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上海市闸北区2014届高考二模数学(文)试题(纯Word版)


2014 年闸北区高考数学 (文科 )二模卷
一、填空题 (54 分 ) 本大题共有 9 题,每个空格填对得 6 分,否则一律得零分 . 1. 设 a ? R , i 是虚数单位 . 若复数 2. 不等式

a?i 是纯虚数,则 a ? 3?i

.

4 ? x 的解集为 ______. x 3. 若 2 是 log2 a 与 log2 b 的等差中项,则 a ? b 的最小值为 ______.

? x …0, ? 4. 设变量 x, y 满足 ? x ? y …0, 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为 ______. ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
5. 若轴截面是正方形的圆柱的上、下底面圆周均位于一个球面上,且球与圆柱的体积分别 为 V1 和 V2 ,则 V1 : V2 的值为 .

6. 设 x ? R ,向量 a ? ( x,1),b ? (1,?2) ,且 a ? b ,则 | a ? b |? ______. 7. 如图, ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直 角三角形,再沿虚线折起,得 A 、 B 、 C 、 D 四个点重合于图中的点 P ,正好形成一 个正四棱柱形状的包装盒,E 、F 在

AB 上, 是被切去的一个等腰直角三
角 形 斜 边 的 两 个 端 点 . 设

AE ? FB ? x cm. 若要使包装盒的侧
8. 设 a ? 0 , an ? n ? a n ,若 ?an ? 是单调 递减数列,则实数 a 的取值范围为 ______. 9. 已知集合 A ? ( x, y) | y ? x ? m , B ? ?( x, y) | y ? mx ? ,若集合 A ? B 中有且仅有 两个元素,则实数 m 的取值范围是 . 面积最大,则 x 的值为 ______.

?

?

二、选择题 (18 分 )本大题共有 3 题,每题选对得 6 分,否则一律得零分. 10. 袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋 中 ( A. 任 ) 取 两 球 , 两 球 颜 色 不 同 的 概 率 等 于

11. 函数 f ( x) ? M sin?x(? ? 0) ,在区间 ?a, b? 上是增函数,且 f (a) ? ?M , f (b) ? M 则 函 ( 数 ) B. 是减函数 D. 可以取得最小值 ? M

8 15

B.

3 5

C.

2 3

D.

11 15

f ( x) ? M c ?x o

在s





?a, b?



A. 是增函数 C. 可以取得最大值 M

12. 现有某种细胞 100 个,其中有占约总数

1 的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞分裂 2

成 2 个 细 胞 , 按 这 种 规 律 发 展 下 去 , 经 过 10 小 时 , 细 胞 总 数 大 约 为 ( ) A.3844 个 B.5766 个 C.8650 个 D.9998 个

三、解答题 ( 78 分 ) 本大题共有 4 题,请在答题纸内写出必要的步骤 . 13. 本题满分 18 分,第 1 小题满分 9 分,第 2 小题满分 9 分 如 右 图 , 在 正 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 ,

AA1 ? A1 B1 ? 4 , D 、 E 分别为 AA1 与 A1 B1 的中点 .
(1) 求异面直线 C1 D 与 BE 的夹角; (2) 求四面体 BDEC 1 体积 .

14. 本题满分 18 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分

3 ? 2x ( x ? R) . 3 ? 2x (1) 求函数 y ? f ( x) 的值域和零点;
设函数 f ( x) ? (2) 请判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性和单调性,并给予证明 .

15. 本题满分 20 分,第 1 小题满分 10 分,第 2 小题满分 10 分 设 ?an ? 是正数组成的数列,其前 n 项和为 S n ,并且对任意的 n ? N , an 与 2 的等差
?

中项等于 S n 与 2 的等比中项 . (1) 求证:数列 {an } 的通项公式为 an ? 4n ? 2 ; (2) 已知数列 ?bn ? 是以 2 为首项, 公比为 3 的等比数列, 其第 n 项恰好是数列 ?an ? 的第 r 项,求 lim

r 的值 . n?? 3 n

16. 本题满分 22 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 16 分 已知反比例函数 y ?

1 的图像 C 是以 x 轴与 y 轴为渐近线的等轴双曲线 . x

(1) 求双曲线 C 的顶点坐标与焦点坐标; (2) 设直线 l 过点 P (0,4) ,且与双曲线 C 交于 A 、 B 两点,与 x 轴交于点 Q . ① 求 A 、 B 中点 M 的轨迹方程; ② 当 PQ ? ?1 QA ? ?2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ?8 时,求点 Q 的坐标 .

2014 年闸北区高考数学 (文科 )二模卷
一、填空题 1.

