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2015届高考数学一轮总复习 6-2等差数列

2015 届高考数学一轮总复习 6-2 等差数列
基础巩固强化 一、选择题 1.(文)(2013· 北京东城区统一检测)已知数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3=6,S3 =12,则公差 d 等于( )

5 A.1 B. C.2 D.3 3 [答案] C [解析] 根据已知,a1+2d=6,3a1+3d=12,解得 d=2. (理)已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前 10 项和 S10 等于( A.64 B.100 C.110 D.120 [答案] B [解析] 设数列{an}的公差为 d,由题意得,2a1+d=4,2a1+13d=28,所以 a1=1,d=2. 10×9 于是 S10=10×1+ ×2=100. 2 b4-b1 [点评] 可设 bn=a2n-1+a2n,则{bn}为等差数列,其公差 D= =8, 3 ∴S10=b1+b2+?+b5=5b1+ 5×4 D=100. 2 ) )

2.(文)(2012· 辽宁文,4)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=( A.12 [答案] B [解析] 由等差数列的性质得,a2+a10=a4+a8=16,B 正确. [点评] 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质. B.16 C.20 D.24

(理)(2013· 昆明重点高中检测)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a4+a5=12,则 S7 的值 为( ) A.28 B.42 C.56 D.14 [答案] A [解析] ∵a3+a4+a5=3a4=12, ∴a4=4, ∴S7=7a4=28,故选 A. 3.(2013· 玉溪模拟)数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N*).若 b3=-2, b10=12,则 a8=( )

A.0 B.3 C.8 D.11 [答案] B [解析] 因为{bn}是等差数列,且 b3=-2,b10=12,

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12-?-2? 故公差 d= =2.于是 b1=-6, 10-3 且 bn=2n-8(n∈N*),即 an+1-an=2n-8. 所以 a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=?=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3. [解法探究] 求得 bn=2n-8 后可用逐差相加法求 a8. 4.(文)在等差数列{an}中,a9+a11=10,则数列{an}的前 19 项之和为( A.98 B.95 C.93 D.90 )

n?a1+an? [分析] 由求和公式 Sn= ,及等差数列的性质 a1+a19=a9+a11 可求解结果. 2 [答案] B 19×?a1+a19? 19×?a9+a11? [解析] S19= = 2 2 19×10 = =95,故选 B. 2 (理)(2013· 天津新华中学月考)公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等 比中项,S8=32,则 S10 等于( )

A.18 B.24 C.60 D.90 [答案] C 8?a1+a8? [解析] 因为 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,所以 a3a7=a2 =32,所以 a1+a8=8, 4,又 S8= 2 10×9 解得 a1=-3,d=2,所以 S10=10a1+ d=-3×10+90=60,选 C. 2 5.(文)已知数列{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜率是 ( ) 1 A.4 B. C.-4 D.-143 4 [答案] A [解析] ∵{an}是等差数列,a4=15,S5=55, ∴a1+a5=22,∴2a3=22,∴a3=11. ∴kPQ= a4-a3 =4,故选 A. 4-3

(理)(2012· 衡阳六校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 M、N、P 三点共线,O 为坐标 → → → 原点,且ON=a15OM+a6OP(直线 MP 不过点 O),则 S20 等于( A.10 B.15 C.20 D.40 [答案] A 20?a1+a20? [解析] 依题意, 得 a15+a6=1.由等差数列性质知 a15+a6=a1+a20, 所以 S20= =10(a15 2 +a6)=10,选 A.
2

)

S5 1 S10 6.(文)设 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,已知 = ,那么 等于( S10 3 S20 1 A. 9 3 1 1 B. C. D. 10 8 3

)

[答案] B [解析] 设其公差为 d, 1 5a1+ ×5×4d 2 a1+2d 1 S5 ∵ = = = , S10 1 2a1+9d 3 10a1+ ×10×9d 2 ∴a1=3d. 1 10a1+ ×10×9d 2 S10 3 ∴ = = . S20 1 10 20a1+ ×20×19d 2 (理)设数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任 意 n∈N*,都有 Sn≤Sk 成立,则 k 的值为( A.22 B.21 C.20 D.19 [答案] C [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,则有 3d=93-99=-6,∴d=-2;∴a1+(a1+3d)+(a1 +6d)=3a1+9d=3a1-18=99, ∴a1=39, ∴an=a1+(n-1)d=39-2(n-1)=41-2n.令 an=41-2n>0 得 n<20.5,即在数列{an}中,前 20 项均为正,自第 21 项起以后各项均为负,因此在其前 n 项和中, S20 最大.依题意得知,满足题意的 k 值是 20,选 C. 二、填空题 7.(文)(2013· 陕西检测)在等差数列{an}中,若 a13=20,a20=13,则 a2013=________. [答案] -1980 13-20 [解析] 由题意知, 等差数列{an}的公差 d= =-1, ∴a2013=a20+(2013-20)d=13-1993 20-13 =-1980. 5n+10 (理)两个等差数列的前 n 项和之比为 ,则它们的第 7 项之比为________. 2n-1 [答案] [ 解析 ] Sn 5n+10 a7 a1+a13 S13 设两个数列 {an}、 {bn} 的前 n 项和为 Sn、 Tn ,则 = ,而 = = = Tn 2n-1 b7 b1+b13 T13 )

