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湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2013-2014学年高二数学下学期期中联考 理 新人教A版

宜昌市部分示范高中教学协作体 2014 年春季期中考试 高二数学试题(理科)
(考试时间:120 分钟 卷面满分:150 分) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.若 n=(1,-2,2)是平面α 的一个法向量,则下列向量能作为平面α 法向量的是 A.(1,-2,0) B.(0,-2,2) C.(2,-4,4) D.(2,4, 4)

2.已知命题 p : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则 A. ?p : ?x ? R, x2 ? 0 C. ?p : ?x ? R, x2 ? 0 B. ?p : ?x ? R, x2 ? 0 D. ?p : ?x ? R, x 2 ? 0

3.下列关系中,是相关关系的为 ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系; ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系;

③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. A.①② B.①③ C.②③ D.②④

4.给定两个命题 p、q,若 ? p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是 ? q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是 0.4,则此人三次上班途中遇红灯的次 数的期望为 3 A.0.4 B.1.2 C.0.4 D.0.6

6.抛物线顶点是坐标原点,焦点是椭圆 x ? 4 y ? 1的一个焦点,则此抛物线的焦点到抛物线准线
2 2

的距离是 A. 2 3 B. 3 C.

3 2
2

D.

3 4

7.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,σ A.0.477 B.0.628

).若 P(ξ >2)=0.023,则 P(-2≤ξ ≤2)= D.0.977

C.0.954

8.已知圆柱的底面半径为 2,高为 3,用一个与底面不平行的平面去截,若所截得的截面为椭圆,
1

则椭圆的离心率的最大值为 A. 1 B.

3 5

C.

2 3

D.

4 5
P

9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面为正方 形,侧面 PAD 与底面 ABCD 垂直,M 为底面所在平面内的一个动点, 若动点 M 到点 C 的距离等于点 M 到面 PAD 的距离,则动点 M 的轨迹 为 A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线 A 10. 已知两点 M (1, ), N ( ?4,? ) , 给出下列曲线方程: ① 4x ? 2 y ? 1 ? 0 ; ② x2 ? y2 ? 3; M M M

D B

C

5 4

5 4



x2 ? y2 ? 1; 2



x2 ? y2 ? 1. 2

在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 A.①③ B.②④ C.①②③

D.②③④

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答 错位置,书写不清,模棱两可均不得分)

1 ? ? 11.设二项式 ? x ? ? 的展开式中的常数项为 x? ?

n



12.从

中任取三个不同的数作为椭圆方程

中的系数,则确定不同的

椭圆的个数为______________。

13.已知数据 x1 , x2 ,?, xn 的平均数 x ? 5 ,方差 S 2 ? 4 ,则数据 3x1 ? 7,3x2 ? 7,?,3xn ? 7 的方差 为 。

14.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所 成角的余弦值是

x2 y2 15.已知 2+ 2=1(a>b>0),M,N 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上任意一点,且直线 PM、PN 的 a b
2

斜率分别为 k1,k2(k1k2≠0) ,若| k1 |+| k2 |的最小值为 1,则椭圆的离心率为_____ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

___.

16. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 PA 的长为 2,且 PA 与 AB、 0 AD 的夹角都等于 60 , M 是 PC 的中点, P 设 AB ? a, AD ? b, AP ? c .
M

(1)试用 a, b, c 表示出向量 BM ; (2)求 BM 的长.
A D B C

17. (本小题满分 12 分) 已知命题 p:方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆; 2m m ? 1

命题 q:双曲线

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) 。 5 m

若命题 p、q 满足: p ? q为假,p ? q为真 , 求 m 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分) 已知排球场地长 18 m,在一次中国女排与古巴女排的比赛中,由中国女排队长冯坤发球,发 球中,冯坤所在的位置距离球网 11 m(垂直距离),发球点在距离地面 2.3 m 处,球到达的最高点 距离地面 4.3 m,与球网的水平距离为 3 m(靠近发球位置这边),如上图,则此球能否发在排球场 内.

3

19、 (本小题满分 12 分) 某班从 6 名班干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加学校学生会的干部竞选. (1)设所选 3 人中女生人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望; (2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.

20 (本小题满分 13 分)
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如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 ,

BC ? 1 , PA ? 2 ,

E 为 PD 的中点

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(Ⅰ) 求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ) 在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC ,并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离
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21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),A(0,a),B(-b,0),且|AB|=5,S△OAB=6,直线 l:x=

y2 x2 a b

my+n 与椭圆 C 相交于 C、D 两点,P 为椭圆的右顶点(P 与 C、D 不重合),PC⊥PD.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)试判断直线 l 与 x 轴是否交于定点,若是,求出该点坐标,若不是说明理由.

4

宜昌市部分示范高中教学协作体 2014 年春季期中考试 高二数学(理科)参考答案 一、选择题(每小题 5 分)1~5 CCAAB 6~10 BCBBD 二、填空题(每小题 5 分) 11、(?1)
r
2n

C

r n

或 ( ?1) 3

C

2n 3

n

r 或 (?1)

C

r
3r 2

(评分时:备注条件放宽要求) ;

12、12;

13、36;

14、

2 ; 5

15、

3 2
P

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.

