当前位置:首页 >> 高考 >>

2013年全国各地高考试题分类汇编(函数与导数)


2013 年全国各地高考试题分类汇编(函数与导数) 1.(2013 广东.理)(14 分)设函数 f ? x ? ? ? x ?1? ex ? kx2 (其中 k ? R ).
?1 ? (Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;(Ⅱ) 当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ?0, k ? 上的最大 ?2 ?

值M . 【解析】(Ⅰ) 当 k ? 1 时,

f ? x ? ? ? x ?1? ex ? x2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?
令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

x
f ? ? x? f ? x?

? ??,0?
?

0

? 0,ln 2?
?

ln 2

? ln 2, ???
?

0

0

极大值

极小值

右表可知,函数 f ? x ? 的递减区间为 ? 0,ln 2? ,递增区间为 ? ??,0? , ? ln 2, ??? . 2. (本小题满分 14 分)(2013 广东文) 设函数 f ( x) ? x 3 ? kx 2 ? x

?k ? R ? .

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M .
' 2 【解析】 : f ? x ? ? 3x ? 2kx ?1 ' 2 (1)当 k ? 1 时 f ? x ? ? 3x ? 2x ?1, ? ? 4 ?12 ? ?8 ? 0

? f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增.
3(本小题共 13 分)(2013 北京.理) 设 l 为曲线 C : y ? ln x 在点 (1,0) 处的切线. x (Ⅰ)求 l 的方程; (Ⅱ)证明:除切点 (1,0) 之外,曲线 C 在直线 l 的下方. ln x 1 ? ln x ? y? ? 解: (I) y ? ,所以 l 的斜率 k ? y? x?1 ? 1 x x2

1

所以 l 的方程为 y ? x ? 1 (II)证明:令 f ( x) ? x( x ?1) ? ln x( x ? 0) 则 f ?( x) ? 2 x ? 1 ?
1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? x x

? f ( x) 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又 f (1) ? 0
ln x ? x ?1 x ln x ? x ?1 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 ,即 x 即除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方

x ? (0,1) 时, f ( x) ? 0 ,即

4. (13 分) (2013?北京.文)已知函数 f ( x) ? x2 ? x sin x ? cos x (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a)) 处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有两个不同交点,求 b 的取值范围. 解:(1) f ?( x) ? 2 x ? x cos x ,因为曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a)) 处与直线 y ? b 相切,

? f ?(a) ? 0 ?2a ? a cos a ? 0 ?a ? 0 所以 ? 故 a ? 0, b ? 1 ?? 2 ?? ? f (a) ? b ?a ? a sin a ? cos a ? b ?b ? 1
(2)
f ?( x) ? x(2 ? cos x)

于是当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 单调递增. 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 单调递减. 所以当 x ? 0 时, f ( x) 取得最小值 f (0) ? 1 , 故当 b ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有两个不同交点.故 b 的取值范围是 (1, ??) .

5.(2013 大纲版.文)(12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 (1)求当 a ? ? 2 时,讨论 f ( x) 的单调性; (1)若 x ?[2, ??) 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 解:(1)求当 a ? ? 2 时, f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3x ? 1

2

f ?( x) ? 3x2 ? 6 2x ? 3 ,令 f ?( x) ? 0 ? x ? 2 ?1 或 x ? 2 ? 1
当 x ? (??, 2 ?1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, 当 x ? ( 2 ?1, 2 ?1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 当 x ? ( 2 ? 1, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;
5 5 (2)由 f (2) ? 0 ,可解得 a ? ? ,当 a ? ? , x ? (2, ??) 时, 4 4 5 1 f ?( x) ? 3( x 2 ? 2ax ? 1) ? 3( x 2 ? x ? 1) ? 3( x ? )( x ? 2) ? 0 2 2

所以函数 f ( x) 在 (2, ??) 单调递增,于是当 x ?[2, ??) 时,
f ( x) ? f (2) ? 0
5 综上可得, a 的取值范围是 [? , ??) . 4

6. (13 分) (2013?福建)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.
a x 2 (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2ln x , f ?( x) ? 1 ? , x

解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? 1 ?

