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幂函数知识总结


幂 函 数 复 习
α 的函数称为幂函数, 是自变量, 一、幂函数定义:形如 y = x (α ∈ R) 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是 幂函数定义:

常数。 常数。 注意:幂函数与指数函数有何不同? 注意:幂函数与指数函数有何不同? 思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同, 【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位 而指数函数的自变量在指数位置. 置,而指数函数的自变量在指数位置. 观察图: 观察图:

归纳:幂函数图像在第一象限的分布情况如下: 归纳:幂函数图像在第一象限的分布情况如下: 如下

二、幂函数的性质

1

归纳:幂函数在第一象限的性质: 归纳:幂函数在第一象限的性质:

α > 0 ,图像过定点(0,0) 1,1) 在区间( 0,+∞ )上单调递增。 (1,1 ,在区间 上单调递增。 图像过定点(0,0) 1,1) 在区间( ( , α < 0 ,图像过定点(1,1) 在区间( 0,+∞ )上单调递减。 ,在区间 上单调递减。 图像过定点(1,1) 在区间( ,
探究: 探究:整数 m,n 的奇偶与幂函数 y = x (m, n ∈ Z , 且m, n互质) 的定义域以及奇偶 性有什么关系? 性有什么关系?
m n 结果: 结果:形如 y = x (m, n ∈ Z , 且m, n互质) 的幂函数的奇偶性 都为奇数时, 为奇函数,图象关于原点对称; (1)当 m,n 都为奇数时,f(x)为奇函数,图象关于原点对称; 为偶数时, 为偶函数, 轴对称; (2)当 m 为奇数 n 为偶数时,f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称; 为奇数时, 是非奇非偶函数,图象只在第一象限内. (3)当 m 为偶数 n 为奇数时,f(x)是非奇非偶函数,图象只在第一象限内. 幂函数的图像画法: 三、幂函数的图像画法: 关键先画第一象限,然后根据奇偶性和定义域画其它象限。 关键先画第一象限,然后根据奇偶性和定义域画其它象限。 1,在第一象限为抛物线型 在第一象限为抛物线型( ; 指数大于 1,在第一象限为抛物线型(凹) 1,在第一象限为上升的射线 在第一象限为上升的射线; 指数等于 1,在第一象限为上升的射线; 在第一象限为抛物线型( ; 指数大于 0 小于 1,在第一象限为抛物线型(凸) 0,在第一象限为水平的射线 在第一象限为水平的射线; 指数等于 0,在第一象限为水平的射线; 0,在第一象限为双曲线型 在第一象限为双曲线型; 指数小于 0,在第一象限为双曲线型; 规律方法总结: 四、规律方法总结: m n

α 的图像: 1、幂函数 y = x (α = 0,1) 的图像:

y = x α (α = 2、幂函数

q , p, q ∈ Z , p, q互质) p 的图像: 的图像:

2

3、比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: 比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性; 若能化为同指数,则用幂函数的单调性; 单调性 (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性; 若能化为同底数,则用指数函数的单调性; (3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作 若既不能化为同指数,也不能化为同底数, 为桥梁来比较大小. 为桥梁来比较大小. 题型一: 题型一:幂函数解析式特征 1.下列函数是幂函数的是 下列函数是幂函数的是( 例 1.下列函数是幂函数的是( ) A.y=x
x

B.y=3x

2

C.y=x +1
2

1 2

D.y=x

?3

2 m 练习 1:已知函数 y = (m ? m ? 1) x

? 2 m ?1

是幂函数,求此函数的解析式. 是幂函数,求此函数的解析式.

2 a ?9 是幂函数,且图象不经过原点, 练习 2:若函数 f (x) = (a ? 9a + 19) x 是幂函数,且图象不经过原点,求函数的

解析式. 解析式.

题型二: 题型二:幂函数性质 下列命题中正确的是( 例 2:下列命题中正确的是(
α



A.当 α = 0 时,函数 y = x 的图象是一条直线 , 1 B.幂函数的图象都经过(0,0)(1,1)两点 幂函数的图象都经过( ( C.幂函数的 y = x 图象不可能在第四象限内
3
α

为奇函数, 定义域内是 D.若幂函数 y = x 为奇函数,则在定义域内是增函数 如图, 在第一象限的图象, 练习 3:如图,曲线 c1, c2 分别是函数 y=xm 和 y=xn 在第一象限的图象,那么 一定有( 一定有( ) B. C. D. A.n<m<0 B.m<n<0 C.m>n>0 D.n>m>0 y c1 的单调递减区间为( ) (1 练习 4:(1)函数 y= x 的单调递减区间为( . (-∞ (-∞ [0,+∞ D. ∞,+∞) (-∞ A. (-∞,1) B. (-∞,0) C. 0,+∞) D. [ (- ,+∞ .函数 (2) 函数 y=x 4 在区间上 .
?3
2 5

α

c2 0 x

是减函数. 是减函数.

.幂函数的图象过点(2, (3) 幂函数的图象过点(2, 4 ), 则它的单调递增区间是 .幂函数的图象过点 题型三: 题型三:比较大小 利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂的值的大小: .利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂的值的大小: ( 1 ) 2 . 3 , 2 .4 ; (2) 0.31 , 0.35 ;
2 2 ( 3) ( 2 ) , ( 3 ) ; ? 3 6 5 6 5 3 4 3 4

1



?

3

2 2 (4) 1.1 , 0.9 . 经典例题: .经典例题:

?

1

?

1

为偶函数, 的值, 例 1、已知函数 f ( x) = x ?2m + m +3 (m ∈ Z) 为偶函数,且 f (3) < f (5) ,求 m 的值,
2

的解析式. 并确定 f ( x) 的解析式. 的取值范围. 例 2、若 (m + 1)?1 < (3 ? 2m)?1 ,试求实数 m 的取值范围. 的取值范围. 例 3、若 (m + 1)3 < (3 ? 2m)3 ,试求实数 m 的取值范围. 的取值范围. 例 4、若 (m + 1)4 < (3 ? 2m)4 ,试求实数 m 的取值范围. 的定义域是全体实数, 例 5、函数 y = (mx 2 + 4 x + m + 2) 4 + (m2 ? mx + 1) 的定义域是全体实数,求 m 的 取值范围。 取值范围。
? 1

4


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