1 1 解: ?1? BM ? BC ? BP ? BC ? AP ? AB 2 2 1 ? b?c?a ……………6分 2 2 1 2 ? 2 ? BM ? ? b ? c ? a ? 2 2 1 2 2 6 = b ? c ? a ? 2b c ? 2a b ? 2a c = 4 4 6 ? BM= 2

?

? ?

?

?

?

M

?

?

D A B

C

?

?

?m-1<>0 1 ? 17. 解: 由 P 得: ?1 ? m>2m ? 0 ? m< 3 ?2m ? 0 ?
4分 由命题 Q 得:

?????????

?m ? 0 ? ? 0<m<15 ? 2 5? m 1 ? ? 22 ? 5 ?
由已知得 p 假 q 真 故 m 的取值范围是 ??????????12 分

??????????8 分

1 ? m ? 15 3

18.解: 建立如图所示的直角坐标系。则最高点 M 为(-3,4.3).

??????????2
5

分 故方程可设为 y=a(x+3) +4.3(a<0).???4 分 发球点的坐标 C 为(-11,2.3), 1 代入方程可得 a=- , ????7 分 32 1 2 ∴抛物线方程为 y=- (x+3) +4.3,???8 分 32 1 43 2 令 x=9,则 y=- (9+3) + <0, ???10 分 32 10 故球能发在场内. ????12 分 19、解: (1)解: ? 的所有可能取值为 0,1,2. ??????????1 分
2

3 1 1 2 C4 C 42C 2 C4 C 1 3 1 依题意得: P ( x=0) = 3 = ,P ( x= 1) = 3 = ,P ( x=2) = 3 2 = C6 5 C6 5 C6 5

ξ P

0

1

2

1 5

3 5

1 5

??????4 分



Eξ =0×

1 3 1 +1× +2× =1 5 5 5

????????6 分

(2)解法 1:设“男生甲被选中”为事件 A, “女生乙也被选中”为事件 B。
1 C52 1 C4 1 P ? A ?= 3 = ,P ? AB ?= 3 = , C6 2 C6 5

………10分



P?B |A ?=

P ? AB ? 2 = P ? A? 5

故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为

2 . 5

???????12 分

解法 2:设“男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中”为事件 C ,
2 从 4 个男生、2 个女生中选 3 人,男生甲被选中的种数为 C5 ? 10 ,

???8 分

男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为 C1 4 ? 4, ∴ P ?C ? ?

????????????10 分

C1 4 2 4 ? ? . 2 C5 10 5
2 . 5
??????12 分

故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为

20 解: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,
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则 A, B, C, D, P, E 的坐标为 A(0, 0, 0) 、 B( 3,0,0) 、 C ( 3,1,0) 、
6

1 D(0,1, 0) 、 P(0, 0, 2) 、 E (0, ,1) , 2
从而 AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0,?2). 设 AC与PB 的夹角为 ? , 则

????2 分 ??4 分

cos ? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

????6 分

∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 14

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??????7 分

(Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为 ( x,0, z) ,

1 ,1 ? z ) , 2 由 NE ? 面 PAC 可得,
则 NE ? (? x,
? ? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0. 1 ? ? z ? 1 ? 0, ?(? x, 2 ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? ? 即? 化简得? 1 ? 3 x ? ? 0. ?(? x, 1 ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ? 2 ? ? 2 ?

??????8 分

? 3 ?x ? ∴? 6 ?z ? 1 ?

即 N 点的坐标为 (

3 ,0,1) , 6
3 6
2

??????12 分

从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为 1,
2 2

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??????13 分

a +b =5 ? ?1 21.解:如图:(1)由已知得,? ab=6 , 2 ? ?a>b>0
∴a=4,b=3. ∴椭圆为 + =1. 16 9 ???4 分 ????5 分

y

2

x

2

(2)由(1)知,P(3,0),设 C(x1,y1),D(x2,y2),

x=my+n ? ? 2 2 2 2 2 由? y x ,消去 x 并整理,得(16m +9)y +32mny+16n -144=0, + =1 ? ?16 9
32mn 16n -144 ∴y1+y2=- 2 ,y1y2= . 2 16m +9 16m +9 → → ∵PC⊥PD,∴PC·PD=0, 即(x1-3,y1)·(x2-3,y2)=0,
7
2

???8 分

∴(x1-3)(x2-3)+y1y2=0.

??????10 分

又∵x1=my1+n,x2=my2+n, ∴(my1+n-3)(my2+n-3)+y1y2=0, 即(m +1)y1y2+m(n-3)(y1+y2)+(n-3) =0, 16n -144 32mn 2 2 ∴(m +1) -m(n-3)× 2 +(n-3) =0, 2 16m +9 16m +9 由于 P、C、D 不重合,∴n≠3. ∴16(m +1)(n+3)-32m n+(16m +9)(n-3)=0. 21 即 25n+21=0,∴n=- . 25
2 2 2 2 2 2

???????12 分

? 21 ? ∴直线 l 与 x 轴的交点是定点,其坐标为?- ,0?. ? 25 ?

??????14 分

8