1 【解析】 3

a ? 1)? ( a ? 3)i 3a ? 1 a ? 3 a ? i (a ? i)(3? i) 3a ? ai ? 3i ? i2 (3 ? ? i, ? 由题意得 又复数 ? ? 10 10 10 10 3 ? i (3? i)(3 ? i)
3a ? 1 1 ? 0 ,所以 a ? . 10 3 4 x2 ? 4 x ? 0 ? ? x ? 0 ,显然 x ? 0 时不成立,当 x ? 0 时, 2. (0, 2) 【解析】当 时, ? x x 4 x2 ? 4 ?x? ? 0 ,即 0 ? x ? 2 ,所以不等式的解集为 (0, 2) . x x
为纯虚数,所以 3. 8 【解析】由题得 log2 a ? log2 b ? 2 ? 2 ,所以 log2 ab ? 4, ab ? 2 ,又 a ? 0, b ? 0 ,
4

所以 a ? b …2 ab ? 8 ,所以 a ? b 的最小值为 8 .

x …0 ? ? 4. 3【解析】如图为不等式组 ? x ? y …0 表示的区域,如图所示,当其过点 A(1, 0) 时 z ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
取得最大值 zmax ? 3 ?1 ? 2 ? 0 ? 3.

5.

4 2 【 解析 】因为圆柱截面为正方形,则圆柱高与底面直径长相等,设为 2R , 又上下 3

底 面 圆 周 均 在 同 一 球 面 上 , 则 球 面 半 径 为

(2R)2 ? (2 R)2 = 2

2 R. 所 以

4 π( 2 R)3 4 V1 3 2. = = 3 V2 2πR3
6.

10 【 解 析 】

a ? b 则 a ?b = 0 , 所 以

x - 2=0 ? x =2 , 得

a =(2,1), b =(1, -2). a ? b = (2 ? 1) 2 ? (1 ? 2) 2 = 10 .
7. 15【 解析 】由题意, 包装盒侧面高为 AB=FB =x cm, 则 EF=(60- 2 x )cm, 又阴影部分为等腰直角三角形, ?

2 (60 -2 x )cm=(30 2 - 2 x )cm, 由 勾 股 定 理 , 长 为 2 x cm. 则 侧 面 积 为 2

S侧 =4(30 2 - 2 x) 2 x=-8 x 2 +240 x= -8 ( x ? 15)2 +1800, 所以当 x=15cm 时,包装盒的侧面
积最大 , 最大面积为 1800 cm . 8.(0 , ) 【 解析】an ? n ? an ? an?1 ? (n ? 1) ? an?1 ? an?1 ? an ? (n ? 1) ? an?1 ? n ? an , 由于 ?an ? 是 单 调 递 减 数 列 , 所 以
2

1 2

(n ? 1) ? an?1 ? n ? an ? 0



1 1 1 a n?1 n 1 ? a ? 1? a ?0? n ? ? 1? , n 厖1,?1 ? . 所以 a 的取值范围 n ?1 n ?1 2 a n ?1 n ?1 1 是 (0, ) . 2 9.( ?1, 0 【 ) 解析】 当 m ? 0, A 中集合中所有元素为正,B 过 (0,0) 点, 至多有一个交点 . 当 m ? 0 只 有 一 个 交 点 , 所 以 m ? 0 , 如 图 , 可 知 只 有 y ? m x 斜 率 大 于 ?1 时 有 两 个 交 点 , 所 以 m ? (?1, 0) .

二、选择题
2 2 2 10.D【 解析 】由题意知总共的抽法有 C6 , 任取两个球,其颜色相同的取法有 C2 ,所以 ? C3
2 2 2 任取两球颜色不同的取法有 C6 ? C2 ? C3 种,所以任取两球颜色不同的概率

?

?

2 C62 ? ? C2 ? C32 ? 11 P? = . C62 15

11. C 【 解析 】因为函数在给定区间内是增函数,且 f ? x? ? M sin? x在 a , b 处分别取得最 小值和最大值,则知 M ? 0 , 且 ? a ? ?

π π ? 2kπ , ?b ? ? 2kπ ,由正弦函数与余弦函数图 2 2

像的关系,知 f ? x ? ? M cos ?x 在此区间内先增后减,∴ f ? x ? ? M sin ? x 在区间 [ a , b ] 上可 以取得最大值 M . 故选 C. 12. B 【 解析 】由题意知细胞每次分裂之后都有一半的细胞在下一次具备 分裂的能力,设

