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kb3535.com:2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案(含解析)新人教A版

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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

学习目标

核心素养

1.平面向量的数量积.(重点) 2.平面向量的数量积的几何意义.(难点) 3.向量的数量积与实数的乘法的区 别.(易混点)

1.通过平面向量的物理背景给出向量数量积 的概念和几何意义的学习,培养了学生数学建 模和数学抽象的核心素养. 2.通过向量数量积的运算学习,提升了学生数 学运算和数据分析的核心素养.

1.平面向量数量积的定义

非零向量 a,b 的夹角为 θ ,数量|a||b|cos θ 叫做向量 a 与 b 的数量积,记作 a·b, 即 a·b=|a||b|cos θ .特别地,零向量与任一向量的数量积等于 0.

思考:向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同?

[提示] 数量积的运算结果是实数,线性运算的运算结果是向量.

2.向量的数量积的几何意义

(1)投影的概念:

①b 在 a 的方向上的投影为|b|cos θ ; ②a 在 b 的方向上的投影为|a|cos θ . (2)数量积的几何意义:数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ

的乘积.

思考:投影一定是正数吗?

[提示] 投影可正、可负也可以为零.

3.向量数量积的性质

垂直向量

a·b=0

平行向量

同向 反向

a·b=|a||b| a·b=-|a||b|

向量的模

a·a=|a|2 或|a|= a·a

求夹角

a·b cos θ =|a||b|

不等关系

a·b≤|a||b|

4.向量数量积的运算律

(1)a·b=b·a(交换律). (2)(λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 思考:a·(b·c)=(a·b)·c 成立吗? [提示] (a·b)·c≠a·(b·c),因为 a·b,b·c 是数量积,是实数,不是向量,所以 (a·b)·c 与向量 c 共线,a·(b·c)与向量 a 共线.因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情 况下不成立.

1.已知单位向量 a,b,夹角为 60°,则 a·b=( )

A.12

B.

3 2

C.1

1 D.-2

A [a·b=1×1×cos 60°=12.]

2.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=4,且 a·b=2,则 a 与 b 的夹角 θ 为( )

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

C

[由条件可知,cos

θ

a·b 2 1 =|a||b|=1×4=2,又∵0≤θ

≤π

,∴θ

=π3 .]

3.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|= 3,且 a 与 b 的夹角为 60°,那么 a·b 等于



3 [a·b=|a||b|cos 60°=2× 3×12= 3.]

4.已知|b|=3,a



b

2 方向上的投影是3,则

a·b





2 [设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 a 在 b 方向上的投影|a|cos θ =23,

所以 a·b=|b||a|cos θ =3×23=2.]

向量数量积的计算及其几何意义

【例 1】 (1)已知单位向量 e1,e2 的夹角为π3 ,a=2e1-e2,则 a 在 e1 上的投影是



(2)已知向量 a 与 b 满足|a|=10,|b|=3,且向量 a 与 b 的夹角为 120°.求:

①(a-b)·(a-b); ②(2a+b)·(a-b).

思路点拨:根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答.

3 (1)2

[设 a 与 e1 的夹角为 θ ,则 a 在 e1 上的投影为|a|cos θ =a|·e1e|1=a·e1=(2e1-

e2)·e1 =2e21-e1·e2

=2-1×1×cosπ3 =32.]

(2)[解] ①(a-b)·(a-b)

=a2-b2=|a|2-|b|2=100-9=91.

②因为|a|=10,|b|=3,且向量 a 与 b 的夹角为 120°,

所以 a·b=10×3×cos 120°=-15,

所以(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2

=200+15-9=206.

求平面向量数量积的步骤

(1)求 a 与 b 的夹角 θ ,θ ∈[0,π ];(2)分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即 a·b=

|a||b|cos θ ,要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,

也不能省去.

求投影的两种方法:

(1)b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ (θ 为 a,b 的夹角),a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ .

(2)b



a

方向上的投影为a|·a|b,a



b

a·b 方向上的投影为 |b| .

