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高中数学导学案 初高中衔接 因式分解 十字相乘法_图文

§ 0.0.2 初高中衔接(2)因式分解
学习目标: 1.掌握因式分解的几种常用方法; 2.能灵活的应用这些方法进行因式分解. 重点:公式法、十字相乘法、分组分解法等因式分解方法. 难点:公式法、十字相乘法、分组分解法的具体应用. 预习反馈: 1.因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项 式分解因式. 2.初中已学过的因式分解方法: (1)提公因式法; (2)公式法. 自主学习: 1.下列各式不能继续因式分解的是( ) A. 1 ? x
3

学习笔记 (教师复 备)

结论:利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用乘法法则,对于二次项系数为 1 的
b 二次三项式 x ? px ? q , 如果能把常数项 q 分解成两个因数 a , 的积, 并且 a ? b 为一次项系数 p ,那么它就可以运用公式
2

x ? px ? q ? x ? ? a ? b ? x ? ab ? ? x ? a ?? x ? b ?
2 2

用十字交叉线表示: x
x

? a
?b

ax ? bx ? ? a ? b ? x

利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 拆一拆:将下列个数表示成两个整数的积的形式(尽所有可能) .
6 ? ?6 ?

B. x ? y
2

2

C. ? x ? y ?
1 9
2

2

D. a ? 2 a
2

12 ? ? 12 ?
2

练一练:将下列各式用十字相乘法进行因式分解: (1) x ? 7 x ? 12 (2) x ? 7 x ? 12
2

2.计算 (1 ? A.
1 2
4

1 2
2

)( 1 ?

1 3
3

) ? (1 ?

)( 1 ?
1 10

1 10
2

) 的值是(



B.

1 20
2

C.

D.

11 20
2

(3) x ? 2 x ? 15
2

(4) x ? 2 x ? 15
2

3.因式分解 (1) x ? 8 x ; (2) ? a ? 3 ? ? 3 ? a ; (3) x ? 4 xy ? 1 ? 4 y .
2

(5) x ? 5 x ? 6
2

(6) x ? 5 xy ? 6 y
2

2

点拨:1.这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项” . 2.由于分解因数和十字相乘有很多种情况,所以需要经过不断尝试,才能 确定该式能否用这个方法进行分解. 课堂探究: 探究 2.对于二次项系数不为 1 的二次三项式 ax ? bx ? c 的因式分解. 合作探究,你能得到二次项系数不为 1 的二次三项式类似于探究 1 中的因式分 解方法吗? 试一试:根据乘法运算法则,把下列各式化为二次三项式的形式. (1) ? x ? 4 ?? 2 x ? 3 ? ? (2) ? x ? 2 ??3 x ? 1 ? ?
2

※ 学习探究 引入:在高中的数学学习中,有时我们需要对某些特殊的二次三项式进行因式分 2 2 解. (注:我们把多项式 ax ? bx ? c 称为字母 x 的二次三项式,其中称 ax 为二次 项, bx 为一次项, c 为一次项, a 、 b 分别叫做二次项系数和一次项系数) 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法. 2 探究 1.对于二次项系数为 1 的二次三项式 x ? px ? q 的因式分解. 试一试:根据乘法运算法则,把下列各式化为二次三项式的形式. (1) ? x ? 2 ?? x ? 3 ? ? (2) ? x ? 2 ?? x ? 3 ? ?
(3) ? x ? 2 ?? x ? 3 ? ? (4) ? x ? 2 ?? x ? 3 ? ?

(3) ? 2 x ? 3 ?? 2 x ? 1 ? ?

(4) ?3 x ? 1 ?? 4 x ? 3 ? ?
2

结论:对于二次项系数不为 1 的二次三项式 ax ? bx ? c 来说,如果存在四个整数 a 1 , a 2 , c 1 , c 2 ,使得 a 1 ? a 2 ? a , c 1 ? c 2 ? c ,且 a 1 c 2 ? a 2 c 1 ? b ,那么它可 以运用公式:
ax
2

? bx ? c ?

?

思考:在多项式 ? x ? a ?? x ? b ? 的乘法中,常数 a 、 b 与二次三项式的系数 p 、 q 有 什么关系?

用十字交叉线表示: a 1 x
a2 x

? c1
? c2

a 1 c 2 x ? a 2 c 1 x ? ? a 1 c 2 ? a 2 c 1 ? x ? bx

练一练:将下列各式用十字相乘法进行因式分解: (1) 2 x ? 5 x ? 3
2

(2) 3 x ? 8 x ? 3
2

※小结 1.十字相乘法及其应用 (1)二次项系数为 1 时; (2)二次项系数不为 1 时. 2.因式分解必须分解到每一项都不能再分解为止. ※自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

(3) 2 x ? 15 x ? 7
2

(4) ? 6 y ? 11 y ? 10
2

(5) 6 a ? 5 a ? 4 a
4 3

2

(6) ? x ? 2 x ? ? 7 ? x ? 2 x ? ? 8
2 2 2

点拨:1.这种方法的特征是“拆两头,凑中间” . 2.当二次项系数为负数时,可以先提出负号,再进行运算. 3.多项式分解的一般步骤,先考虑能否提公因式,再考虑是否能运用公式 法或者十字相乘法.结果必须是乘积式.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.如果 x ? px ? q ? ? x ? a ?? x ? b ? ,那么 p 等于(
2



A. ab B. a ? b 2.不能用十字相乘法的是( A. x ? x ? 2
2

C. ? ab )
3 2

D. ? ? a ? b ?

B. 3 x ? 10 x ? 3 x D. 5 x ? 6 xy ? 8 y
2 2

C. 4 x ? x ? 2
2

3.将下列多项式分解后,有相同因式 x ? 1 的多项式有( ①x ? 7x ? 6
2
2


2

②3x ? 2 x ? 1
2
2

③ x ? 5x ? 6
2

④4x ? 5x ? 9 ⑤ 15 x ? 23 x ? 8 A.2 个 B.3 个 C.4 个

⑥ x ? 11 x ? 12 D.5 个
4

4.若 a , b , c 是三角形三边的长,则代数式 a ? b ? c ? 2 ab 的值( A.大于零 B.小于零 C.大于或等于零 D.小于或等于零
2 2 2



5.分解因式: 4 x ? 13 x ? 9
2 2