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3366433.com:人教A版高中数学必修四 2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教案 精品

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、教学目标: 知识与技能: 1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法. 2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、 角度、垂直等几何问题. 过程与方法: 通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生 的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质. 情感、态度与价值观 通过学习体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力.进 行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育,提高学生学习数学的积极性. 二.重点难点 重点:平面向量数量积的坐标表示. 难点:向量数量积的坐标表示的应用. 三、教材与学情分析 平面向量的数量积 ,教材将其分为两部分 .在第一部分向量的数量积中 ,首先研究平面向 量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义 ,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本 结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中 ,在平面向量数量积的坐标表示的基础上 ,利 用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节 是平面向量数量积的第二部分. 前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐 标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的 数量积是否也能用坐标表示的问题 .另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角 , 因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用 平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量 数量积以及向量的模、夹角的坐标表示. 教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、 课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其 中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了 平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠 定了知识和方法基础. 四、教学方法 问题引导,主动探究,启发式教学. 五、教学过程 (一)创设问题情境,引出新课 思路 1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方 式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极 大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向 量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢?由此直接进入主题. 思路 2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条 件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后 ,它能否 用坐标来表示?若能 ,如何通过坐标来实现呢?平面向量的数量积还会是一个有 序实数对吗?同时,平面向量的模、 夹角又该如何用坐标来表示呢?通过回顾两个 向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、 探索平面向量 数量积的坐标表示. (二)探究新知 ①平面向量的数量积能否用坐标表示? ②已知两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用 a 与 b 的坐标表示 a· b 呢? ③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件? ④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式? 活动 :教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究 .前面学习了向量的坐标 可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与 向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那 么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标 来表示呢?教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的 坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程 ,教师给予必要的提示和补充 .推导过程 如下:∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a· b=(x1i+y1j)· (x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i· j+x2y1i· j+y1y2j2. 又∵i· i=1,j· j=1,i· j=j· i=0,∴a· b=x1x2+y1y2. 教师给出结论性的总结,由此可归纳如下: 1° 平面向量数量积的坐标表示:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 即 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2. 2° 向量模的坐标表示:若 a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|= x2 ? y2 . 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么 a=(x2-x1,y2-y1),|a|= ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 . 3° 两向量垂直的坐标表示:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b ? x1x2+y1y2=0. 4° 两向量夹角的坐标表示:设 a、b 都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是 a 与 b 的夹角,根据 向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ= a?b ? | a || b | x1 x 2 ? y1 y 2 2 2 x12 ? y12 ? x 2 ? y2 讨论结果:略. (三)应用示例 例 1 已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明. 活动 :教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题 .判断平面 图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等 ,角是否为直角.可先作出草图,进行 直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等 ,则此平面 图

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