1.(1)已知|a|=2,|b|=3,a 与 b 的夹角 θ 为 60°,求:

①a·b;②(2a-b)·(a+3b). (2)设正三角形 ABC 的边长为 2,→AB=c,B→C=a,→CA=b,求 a·b+b·c+c·a.

[解] (1)①a·b=|a||b|cos θ =2×3×cos 60°=3. ②(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2 =2|a|2+5a·b-3|b|2=2×22+5×3-3×32=-4. (2)∵|a|=|b|=|c|= 2,且 a 与 b,b 与 c,c 与 a 的夹角均为 120°, ∴a·b+b·c+c·a= 2× 2×cos 120°×3=-3.

与向量模有关的问题

【例 2】 (1)已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=



(2)已知向量 a 与 b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a+b|= 10,求|b|. 思路点拨:灵活应用 a2=|a|2 求向量的模.

(1)2 3 [|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+2·|a|·|2b|·cos 60°+(2|b|)2

=22+2×2×2×12+22=4+4+4=12,

所以|a+2b|= 12=2 3.] (2)[解] 因为|2a+b|= 10, 所以(2a+b)2=10, 所以 4a2+4a·b+b2=10. 又因为向量 a 与 b 的夹角为 45°且|a|=1, 所以 4×12+4×1×|b|× 22+|b|2=10, 整理得|b|2+2 2|b|-6=0, 解得|b|= 2或|b|=-3 2(舍去).

求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用 a2=|a|2,勿忘记开 方. (2)a·a=a2=|a|2 或|a|= a2,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运 算的相互转化. (3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2 等.

2.已知|a|=|b|=5,向量 a 与 b 的夹角 θ 为π3 ,求|a+b|,|a-b|.

[解] ∵|a|=|b|=5 且夹角 θ 为π3 , ∴ |a+b|2=a2+2a·b+b2=52+2×5×5×cosπ3 +52=75, |a-b|2=a2-2a·b+b2=52-2×5×5×cosπ3 +52=25, ∴|a+b|=5 3,|a-b|=5.

与向量垂直、夹角有关的问题

[探究问题]

1.设 a 与 b 都是非零向量,若 a⊥b,则 a·b 等于多少?反之成立吗?

提示:a⊥b?a·b=0.

2.|a·b|与|a||b|的大小关系如何?为什么?对于向量 a,b,如何求它们的夹角 θ ?

提示:|a·b|≤|a||b|,设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 a·b=|a||b|cos θ .

两边取绝对值得:|a·b|=|a||b||cos θ |≤|a||b|.

当且仅当|cos θ |=1,

即 cos θ =±1,θ =0°或 π 时,取“=”,

所以|a·b|≤|a||b|,cos θ =|aa· ||bb|.

【例 3】 (1)已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量,若向量 e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角

为锐角,则 k 的取值范围为



(2)已知非零向量 a,b 满足 a+3b 与 7a-5b 互相垂直,a-4b 与 7a-2b 互相垂直,求 a

与 b 的夹角.

思路点拨:(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于 0 且方向不相同.

(2)由互相垂直的两个向量的数量积为 0 列方程,推出|a|与|b|的关系,再求 a 与 b 的夹

角.

(1)(0,1)∪(1,+∞) [∵e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角, ∴(e1+ke2)·(ke1+e2) =ke21+ke22+(k2+1)e1·e2 =2k>0,∴k>0.

当 k=1 时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为 0°,不符合题意,舍去. 综上,k 的取值范围为 k>0 且 k≠1.]

(2)[解] 由已知条件得

??(a+3b)·(7a-5b)=0, ???(a-4b)·(7a-2b)=0,

即?????77aa22+-1360aa··bb-+185bb2=2=00,,

① ②

②-①得 23b2-46a·b=0,

∴2a·b=b2,代入①得 a2=b2,

∴|a|=|b|,∴cos

θ

a·b 12b2 1 =|a||b|=|b|2=2.

∵θ ∈[0,π ],∴θ =π3 .

