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高一数学人教a版必修2课后导练:2.2.3直线与平面平行的性质 含解析

课后导练 基础达标 1 在以下四个命题中,真命题是( ) ①在一个平面内有两点到另一个平面的距离相等都是 d(d>0),则这两个平 面平行 ②在一个平面内有三点到另一个平面的距离都是 d(d>0),则这两个平面平 行 ③在一个平面内有无数个点到另一个平面的距离都是 d(d>0),则这两个平 面平行 ④一个平面内任意一点到另一个平面的距离都是 d(d>0),则这两个平面平 行 A.②③④ B.④ C.②③ D.②④ 解析: 命题①中的两点无论在另一个平面的同侧还是异侧,这两个平面均有 可能相交.所以①是错误的;同理可知②③均错.只有④正确. 答案:B 2 平面 α 上有不共线的三点到平面 β 的距离相等, 则 α 与 β 的关系是 ( A.平行 B.相交 C.垂直 D.不确定 ) 解析:若三点在 β 的同侧,则 α∥β,否则相交, 应选 D. 答案:D 3 设 a、b 是两条互不垂直的异面直线,过 a、b 分别作平面 α、β.对于下 面四种情况可能的情况有( ) ①b∥α ②b⊥α ③a∥β A.1 种 ④α 与 β 相交 C.3 种 D.4 种 B.2 种 解析:对于②来说,若 b⊥α,又∵a ? α, ∴b⊥a 与 a,b 不垂直矛盾, ∴②错. 答案:C 4 已知平面 α∥β, 直线 a∥α, 点 B∈β, 则在 β 内过 B 的所有直线中 ( A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一的直线与 a 平行 解析:若 a ? β,且 B∈a,此时,不存在. 若 B ? a,此时存在唯一直线与 a 平行. 答案:A 5 已知 α∩β=c,a∥α,a∥β,则 a 与 c 的位置关系是_______________ 解析:a∥α,a∥β,α∩β=c,则 a∥c(前面已证). 答案:平行 6 直线 a∥b,a∥平面 α,则 b 与平面 α 的位置关系是_______________ 解析:当直线 b 在平面 α 外时,b∥α;当直线 b 在平面 α 内时,b ? α. 答案:b∥α 或 b∩α 7a∥α,A 是 α 的另一侧的点,B、C、D∈α,线段 AB、AC、AD 交 α 于 E、F、 G,若 BD=4,CF=4,AF=5,则 EG=__________.(如图) ) 解析:∵a∥α,EG=α∩平面 ABD, ∴a∥EG,即 BD∥EG. EF FG AF EF ? FG EG AF ? ? ? ? ? BC CD AC BC ? CD BD AF ? FC AF ? BD 5 ? 4 20 ? ? 则 EG= . AF ? FC 5 ? 4 9 20 答案: 9 ∴ 8 已知:α∩β=l,a ? α,b ? β,a∥b, 求证:a∥b∥l. 证明:∵a∥b,b ? β,a ? β,由线面平行的判定定理知 a∥β. 又知 a ? α,α∩β=l,由线面平行的性质知,a∥l,∴a∥b∥l. 综合应用 9 如右图,四边形 ABCD 是矩形,P AP 于 E,交 DP 于点 F. 平面 ABCD,过 BC 作平面 BCFE 交 求证:四边形 BCFE 是梯形. 证明:在矩形 ABCD 中,BC∥AD, 又∵BC ? 面 PAD,AD ? 面 PAD, ∴BC∥面 PAD. 又面 BC ? 面 BCFE, 且面 BCFE∩面 PAD=EF, ∴EF∥BC,又 BC AD,EF≠AD, ∴EF≠BC, 故四边形 BCFE 为梯形. 10 已知:AB、CD 为异面线段,E、F 分别为 AC、BD 的中点,过 E、F 作 平面 α∥AB. 求证:CD∥α. 证明:如图,连结 AD 交面 α 于点 H,连结 EH,FH, ∵AB∥α,AB ? 面 ABD,且面 ABD∩α=FH, ∴AB∥HF. 又∵F 为 BD 中点, ∴H 为 AD 中点,又 E 为 AC 中点, ∴EH∥CD, 又∵EH ? 面 α,CD ? 面 α, 故 CD∥α. 11 如图,P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC 的 中点,平面 PAD∩平面 PBC=l. (1)求证:BC∥l; (2)MN 与平面 PAD 是否平行?试证明你的结论. 证明: (1)在 ABCD 中,BC∥AD, BC ? 面 PAD,AD ? 面 PAD,∴BC∥面 PAD. 又面 PAD∩面 PBC=l,且 BC ? 面 PBC, 故 BC∥l. (2)MN∥平面 PAD. 证明如下,取 PD 中点 E,连 AE,NE; ∵N 是 PC 中点,∴NE 又 M 为 AB 的中点, ∴AM 1 DC, 2 1 CD, 2 ∴AM NE,∴AE∥MN. 又∵AE ? 面 PAD,MN ? 面 PAD, ∴MN∥面 PAD. 拓展探究 12 如图,已知空间四边形 ABCD,作一截面 EFGH,且 E、F、G、H 分别 在 BD、BC、AC、AD 上. (1)若平面 EFGH 与 AB、CD 都平行,求证:EFGH 是平行四边形; (2)若平面 EFGH 与 AB、CD 都平行,且 CD⊥AB,求证:EFGH 是矩形; (3)若 EFGH 与 AB、CD 都平行,且 CD⊥AB,CD=a,AB=b,问点 E 在什么 位置时,EFGH 的面积最大? (1)证明:∵AB∥面 EFGH,AB ? 面 ABD, 面 ABD∩面 EFGH=EH,∴AB∥EH. 同理可证 AB∥GF,∴GF∥EH. 又∵CD∥面 EFGH,同理可证 EF∥GH. 故四边形 EFGH 是平行四边形. (2)证明:由(1)知,AB∥EH,CD∥EF, 又∵CD⊥AB,∴EF⊥EH, 故 EFGH 为矩形. (3)解:设 BE=x,由上知 DE BD ? x EH DE EF BE ? , ? ? AB ? ,∴ · b, AB BD CD BD BD BD x EF= ·

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