的切线方程. 三、导数的运算 1.基本初等函数的导数 (1)f(x)=C,则 f′(x)=0(C 为常数); 1 (2)f(x)=x ,则 f′(x)=α ·x x α α -1 (α 为常数); x (3)f(x)=a (a>0 且 a≠1),则 f′(x)=a ln a; (4)f(x)=logax(a>0,且 a≠1),则 f′(x)= (5)f(x)=sin x,则 f′(x)=cos x; (6)f(x)=cos x,则 f′(x)=-sin x. 2.导数四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)? 1 xln a ; ?f x ?′=f ? ?g x ? x g x -f x g g2 x x (g(x)≠0). 四、导数与函数的单调性 利用导数求函数单调区间的步骤: (1)求导数 f′(x); (2)解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0; (3)写出单调增区间或减区间. 特别注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连接. 五、导数与函数的极值 利用导数求函数极值的步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)检验 f′(x)=0 的根的两侧的 f′(x)的符号, 若左正右负, 则 f(x)在此根处取得极 大值. 若左负右正,则 f(x)在此根处取得极小值,否则此根不是 f(x)的极值点. 六、求函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求 f(x)在(a,b)内的极值; (2)将(1)求得的极值与 f(a)、f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个 值为最小值. 特别地,①当 f(x)在[a,b]上单调时,其最小值、最大值在区间端点取得;②当 f(x) 在(a,b)内只有一个极值点时,若在这一点处 f(x)有极大(或极小)值,则可以判断 f(x)在 该点处取得最大(或最小)值,这里(a,b)也可以是(-∞,+∞). 七、导数的实际应用 2 利用导数求实际问题的最大(小)值时,应注意的问题: (1)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义去考查,不符合实际意义的 值应舍去. (2)在实际问题中,由 f′(x)=0 常常仅解到一个根,若能判断函数的最大(小)值在 x 的变化区间内部得到,则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值. 八.定积分 (1)定积分是一个数值.定积分的定义体现的基本思想是:先分后合、化曲为直(以不变 代变). ? 定积分的几何意义是指相应直线、曲线所围曲边梯形的面积.要注意区分? ?af(x)dx,?a |f(x)|dx 及?? ?f b a b b ? x x? ?三者的不同. (2)微积分基本定理是计算定积分的一般方法,关键是求被积函数的原函数.而求被积 函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算, 要注意它们在计算和求解中的不同, 避免 混淆. ?对应阶段质量检测 一 ? ? ? ? 见8开试卷 ? 一、填空题(本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在题中横线上) 1.已知函数 f(x)=ax +c,且 f′(1)=2,则 a 的值为________. 解析:∵f(x)=ax +c,∴f′(x)=2ax, ∴f′(1)=2a, 又∵f′(1)=2,∴a=1. 答案:1 2.曲线 y=x -4x 在点(1,-3)处的切线的倾斜角为________. 解析:∵y′=3x -4, ∴当 x=1 时,y′=-1,即 tan α =-1. 3 又∵α ∈(0,π ),∴α = π . 4 3 答案: π 4 3.已知函数 f(x)=-x +ax -x+18 在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数 a 的取值 范围是________. 3 2 2 3 2 2 3 解析:由题意得 f′(x)=-3x +2ax-1≤0 在(-∞,+∞)上恒成立,因此 Δ =4a -12≤0? - 3≤a≤ 3,所以实数 a 的取值范围是[- 3, 3]. 答案:[- 3, 3] 4.y=2x -3x +a 的极大值为 6,则 a=________. 解析:y′=6x -6x=6x(x-1), 令 y′=0,则 x=0 或 x=1. 当 x=0 时,y=a,当 x=1 时,y=a-1. 由题意知 a=

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