n ? 100 , 经 过 一 个 小 时 有 细 胞 数 为
2

n n 3 ? ?2 ? n , 经 过 两 个 小 时 有 细 胞 数 为 2 2 2
10

3 1 3 1 9n ? 3 ? ?3? n? ? n? ? 2 ? ? ? ? n ,以此规律即可得经过十小时细胞总数为 ? ? n ,把 2 2 2 2 4 ?2? ?2?
n ? 100 代入关系式得细胞总数约为 5766.
三、解答题 13. 本题满分 18 分,第 1 小题满分 9 分,第 2 小题满分 9 分 【解】(1) 过点 D 作 DF // BE 交 AB 于点 F ,连结 FC1 , ?C1DF 即所求异面直线所成角 ( 或 补角 ) -----------2 分 解得 DC1 ?

20 --------------------------------------------1 分
----------------------------------------------1 分

DF = 22 ?12 = 5 ,
∴ FC= ∴ FC1 =

AC2 ? AF 2 ? 2 AC ? AF cos60 = 42 ? 12 ? 2 ? 4 ?1?

1 = 13 ,又 CC1 =4 , 2

FC 2 ? CC12 = 29 , ----------------------------------------------2 分

由余弦定理,有

DC12 ? DF 2 ? FC12 1 ? ? .--------------3 分 cos?C1 DF ? 5 2DC1 ? DF 1 所以,异面直线 C1 D 与 BE 的夹角为 arccos .---------1 分 5

(2)DE= 22 ? 22 = 2 2 ,BD= 20 , △ BDE 的高为 3 2 ,∴ S△BDE ? ∴ △BDE 的面积为 6 , --------------------------------------2 分

1 ? 2 2 ? 3 2 =6 , 2

∵ △A1B1C1 为等边三角形, E 为 A1B1 中点,∴ C1E = 42 ? 22 =2 3 , ∴高为 C1 E ? 2 3 , 四面体 BDEC 1 体积 V ? ----------------------------------------3 分

1 ? 6 ? 2 3 ? 4 3 .------------4 分 3

14. 本题满分 18 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分

3 ? 2x 6 ? ?1 ? , x 3? 2 3 ? 2x 1 1 6 ? 2 x ? 0 ,∴ 3+ 2 x >3 ? 0< < ? 0< <2, x 3? 2 3 3 ? 2x ? ?1 ? f ( x) ? 1 ,故 y ? f ( x) 的值域为 ?? 1,1? ; ----------------------------------------6 分 6 ? 1 ,解得 x ? log2 3, 令 f(x)=0, 即 3 ? 2x ∴ y ? f ( x) 的零点为 x ? log2 3. ----------------------------------------2 分 (2) 对任意的 x ? R , 3 ? 2 ?1 5 1 f (?1) ? ? ? ? ? ? f (1) , ----------------------------------------2 分 ?1 7 5 3? 2 故 y ? f ( x) 是非奇非偶函数 . ---------------------------------------2 分 所以,对任意的 x1 , x2 ? R , x1 ? x 2 ,
【解】 (1) f ( x) ?

6 6 6(2 x2 ? 2 x1 ) .-------------------------------2 分 ? ? 3 ? 2 x1 3 ? 2 x2 (3 ? 2 x1 )(3 ? 2 x2 ) x x x x 因为 3 ? 2 1 ? 0,3 ? 2 2 ? 0,2 2 ? 2 1 ? 0 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ----------------------------------------2 分 故 y ? f ( x) 在定义域 R 上是减函数 . ---------------------------------------2 分 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
15. 本题满分 20 分,第 1 小题满分 10 分,第 2 小题满分 10 分 【解】 ( 1 ) 证法一:由题意 当 n ? 1 时, a1 ?

an ? 2 1 ? 2S n , a n ? 0 ,得 S n ? ( a n ? 2) 2 8 2

1 (a1 ? 2) 2 ,得 a1 ? 2 ; --------------------------------------------------------2 分 8 1 2 当 n …2 时, S n ?1 ? (a n ?1 ? 2) . 8

1 [( a n ?1 ? 2) 2 ? (a n ? 2) 2 ] . 8 整理,得 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 4) ? 0 .---------------------------------------------------------4 分
所以, a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? 由题意知 an?1 ? an ? 0 ,所以 an?1 ? an ? 4 .---------------------------------------------------2 分 所以数列 ?an ? 为首项为 2 ,公差为 4 的等差数列,即 an ? 4n ? 2 .-----------------------2 分 证法二:用数学归纳法:

