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2018-2019学年人教A版高中数学必修一课件:第二章 2.2 2.2.1 第二课时 对数的运算_图文

第二课时 对数的运算
对数的运算性质 [提出问题] 问题1:我们知道am+n=am·an,那么loga(M·N)=logaM·logaN 正确吗?举例说明. 提示:不正确.例如log24=log2(2×2)=log22·log22=1×1 =1,而log24=2.

问题2:你能推出loga(MN)(M>0,N>0)的表达式吗?
提示:能.令am=M,an=N, ∴MN=am+n. 由对数的定义知logaM=m,logaN=n,loga(MN) =m+n, ∴loga(MN)=logaM+logaN.

[导入新知] 对数的运算性质
若a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M·N)= logaM+logaN , (2)logaMN = logaM-logaN , (3)logaMn= nlogaM (n∈R).

[化解疑难] 巧记对数的运算性质
(1)两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和. (2)两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差. (3)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.

换底公式

[提出问题]

问题1:(1)log28;(2)log232;(3)log832各为何值?

提示:(1)log28=3;(2)log232=5;

(3)log832=log88

5 3

=53.

问题2:log832=lloogg22382成立吗?

提示:成立.

[导入新知]

换底公式

logcb 若 c>0 且 c≠1,则 logab= logca (a>0,且 a≠1,b>0). [化解疑难]
1.换底公式的推导 设 x=logab,化为指数式为 ax=b,两边取以 c 为底的对数, 得 logcax=logcb,即 xlogca=logcb, 所以 x=llooggccab,即 logab=llooggccba.

2.换底公式常用推论 loganbn=logab(a>0,a≠1,b>0,n≠0); logambn=mn logab(a>0,a≠1,b>0,m≠0,n∈R); logab·logba=1(a>0,b>0,a≠1,b≠1); logab·logbc·logcd=logad(a>0,a≠1,b>0,b≠1,c>0, c≠1,d>0).

对数运算性质的应用
[例1] (1)若a>0,且a≠1,x>y>0,n∈N*,则下列各式: ①logax·logay=loga(x+y); ②logax-logay=loga(x-y); ③loga(xy)=logax·logay;④llooggaaxy=logaxy; ⑤(logax)n=logaxn;⑥logax=-loga1x; ⑦longax=logan x;⑧logaxx-+yy=-logaxx+ -yy.

其中式子成立的个数为

A.3

B.4

C.5

D.6

(2)计算下列各式的值:

①4lg 2+3lg 5-lg15;

②log5 2·log4981; 13
log253·log7 4

③2log32-log3392+log38-5log5 3;

④log2 8+4 3+log2 8-4 3.

()

[解] (1)选A 对于①,取x=4,y=2,a=2, 则log24·log22=2×1=2,而log2(4+2)=log26≠2, ∴logax·logay=loga(x+y)不成立; 对于②,取x=8,y=4,a=2,则log28-log24=1≠log2(8 -4)=2, ∴logax-logay=loga(x-y)不成立; 对于③,取x=4,y=2,a=2,则log2(4×2)=log28=3, 而log24·log22=2×1=2≠3, ∴loga(xy)=logax·logay不成立;

对于④,取 x=4,y=2,a=2,则lloogg2242=2≠log242=1, ∴llooggaaxy=logaxy不成立; 对于⑤,取 x=4,a=2,n=3,则(log24)3=8≠log243=6, ∴(logax)n=logaxn 不成立; ⑥成立,由于-loga1x=-logax-1=loga(x-1)-1=logax;

⑦成立,由于

n loga

x=logax

1 n

=n1logax;

⑧成立,由于 logaxx-+yy=loga????xx+-yy????-1=-logaxx+-yy.

(2)①原式=lg24×1 53=lg 104=4. 5

②原式=

1



2log52·?2log73? -12log53·???23log72???

=-3log32

×log23=-3. ③原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3 =5log32-(5log32-2log33)-3=-1.

④原式=log2( 8+4 3· 8-4 3)=log24=2.

[类题通法] 解决对数运算的常用方法
解决对数的运算问题,主要依据是对数的运算性质.常 用方法有:
(1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积,再 展开;
(2)将同底数的对数的和、差、倍合并; (3)利用常用对数中的lg 2+lg 5=1.

[活学活用] 求下列各式的值: (1)lg 52+lg 2×lg 50+(lg 2)2; (2)log2 478+log212-12log242; (3)lgl6g050·-lg 128lg0000.0+36?l-g 212lg3?02.1; (4)lg( 3+ 5+ 3- 5).

解:(1)原式=2lg 5+lg 2×lg(5×10)+(lg 2)2=2lg 5+lg 2×lg 5+

lg 2+(lg 2)2=2lg 5+lg 2×(lg 5+lg 2)+lg 2=2lg 5+lg 2+lg 2=

2(lg 5+lg 2)=2.

(2)法一:原式=12(log27-log248)+log23+2log22-12(log22+log23+

log27)=12log27-12log23-12log216+12log23+2-12-12log27=-12.

?
法二:原式=log2???4

73×12×

71×6????=-12.

(3)分子=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2 =3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2)

=3lg 5+3lg 2=3(lg 5+lg 2)=3;

分母=(lg 6+2)-lg 1 30600×110=lg 6+2-lg 1600=4.

∴原式=34.

(4)原式=

1 2lg(

3+

5+

3-

5

)2=

1 2

lg(3+

5+3-

5+2

9-5)

=12lg 10=12.

换底公式的应用 [例2] (1)计算:(log2125+log425+log85)·(log52+log254+ log1258). (2)已知log189=a,18b=5,求log3645.
[解] (1)法一:原式= ???log253+lloogg22245+lloogg2258???·log52+lloogg55245+lolgo5g15285 =???3log25+22lloogg2225+3lloogg2252???·log52+22lloogg5525+33lloogg5525 =???3+1+13???log25·(3log52)=13log25·lloogg2225=13.