1.将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”,其他条件不变,求 k 的取值范围. [解] ∵e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为钝角, ∴(e1+ke2)·(ke1+e2)=ke21+ke22+(k2+1)e1·e2=2k<0, ∴k<0. 当 k=-1 时,e1+ke2 与 ke1+e2 方向相反,它们的夹角为 π ,不符合题意,舍去. 综上,k 的取值范围是 k<0 且 k≠-1.

2.将本例(1)中的条件“锐角”改为“π3 ”,求 k 的值.

[解] 由已知得|e1+ke2|= e12+2ke1·e2+k2e22= 1+k2,

|ke1+e2|= k2e21+2ke1·e2+e22= k2+1, (e1+ke2)·(ke1+e2)=ke21+ke22+(k2+1)e1·e2=2k,

则 cosπ3 =(e|e1+1+keke2)2|(|keke1+1+ee2|2)=1+2kk2,

2k 1 即1+k2=2,整理得

k2-4k+1=0,

解得 k=4±2 12=2± 3.

1.求向量夹角的方法

(1)求出 a·b,|a|,|b|,代入公式 cos

θ

a·b =|a||b|求解.

(2)用同一个量表示 a·b,|a|,|b|,代入公式求解.

(3)借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角.

2.要注意夹角 θ 的范围 θ ∈[0,π ],当 cos θ >0 时,θ ∈???0,π2 ???;当 cos θ <0

时,θ ∈???π2 ,π ???,当 cos θ =0 时,θ =π2 .

1.两向量 a 与 b 的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当 a≠0,b≠0, 0°≤θ <90°时),也可以为负(当 a≠0,b≠0,90°<θ ≤180°时),还可以为 0(当 a=0 或 b=0 或 θ =90°时).
2.两非零向量 a,b,a⊥b?a·b=0,求向量模时要灵活运用公式|a|= a2. 3.要注意区分向量数量积与实数运算的区别 (1)在实数运算中,若 ab=0,则 a 与 b 中至少有一个为 0.而在向量数量积的运算中,不 能从 a·b=0 推出 a=0 或 b=0.实际上由 a·b=0 可推出以下四种结论: ①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但 a⊥b. (2)在实数运算中,若 a,b∈R,则|ab|=|a|·|b|,但对于向量 a,b,却有|a·b|≤|a||b|, 当且仅当 a∥b 时等号成立.这是因为|a·b|=|a||b||cos θ |,而|cos θ |≤1. (3)实数运算满足消去律:若 bc=ca,c≠0,则有 b=a.在向量数量积的运算中,若 a·b =a·c(a≠0),则向量 c,b 在向量 a 方向上的投影相同,因此由 a·b=a·c(a≠0)不能得到 b=c. (4)实数运算满足乘法结合律,但向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c 不 一定等于 a·(b·c),这是由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量,而 a·(b·c)表示一个 与 a 共线的向量,而 c 与 a 不一定共线.

1.对于向量 a,b,c 和实数 λ ,下列命题中真命题是( ) A.若 a·b=0,则 a=0 或 b=0

B.若 λ a=0,则 λ =0 或 a=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b

D.若 a·b=a·c,则 b=c

B [A 错,当 a 与 b 夹角为π2 时,a·b=0;C 错,a2=b2 即|a|=|b|;D 错,数量积不能

约分;只有 B 对.]

2.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量 a,b 满足|a|=1,a·b=-1,则 a·(2a-b)=( )

A.4 B.3

C.2

D.0

B [因为 a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-(-1)=2+1=3,所以选 B.]

3.已知|a|=3,|b|=5,且 a·b=12,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为



12 5

[设 a 与 b 的夹角为 θ ,

因为 a·b=|a||b|cos θ =12, 又|b|=5,所以|a|cos θ =152,

即 a 在 b 方向上的投影为152.]

4.已知|a|=|b|=5,向量 a 与 b 的夹角为π3 ,求|a+b|,|a-b|.

[解] a·b=|a||b|cos θ =5×5×12=225.

|a+b|= (a+b)2

= |a|2+2a·b+|b|2

= 25+2×225+25=5 3.

|a-b|= (a-b)2

= |a|2-2a·b+|b|2

25 = 25-2× 2 +25=5.


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