因而 f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 (2)由 f ( x) ? 1 ?
a x?a ? ( x ? 0) 知: x x

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 为 (0, ??) 上的增函数,函数 f ( x) 无极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a 又当 x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (a, ??) 时, f ?( x) ? 0 . 从而函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a) ? a ? a ln a ,无极大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 无极值;
3

当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极小值 f (a) ? a ? a ln a ,无极大值.
a (a ? R ), ( e 为自然对数的底数) ex

7. (14 分) (2013?福建)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值; (3)当 a ? 1 时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值. 解:(1)由 f ( x) ? x ? 1 ? 轴,? f ?(1) ? 0 ? 1 ? (2) f ?( x) ? 1 ?
a a ,得 f ?( x) ? 1 ? x ,又曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x x e e

a ?0?a ?e e

a , ex

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 为 (??, ??) 上的增函数,函数 f ( x) 无极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ln a 又当 x ? (??,ln a) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (ln a, ??) 时, f ?( x) ? 0 .
? f ( x) 在 (??,ln a) 上单调递减,在 (ln a, ??) 上单调递增,

从而函数 f ( x) 在 x ? ln a 处取得极小值,且极小值为 f (ln a) ? ln a ,无极大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 无极值; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 x ? ln a 处取得极小值 f (ln a) ? ln a ,无极大值. 8. (13 分) (2013?安徽)设函数
f n ( x) ? ?1 ? x ? x 2 x3 ? ? 22 32 ? xn ( x ? R, n ? N * ) ,证明: n2

2 (1)对每个 n ? N * ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ; 3

x 2 x3 证明: (1)对每个 n ? N ,当 x ? 0 时,由函数 f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? 2 3
*

xn ? 2 ( x ? R* , n ? N * ) , n

可得

4

x x2 f ?( x) ? 1 ? ? ? 2 3

?

x n?1 ? 0 ,故函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数.求得 n
2 2 2 ( ) 2 ( )3 ( )n 2 2 1 1 n 2 1 ? 2 ? 0 ,又 f n ( ) ? ?1 ? ? [ 32 ? 32 ? ? 3 2 ] ? ? ? ? ? ( )i 3 3 2 3 n 3 4 i?2 3 n

1 1 f1 (1) ? 0, f n (1) ? 2 ? 2 ? 2 3

2 2 ( )2 [1 ? ( )n ?1 ] 1 1 3 1 2 3 ?? ? ? ? ? ? ( )n ?1 ? 0 2 3 4 3 3 1? 3
2 根据函数的零点的判定定理,可得存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 . 3

9. (本小题满分 14 分) (2013 陕西.理) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 若直线 y ? kx ? 1 与 f ( x) 的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x ? 0 , 讨论曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数. 【解析】(Ⅰ) f ( x) 的反函数 g ( x) ? ln x . 设直线 y ? kx ? 1 与 g ( x) ? ln x 相切与点

?kx0 ? 1 ? lnx0 ? ?2 2 ?2 P(x0, y 0 ), 则? 1 ? x 0 ? e , k ? e 。所以 k ? e ?k ? g' (x 0 ) ? x 0 ?
(Ⅱ) 当 x ? 0, m ? 0 时, 曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 的公共点个数即方程 f ( x) ? mx2

根的个数。 由 f ( x) ? mx 2 ? m ?
ex ex xe x ( x ? 2) h ( x ) ? ? h '( x ) ? ,令 x2 x2 x2

则 h( x) 在 (0, 2) 上单调递减,这时 h( x) ? (h(2), ??) , h( x) 在 (2, ??) 上单调递增,这时
h( x) ? (h(2), ??), h(2) ? e2 . 4

h(2) 是 y ? h( x) 的极小值即最小值.

所以对曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数,讨论如下: 当 m ? (0,
e2 e2 ) 时,有 0 个公共点;当 m ? ,有 1 个公共点; 4 4
5

当 m?(

e2 , ??) 有 2 个公共点; 4

10. (本小题满分 14 分) (2013 陕西.文) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 求 f ( x) 的反函数的图象上图象上点 (1, 0) 处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? x2 ? x ? 1 有唯一公共点. 解(Ⅰ) y ? x ? 1 . (Ⅱ) 证明曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ?
1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点,过程如下。令 2
1 2

h( x ) ? f ( x ) ?