1 ? 当 n ? 1 时, a1 ? 2 符合题意; ---------------------------------------------------------2 分 ? * 2 假设 n ? k (k∈ N )时,结论成立,即 ak ? 4k ? 2 .-----------------------------------------1 分

ak ? 2 ? 2S k , 2 将 ak ? 4k ? 2 代入上式,得 2k ? 2S k ,解得 S k ? 2k 2 . ------------------------------2 分
由题意有

a ?2 ?a ? 2? ? 2S k ?1 ,即 ? k ?1 由题意有 k ?1 ? ? 2?a k ?1 ? 2k 2 ? . 2 ? 2 ? 2 2 整理,得 ak ?1 ? 4ak ?1 ? 4 ? 16k ? 0 .
由于 ak ?1 ? 0 ,解得: ak ?1 ? 4k ? 2 ? 4(k ? 1) ? 2 .(k ∈ N )----------------------------------4 分
*

2

综上所述,对所有的 n ? N , an ? 4n ? 2 .---------------------------------------------------1 分
*

(2 ) 由题意, 2 ? 3

n ?1

? 4r ? 2 ,解得 r ?

3n ?1 ? 1 , Tn ? 3n ? 1, ---------------6 分 2
-------------------------------------------------4 分

? lim

r 3n?1 ? 1 1 ? lim ? . n n?? T n?? 2 ? (3 ? 1) 6 n

16. 本题满分 22 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 16 分 【解】 (1) 由题意得:顶点: A1 (?1,?1) 、 A2 (1,1) , ---------------------------------2 分 焦点: F1 (? 2 ,? 2 ) 、 F2 ( 2 , 2 ) 为焦点 .--------------------------------------4 分 (2) ①直线 l 斜率不存在或为 0 时显然不满足条件; 设直线 l : y ? kx ? 4 ( k ≠ 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , M ( x, y ) , ---------------------1 分 将 y ? kx ? 4 代入 y ?

1 2 ,得 kx ? 4 x ? 1 ? 0 , x ? ? 16 ? 4k ? 0 , k ? ?4 , 4 1 x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x 2 ? ? , k k x ? x2 y ? y2 2 x? 1 ?? ,y? 1 ? 2, 2 k 2 2 ?1 ? k ? ?4 ? ? ? ? ??, 0 ? ? , ?∞? , k ?2 ?

--------------------------------------1 分 --------------------------------------1 分 -------------------------------1 分 --------------------------------------1 分 --------------------------------------2 分

所以, A 、 B 中点 M 的轨迹方程为 y ? 2 ( x ? ? ??, 0 ? ②直线 l 斜率不存在或为 0 时显然不满足条件;

?1 ? ? , ?∞? ).-----------------------1 分 ?2 ?
-------------------------------------1 分

设直线 l : y ? kx ? 4 ( k ≠ 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 Q(?

4 ,0) -----------------------1 分 k

1 2 ,得 kx ? 4 x ? 1 ? 0 , --------------------------------------1 分 x 4 1 x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x 2 ? ? . -------------------------------------1 分 k k 4 4 ? 4 ? ? ? ? ? ? PQ ? ?1 QA ? ?2 QB , ? ? ? ,?4 ? ? ?1 ? x1 ? , y1 ? ? ?2 ? x2 ? , y 2 ? , -----------1 分 k k ? k ? ? ? ? ? ?4 ?4 ?1 ? ?2 ? ? ? ?8 ,即 k ( x1 ? x2 ) ? 8 ? 2(kx1 ? 4)(kx2 ? 4) , kx1 ? 4 kx2 ? 4 解得 k ? ?2 , --------------------------------------2 分 --------------------------------------1 分 ? Q(2,0) . y?4 1 解二:将 x ? ( k ≠ 0) 代入 y ? , k x 2 得 y ? 4 y ? k ? 0 , ----------------------------1 分 -----------------------------------------1 分 y1 ? y2 ? 4 , y1 ? y 2 ? ?k
将 y ? kx ? 4 代入 y ?

? PQ ? ?1 QA ? ?2 QB 4 4 ? 4 ? ? ? ? ? -----------------------------------------1 分 ? ? ? ,?4 ? ? ?1 ? x1 ? , y1 ? ? ?2 ? x2 ? , y 2 ? k k ? k ? ? ? ? ? 4 4 ? ?4 ? ?1 y1 ? ?2 y 2 , ? ?1 ? ? , ?2 ? ? . y1 y2 1 1 又 ?1 ? ?2 ? ?8 , ? ? 2 ,即 y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 . y1 y 2 ? 4 ? 2(?k ) ? k ? ?2 , --------------------------------------2 分 ? Q(2,0) . --------------------------------------1 分


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