5×13+10 =3. 2×13-1 π π? 8.已知函数 f(x)=sinx+tanx.项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈? ?-2,2?,且公差 d≠0.若 f(a1) +f(a2)+?+f(a27)=0,则当 k=________时,f(ak)=0. [答案] 14
3

[解析] ∵f(x)=sinx+tanx 为奇函数,且在 x=0 处有定义,∴f(0)=0. ∵{an}为等差数列且 d≠0, ∴an(1≤n≤27,n∈N*)对称分布在原点及原点两侧, ∵f(a1)+f(a2)+?+f(a27)=0,∴f(a14)=0. ∴k=14. 9.(文)将正偶数按下表排成 5 列: 第1列 第1行 第2行 第3行 ?? 16 第2列 2 14 18 ?? 第3列 4 12 20 28 第4列 6 10 22 26 24 第5列 8

那么 2014 应该在第________行第________列. [答案] 252 2 [解析] 通项 an=2n,故 2014 为第 1007 项,∵1007=4×251+3, 又 251 为奇数, 因此 2014 应排在第 252 行, 且第 252 行从右向左排第 3 个数, 即 252 行第 2 列. (理)已知 an=n 的各项排列成如图的三角形状: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ?????????? 记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(31,12)=________. [答案] 912 [解析] 由题意知第 1 行有 1 个数,第 2 行有 3 个数,??第 n 行有 2n-1 个数,故前 n 行有 n[1+?2n-1?] 2 Sn= =n 个数,因此前 30 行共有 S30=900 个数,故第 31 行的第一个数为 901,第 12 2 个数为 912, 即 A(31,12)=912. 三、解答题 10.(2013· 福建)已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围. [解析] (1)因为数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列. 所以 a2 1=1×(a1+2), 即 a2 1-a1-2=0,解得 a1=-1,或 a1=2. (2)因为数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9, 所以 5a1+10>a2 1+8a1,
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即 a2 1+3a1-10<0,解得-5<a1<2. 能力拓展提升 一、选择题 11.(文)设{an}是递减的等差数列,前三项的和是 15,前三项的积是 105,当该数列的前 n 项和 最大时,n 等于( )

A.4 B.5 C.6 D.7 [答案] A [解析] ∵{an}是等差数列,且 a1+a2+a3=15,∴a2=5, 又∵a1· a2· a3=105,
? ?a1a3=21, ∴a1a3=21, 由? 及{an}递减可求得 a1=7, d=-2, ∴an=9-2n, 由 an≥0 得 n≤4, ?a1+a3=10. ?

∴选 A. 1 (理)(2012· 大纲全国理,5)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列{ } anan+1 的前 100 项和为( 100 99 A. B. 101 101 [答案] A [解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的运用,以及裂项求和的综合应 用. ∵a5=5,S5=15, 5?a1+a5? ∴ =15,即 a1=1. 2 a5-a1 ∴d= =1,∴an=n. 5-1 ∴ 1 1 1 1 = = - . n anan+1 n?n+1? n+1 ) 99 101 C. D. 100 100

1 1 1 1 1 1 1 100 则数列{ }的前 100 项的和为:T100=(1- )+( - )+?+( - )=1- = . 2 2 3 100 101 101 101 anan+1 故选 A. [点评] 本题亦可利用等差数列的性质,由 S5=15 得 5a3=15,即 a3=3,再进一步求解. 12.(2012· 河南安阳三模)已知{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S21=S4000,O 为坐标原点, → → 点 P(1,an),Q(2011,a2011),则OP· OQ等于( A.2011 B.-2011 C.0 D.1 [答案] A [ 解析 ] 解法一:由已知 S21 = S4000 ,则 a22 + a23 + ? + a4000 = 0 ,设 {an} 的公差为 d ,则 )