1 2 1 x ? x ? 1 ? e x ? x 2 ? x ? 1, x ? R, 则 2 2

h '( x) ? ex ? x ?1, h '( x) 的导数 h ''( x) ? e x ?1, 且
h(0) ? 0,h '(0) ? 0, , h ''(0) ? 0 因此,
当 x ? 0 时, h ''( x) ? 0 ? y ? h '( x) 单调递减; 当 x ? 0 时, h ''( x) ? 0 ? y ? h '( x) 单调递增.

? y ? h '( x) ? h '(0) ? 0, 所以 y ? h( x) 在 R 上单调递增,最多有一个零点 x ? 0
所以,曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ?
1 2 x ? x ? 1 只有唯一公共点 (0,1) .(证毕) 2

12. (本小题满分 13 分)(2013 湖北.文) 设 a ? 0 , b ? 0 ,已知函数 f ( x) ?
ax ? b . x ?1

(Ⅰ)当 a ? b 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 x ? 0 时,称 f ( x) 为 a 、 b 关于 x 的加权平均数. (i)判断 f (1) , f (
b b b b ) , f ( ) 是否成等比数列,并证明 f ( ) ? f ( ) ; a a a a

(ii) a 、 b 的几何平均数记为 G . 称 求 x 的取值范围.

2ab 为 a 、 b 的调和平均数,记为 H . 若 H ? f ( x) ? G , a?b

6

解: (Ⅰ)函数的定义域为 ? x x ? ?1? , f ?( x) ?

a ?b 所以 ( x ? 1) 2

当 a ? b ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (??, ?1) , (?1, ??) 上单调递增; 当 0 ? a ? b 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (??, ?1) , (?1, ??) 上单调递减. (Ⅱ) (i)计算得 f (1) ?
a?b b b 2ab , f ( ) ? ab , f ( ) ? 2 a a a ?b

( ab )2 ?

a ? b 2ab b b ? ? f (1), f ( ), f ( ) 成等比数列, 2 a?b a a 2ab b b ? ab ? f ( ) ? f ( ) a?b a a

a ? 0, b ? 0,?

b 2ab a?b , f( )? a a?b 2 b 故由 H ? f ( x) ? G ,得 f ( ) ? f ( x) ? f (1) . a

(ii)由(i)知 f (1) ?

b b ? x ? 1 ,即 x 的取值范围为 ? x ? 1 ; a a b 当 0 ? a ? b 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减.所以 x 的取值范围为 1 ? x ? a

当 a ? b ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增.这时

13. (2013 江苏卷)(本小题满分 16 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? ax , g ? x ? ? ex ? ax ,其中 a 为实数. (1) 若 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是单调减函数,且 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上有最小值,求 a 的范围; 解: (1) f ( x)' ? x?1 ? a , g ( x)' ? e x ? a 由题意: f ( x)' ? 0 对 x ? ?1, ??? 恒成立 即 a ? x ?1 对 x ? ?1, ??? 恒成立? a ? 1

g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上有最小值
a ? 0 时, g ( x)' ? 0 恒成立, g ( x) 在 ?1, ?? ? 无最值 a ? 0 时,由题意 ln a ? 1 , a ? e

综上: a 的范围是: a ? e

7

15. (13 分) (2013?湖南.文)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; 解: (I)易知函数 f ( x) 的定义域为 R .
1? x x 1? x x f ?( x) ? ( )?e ? e 1 ? x2 1 ? x2

1? x x e . 1 ? x2

?

x 2 ? 2 x ? 1 x 1 ? x x ? x[( x ? 1)2 ? 2] x e ? e ? e (1 ? x 2 )2 1 ? x2 (1 ? x 2 )2

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 .∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, 0) ,单调递 减区间为 (0, ??) . 16(本小题满分 13 分) (2013 山东.理) x 设函数 f ( x) ? 2 x ? c(e ? 2.71828 是自然对数的底数, c ? R) . e (1)求 f ( x) 的单调区间,最大值; 解: (1) f ?( x ) ?
1? 2x 1 ,令 f ?( x) ? 0 ? x ? 2x e 2

1 当 x ? (??, ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 2 1 当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; 2 1 所以当 x ? 时,函数取得最大值 2 1 f max ( x) ? ?c 2e

17(山东.文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? ln x (a, b ? R) (Ⅰ)设 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间 (Ⅱ) 设 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) 。试比较 ln a 与 ?2b 的大小 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? ax2 ? bx ? ln x(a, b ? R) 知 f ?( x) ? 2ax ? b ? 又 a ? 0 ,故当 a ? 0 时, f ?( x ) ?
bx ? 1 x 1 x

若 b ? 0 时,由 x ? 0 得, f ?( x) ? 0 恒成立,
8

故函数的单调递减区间是 (0, ??) ;
1 1 1 ,即函数在 (0, ) 上是减函数,在 ( , ??) 上是增函数. b b b 1 1 所以函数的单调递减区间是 (0, ) ,单调递增区间是 ( , ??) b b

若 b ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 可得 x ?

