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高中数学第二章圆锥曲线与方程章末专题整合课件新人教b选修2_1

第二章 圆锥曲线与方程 热点透视·专题突破 热点一 圆锥曲线的定义 例 1 (1)抛物线 y2=2px(p>0)上有 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 三点,F 是它的焦点,若|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则( ) A.x1,x2,x3 成等差数列 B.y1,y2,y3 成等差数列 C.x1,x3,x2 成等差数列 D.y1,y3,y2 成等差数列 (2)椭圆4x92+2y42 =1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1、F2 的连线互相 垂直,则△PF1F2 的面积为( ) A.28 B.24 C.22 D.20 分析:由抛物线定义把|AF|,|BF|,|CF|进行转化,表示成关于 x1,x2,x3 的式子即可得. 解析: (1)由抛物线定义:|AF|=|AA′|,|BF|=|BB′|,|CF|=|CC′| ∵2|BF|=|AF|+|CF|,∴2|BB′|=|AA′|+|CC|′. 又∵|AA′|=x1+p2,|BB′|=x2+p2,|CC′|=x3+p2, ∴2???x2+p2???=x1+p2+x3+p2?2x2=x1+x3,∴选 A. (2)|PF1|+|PF2|=14,(|PF1|+|PF2|)2=196, |PF1|2+|PF2|2=(2c)2=100,相减得 2|PF1|·|PF2|=96. S=12|PF1|·|PF2|=24.故选 B. 答案:(1)A (2)B 热点二 圆锥曲线的方程与性质 例2 (1)如图,椭圆 C1,C2 与双曲线 C3,C4 的离心率分别是 e1,e2 与 e3,e4,则 e1,e2,e3,e4 的大小关系是( ) A.e2<e1<e3<e4 B.e2<e1<e4<e3 C.e1<e2<e3<e4 D.e1<e2<e4<e3 (2)设双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l:x=ac2(c 为双曲线的半焦距的长)与两条渐近线交于 P、Q 两点,如果△PQF 是 直角三角形,则双曲线的离心率 e=________. 分析: 解答本题的关键是利用双曲线的性质和题目条件,建立 a,b,c 的关系,注意对△PQF 这一特征三角形分析,可找到问题的突破口 解析: (1)椭圆离心率为 e,则 e2=1-ba22,∴0<e2<e1<1. 双曲线的离心率为 e′,则 e′=1+ba22.∴1<e3<e4. 因此 0<e2<e1<1<e3<e4. (2)由双曲线的对称性,知|PF|=|QF| 又∵△PQF 是直角三角形, ∴∠PFQ=90°,∠PFO=45°. 渐近线为 y=±bax. 由题意知点 P 坐标为???ac2,acb???, ∴acb=c-ac2即 a=b. ∴e=ac= a2a= 2. 答案:(1)A (2) 2 热点三 直线与圆锥曲线的位置关系 例 3 已知椭圆x22+y2=1. (1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程; (2)过 N(1,2)的直线 l 与椭圆相交,求 l 被椭圆截得的弦的中点轨 迹方程; (3)求过点 P???21,12???且被 P 点平分的弦所在直线的方程. 解析: 设弦的两端点为 A(x1,y1)、B(x2,y2),中点 M(x0,y0),则有 x1 +x2=2x0,y1+y2=2y0. 由x221+y21=1,x222+y22=1. 两式作差得:?x2-x1?2?x2+x1?+(y2-y1)(y2+y1)=0, ∴xy22--yx11=-2?xy22++xy11?=-2xy00. 即 kAB=-2xy00. ① (1)设弦中点为 M(x,y),由①式,2=-2xy,∴x+4y=0. 故所求的轨迹方程为 x+4y=0(在已知椭圆的内部). (2)不妨设 l 交椭圆于 A、B,弦中点为 M(x,y). 由①式,k1=kAB=-2xy,又∵kl=kMN=xy--21,∴-2xy=xy--21. 整理得 x2+2y2-x-4y=0,此式对 l 的方程为 x=1 时也成立. ∴所求中点轨迹方程是 x2+2y2-x-4y=0(在已知椭圆的内部). (3)由①式,弦所在的直线的斜率 k=-2xy00=-12,故其方程为 y -12=-12???x-12???,即 2x+4y-3=0. 热点四 轨迹问题 例 4 一动圆过定点 A(2,0),且与定圆 x2+4x+y2-32=0 内切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程. 分析: 设圆心坐标 ―→ 利用两圆内切 ―→ 转化为椭圆定义 ―→ 得到圆心的轨迹方程 解:将圆的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=62, 这时,已知圆的圆心坐标为 B(-2,0), 半径为 6,如图:设动圆圆心 M 的坐标为(x,y), 由于动圆与已知圆相内切,设切点为 C. ∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离,即 |BC|-|MC|=|BM|, 而|BC|=6, ∴|BM|+|CM|=6,又|CM|=|AM|, ∴|BM|+|AM|=6, 根据椭圆的定义知 M 的轨迹是以点 B(-2,0)和点 A(2,0)为焦点, 线段 AB 的中点(0,0)为中心的椭圆.∴a=3,c=2,b= a2-c2= 5, ∴所求圆心的轨迹方程为x92+y52=1. 【专题突破】 1.如图,F1,F2 是椭圆 C1:x42+y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点, A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为 矩形,则 C2 的离心率是( ) 3 6 A. 2 B. 3 C.2 D. 2 解析: 椭圆 C1 中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2 3. 又因为四边形 AF1BF2 为矩形, 所以∠F1AF2=90°. 所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 所以|AF1|=2- 2,|AF2|=2+ 2. 所以在双曲线 C2 中,2c=2 3,2a=|AF

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