3979?a22+a4000? =0,又 a22+a4000=2a2011,所以 a2011=0, 2
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→ → 所以OP· OQ=2011+an· a2011=2011. 解法二:设等差数列{an}的公差为 d,因为 S21=S4000,且等差数列前 n 项和公式可看成二次函 数,所以由对称性可得 S1=S4020,则有 a1=4020a1+ 2011+an· a2011=2011. 13.(2013· 浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{an}中,首项 a1=1 且前 n 项和 Sn 满足 Sn Sn-1-Sn-1 Sn=2 SnSn-1(n∈N*且 n≥2),则 a81=( A.641 B.640 C.639 D.638 [答案] B [解析] 由已知 Sn Sn-1-Sn-1 Sn=2 SnSn-1可得, Sn- Sn-1=2,所以{ Sn}是以 1 为首项, 2 为公差的等差数列,故 Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2,所以 a81=S81-S80=1612-1592=640,故选 B. 二、填空题 14.(2013· 南京模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若(a2-1)3+2012(a2-1)=1,(a2011- 1)3+2012· (a2011-1)=-1,则下列四个命题中真命题的序号为________. ①S2011=2011;②S2012=2012;③a2011<a2;④S2011<S2. [答案] ②③ [解析] 设 f(x)=x3+2012x,则 f(x)为奇函数,f ′(x)=3x2+2012>0,∴f(x)单调递增.由 f(1)= 2013>1 知 f(1)>f(a2-1),∴1>a2-1,∴a2<2. 又 f(a2-1)=-f(a2011-1)=f(1-a2011),∴a2-1=1-a2011,∴a2+a2011=2,∴S2012= ×2012=2012,故②正确; 又 f(a2-1)>f(a2011-1),∴a2-1>a2011-1, ∴a2011<a2,∴③正确; S2011=S2012-a2012=2012-(a2011+d)=2012-(2-a2+d)=2010+a1>a1+a2=S2,∴④错误; 假设 S2011=2011,则 2010+a1=2011,∴a1=1, ∵S2011= ①错. 综上,正确的为②③. n 15.(2013· 黄山期末)对于正项数列{an},定义 Hn= 为{an}的“光阴”值, a1+2a2+3a3+?+nan 现知某数列的“光阴”值为 Hn= 2n+1 [答案] an= 2n n [解析] 由 Hn= 可得, a1+2a2+3a3+?+nan 2 ,则数列{an}的通项公式为________. n+2 2011×?a1+a2011? 2011×?1+a2011? = =2011,∴a2011=1,这与{an}是等差数列矛盾,∴ 2 2 a1+a2012 2 ) 4020×4019 → → d,整理得 a2011=0,所以OP· OQ= 2

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n n?n+2? a1+2a2+3a3+?+nan= = ,① Hn 2 a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1 ?n-1??n+1? = ,② 2 n?n+2? ?n-1??n+1? 2n+1 2n+1 ①-②得 nan= - = ,所以 an= . 2 2 2 2n 三、解答题 16.(文)(2013· 河北唐山一模)设函数 f(x)=ax+b(其中 a≠0),若 f(3)=5,且 f(1),f(2),f(5)成等 比数列. (1)求 f(n); (2)令 bn=f(n)· 2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)∵f(3)=5,且 f(1),f(2),f(5)成等比数列,
? ?3a+b=5, ∴? 解得 a=2,b=-1, 2 ??a+b??5a+b?=?2a+b? , ?

∴f(x)=2x-1,即 f(n)=2n-1. (2)由题意得 bn=(2n-1)· 2n, 则 Tn=1· 21+3· 22+?+(2n-1)· 2n,① 2Tn=1· 22+3· 23+?+(2n-3)· 2n+(2n-1)· 2n 1,②


①-②得:-Tn=2+23+24+?+2n 1-(2n-1)· 2n


+1

=2· 2n 1-6-(2n-1)· 2n


+1

=-(2n-3)· 2n 1-6,


∴Tn=(2n-3)· 2n 1+6.


(理)(2012· 湖北文,20)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2、a3、a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和. [分析] (1)利用等差数列的通项公式,及相关关系求出首项和公差. (2)先确定数列的通项公式,由于首项 a1<0 需判断从哪一项开始 an>0,将{|an|}前 n 项和写为分 段函数的形式. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 a2=a1+d,a3=a1+2d,
? ?3a1+3d=-3, 由题意得? ?a1?a1+d??a1+2d?=8. ? ?a1=2, ?a1=-4, ? ? 解得? 或? ?d=-3, ? ? ?d=3.

所以由等差数列通项公式可得 an=2-3(n-1)=-3n+5,或 an=-4+3(n-1)=3n-7. 故 an=-3n+5,或 an=3n-7.

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(2)当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
?-3n+7, n=1,2. ? 故|an|=|3n-7|=? ? ?3n-7, n≥3.