法二:原式=???lglg1225+llgg245+llgg

5? lg 8??·lg

25+llgg245+lglg1825

=3llgg25+22llgg 52+3llgg52·llgg 25+22llgg 25+33llgg 25=???133llgg25???·???3llgg52???=13. (2)因为log189=a,18b=5,所以log185=b,于是 法一:log3645=lloogg11884356=lolgo1g8?1981×9825?=2lloogg118891+8-lolgog181589=a2+-ba.

法二:因为llgg198=log189=a,所以lg 9=alg 18,

同理得lg 5=blg 18,

所以log3645=llgg

4356=lgl?g91×9825?=2llgg

918+-lglg59=a2llgg

18+blg 18-alg

1188=a2+-ba.

[类题通法] 换底公式的应用技巧
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的 对数式,将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运 算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
(2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式 进行互化,统一成一种形式.

[活学活用] 已知log147=a,log145=b,用a,b表示log3528.

解:log3528=

log1428 log1435



log147+log144 log147+log145



a+2log142 a+b



a+a2+logb14174=a+2?a1+-blog147?=a+a2+?1-b a?=2a-+ab.

对数方程的求解
[例3] 解下列关于x的方程: (1)log2(2x+1)=log2(3x); (2)log5(2x+1)=log5(x2-2); (3)(lg x)2+lg x3-10=0. [解] (1)由 log2(2x+1)=log2(3x),得 2x+1=3x,解得 x=1. 检验:当 x=1 时,2x+1>0,3x>0.故 x=1. (2)由 log5(2x+1)=log5(x2-2),得 2x+1=x2-2,即 x2-2x-3 =0,解得 x=-1 或 x=3.

检验:当x=-1时,2x+1<0,x2-2<0,不满足真数大于 0,舍去;
当x=3时,2x+1>0,x2-2>0.故x=3. (3)原方程整理得(lg x)2+3lg x-10=0, 即(lg x+5)(lg x-2)=0, 所以lg x=-5或lg x=2, 解得x=10-5或x=102. 经检验知:x=10-5,x=102都是原方程的解.

[类题通法] 解对数方程的方法
根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程: (1)等号两边为底数相同的对数式,则真数相等; (2)化简后得到关于简单对数式(形如lg x)的一元二次方程, 再由对数式与指数式的互化解得x. [注意] 在解方程时,需检验得到的x是否满足所有真数都 大于零.

[活学活用]
解下列关于x的方程:
(1)lg x-1=lg(x-1);
(2)log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).
1
解:(1)原方程整理得 lg(x-1) 2 =lg(x-1),
1
则(x-1) 2 =x-1,解得 x=1 或 x=2.
1
检验:当 x=1 时,(x-1) 2 =x-1=0,不满足真数大于 0,
舍去;当 x=2 时,满足所有真数都大于 0.
故方程的解是 x=2.

(2)因为0.25=4-1,所以原方程整理得 log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1), 即log433-+xx=log421x-+x1,则33-+xx=21x-+x1, 解得x=7或x=0. 检验:当x=7时,3-x<0,1-x<0,不满足真数大于0,舍去; 当x=0时,满足所有真数都大于0. 故方程的解是x=0.

8.将对数形式化为代数形式时忽略范围限制 [典例] 设lg a+lg b=2lg(a-2b),则log4ab的值为________.

[解析] 依题意,得a>0,b>0,a-2b>0, 原式可化为ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0, 则???ab???2-5???ab???+4=0,∴ab=4或ab=1. ∵a-2b>0,ab>2,∴ab=4,∴log4ab=1. [答案] 1

[易错防范] 1.在将对数式lg a+lg b=2lg(a-2b)化为代数式ab=(a-

??a>0, 2b)2时,易忽视隐含条件 ?b>0,
??a-2b>0,

从而误认为

a b

=4或

a b



1,得出log4ab=1或0的错误答案. 2.在将对数转化成其他形式时,一定要先考虑定义域的
限制,将字母的范围先确定出来.

[活学活用] 已知2lg(x+y)=lg 2x+lg 2y,则xy=________. 解析:∵2lg(x+y)=lg 2x+lg 2y, ∴lg(x+y)2=lg 4xy, ∴(x+y)2=4xy, 即(x-y)2=0. ∴x=y,∴xy=1. 答案:1

[随堂即时演练]

1.求值:2log510+log50.25=

A.0

B.1

C.2

D.4

()

解析:2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2. 答案:C

2.求值:(log29)·(log34)= A.14 C.2

B.12 D.4

解析:原式=(2log23)·(2log32)=4log23·log32=4. 答案:D

()

3.已知2a=5b=10,则1a+1b=________. 解析:因为2a=5b=10,所以a=log210,b=log510.根据换底 公式得a=lg12,b=lg15,所以1a+1b=lg 2+lg 5=1. 答案:1

4.方程lg x+lg(x+3)=1的解是x=________.
解析:原方程可化为lg(x2+3x)=1, ∴???xx>+03,>0,
??x2+3x-10=0. 解得x=2. 答案:2

5.计算下列各式的值: (1)lg25+lg 2+lg 2·lg 5; (2)2(lg 2)2+lg 2·lg 5+ ?lg 2?2-lg 2+1; (3)log535-2log573+log57-log51.8. 解:(1)原式=lg 2+lg 5·(lg 5+lg 2)=lg 2+lg 5=1. (2)原式=lg 2(2lg 2+lg 5)+ ?lg 2-1?2 =lg 2(lg 2+lg 5)+1-lg 2=lg 2+1-lg 2=1. (3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log595 =log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55 =2log55=2.

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