记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. 当 n=1 时,S1=|a1|=4; 当 n=2 时,S2=|a1|+|a2|=5; 当 n≥3 时, Sn=S2+|a3|+|a4|+?+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+?+(3n-7) ?n-2?[2+?3n-7?] 3 2 11 =5+ = n - n+10. 2 2 2 当 n=2 时,满足此式. 4, n=1, ? ? 综上,Sn=?3 2 11 ? ?2n - 2 n+10, n>1. [点评] {an}是等差数列(a1>0,d<0 或 a1<0,d>0),求数列{|an|}的前 n 项和 Tn 一般步骤: 第一步,求{an}的前 n 项和 Sn.
?ak≥0, ? 第二步,求使? 成立的整数 k. ? ?ak+1<0,

第三步,求 n≤k 和 n>k 时 Tn 的表达式. 第四步,用分段函数形式下结论,并反思检查.

考纲要求 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系. 补充说明 1.函数思想 等差数列的通项是 n 的一次函数,前 n 项和是 n 的二次函数,故有关等差数列的前 n 项和的最 值问题,数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决. 2.等差数列的设项技巧与方程思想 (1)对于连续奇数项的等差数列,可设为:?,x-d,x,x+d,?,此时公差为 d; (2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为?,a-3d,a-d,a+d,a+3d,?,此时公差为 2d.
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3.一般地,等差数列{an}中,若 a1>0,且 Sp=Sq(p≠q),则 p+q (1)若 p+q 为偶数,则当 n= 时,Sn 最大; 2 p+q-1 p+q+1 (2)若 p+q 为奇数,则当 n= 或 n= 时,Sn 最大. 2 2 备选习题 1.如表定义函数 f(x): x f(x) 1 5 2 4 3 3 4 1 5 2 )

对于数列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,?,则 a2014 的值是( A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] A

[解析] 本题可通过归纳推理的方法研究数列的规律.由特殊到一般易知 a1=4,a2=f(a1)=f(4) =1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,?,据此可归纳数列{an}为以 4 为 周期的数列,从而 a2014=a2=1. an 2.(2013· 河南适应性测试)已知数列{an}的首项 a1=1,且满足 an+1= (n∈N*). 4an+1 1 (1)设 bn= ,求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; an (2)设 cn=bn· 2n,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 1 an 1 1 1 1 [解析] (1)b1= =1,an+1= , =4+ , - = 4, a1 an an+1 an 4an+1 an+1 ∴bn+1-bn=4. 数列{bn}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列. 1 =b =1+4(n-1)=4n-3, an n ∴数列{an}的通项公式为 an= 1 (n∈N*). 4n-3

(2)Sn=21+5×22+9×23+?+(4n-3)· 2n,① 2Sn=22+5×23+9×24+?+(4n-3)· 2n 1,②


②-①并化简得 Sn=(4n-7)· 2n 1+14.


Sn 1 3 3.(2013· 湖南十二校联考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点 A(n, )(n∈N*)总在直线 y= x+ n 2 2 上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn= 如果不存在,请说明理由. n+1 an(n∈N*),试问数列{bn}中是否存在最大项,如果存在,请求出;

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Sn 1 3 [解析] (1)因为点 A(n, )(n∈N)在直线 y= x+ 上, n 2 2 Sn 1 3 1 3 故有 = n+ ,即 Sn= n2+ n, n 2 2 2 2 1 3 当 n≥2 时,Sn-1= (n-1)2+ (n-1), 2 2 1 3 1 3 所以 an=Sn-Sn-1= n2+ n-[ (n-1)2+ (n-1)]=n+1(n≥2). 2 2 2 2 当 n=1 时,a1=S1=2 满足上式, 故数列{an}的通项公式为 an=n+1. (2)由 an=n+1,可知 bn= n+1 n+1,

6 6 3 4 4 20 20 5 b1= 2= 23< 32= 3=b2,b3= 4= 2=b1,b3= 4= 45> 54= 5=b4, 所以,b2>b1=b3>b4, 猜想{bn+1}递减,即猜想当 n≥2 时, n+ 1 n+1> n+2 n+2,

1-lnx lnx 考察函数 y= (x>e),则 y′= 2 , x x 显然当 x>e 时,lnx>1,即 y′<0, ln?n+2? ln?n+1? n+2 n+1 故 y= < ,即 n+2< n+1, n+2 n+1 3 猜想正确,因此,数列{bn}的最大项是 b2= 3. [点评] 由 n+1 n+1 > n+2 n+2 两 边 取 对 数 得 , 1 1 ln(n + 1)> ln(n + 2) . 即 n+1 n+2

ln?n+1? ln?n+2? lnx > ,于是构造函数 f(x)= (x>e),通过研究函数 f(x)的单调性来证明不等式. x n+1 n+2

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