当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ? 2ax2 ? bx ?1 ? 0 由于 ? ? b2 ? 8a ? 0 ,故有 x1 ? 显然有 x1 ? 0, x2 ? 0 , 故在区间 (0,

?b ? b2 ? 8a ?b ? b2 ? 8a , x2 ? 4a 4a

?b ? b2 ? 8a ?b ? b2 ? 8a ) 上,导数小于 0,函数是减函数;在区间 ( , ??) 上,导 4a 4a

数大于 0,函数是增函数 综上,当 a ? 0, b ? 0 时,函数的单调递减区间是 (0, ??) ;
1 1 当 a ? 0, b ? 0 时,函数的单调递减区间是 (0, ) ,单调递增区间是 ( , ??) b b

?b ? b2 ? 8a ?b ? b2 ? 8a 当a ? 0, 函数的单调递减区间是 (0, 单调递增区间是 ( ), , ??) 4a 4a
(II)由题意,函数 f ( x) 在 x ? 1 处取到最小值, 由(1)知,

?b ? b2 ? 8a ?b ? b 2 ? 8a 是函数的唯一极小值点故 ?1 4a 4a
1? 4x x

整理得 2a ? b ? 1 ? b ? 1 ? 2a 令 g ( x) ? 2 ? 4 x ? ln x ,则 g ?( x ) ? 由 g ?( x) ?

1? 4x 1 ?0? x? x 4 1 当 0 ? x ? 时, g ?( x) ? 0 ,函数单调递增; 4 1 当 x ? ( , ??) 时, g ?( x) ? 0 ,函数单调递减 4 1 因为 g ( x) ? g ( ) ? 1 ? ln 4 ? 0 4

故 g (a) ? 0 ,即 2 ? 4a ? ln a ? 2b ? ln a ? 0 ,即 ln a ? ?2b

19.(2013 全国卷.文)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(a ? 1) x2 ? 6ax
9

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程;

20.(本小题满分 14 分)(2013 江西.理)
1 已知函数 f ( x) ? a(1 ? 2 x ? ), a 为常数且 a ? 0 . 2

(1) 证明:函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? (1)证明:

1 对称; 2

1 1 f ( ? x) ? a(1 ? 2 x ) , f ( ? x) ? a (1 ? 2 x ) 2 2 1 1 1 ? f ( ? x) ? f ( ? x) ,? f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称. 2 2 2

21. (本小题满分 14 分)(2013 江西.文)
?1 x(0 ? x ? a 2 ) ? ?a 设函数 f ( x) ? ? 常数且 a ? (0,1) . 1 2 ? (1 ? x)(a ? x ? 1) ? ?1 ? a
1 1 时,求 f ( f ( )) ; 2 3 1 1 2 1 2 2 2 解: (1)当 a ? 时,求 f ( ) ? ,故 f ( f ( )) ? f ( ) ? 2(1 ? ) ? 2 3 3 3 3 3 3

(1) 当 a ?

22. (12 分) (2013?辽宁.理)已知函数

f ( x) ? (1 ? x)e

?2 x

x3 , g ( x) ? ax ? ? 1 ? 2 x cos x ,当 x ? [0,1] 时, 2
1 ; 1? x

(I)求证: 1 ? x ? f ( x) ?

(II)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. (I) 证明:①当 x ? [0,1) 时, (1 ? x)e?2 ? 1 ? x ? (1 ? x)e? x ? (1 ? x)e x

令 h( x) ? (1 ? x)e? x ? (1 ? x)e x ,则 h?( x) ? x(ex ? e? x ) . 当 x ? [0,1) 时, h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 [0,1) 上是增函数,
? h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ? x .

②当 x ? [0,1) 时, f ( x) ?

1 ? ex ? 1 ? x , 1? x
10

令 u( x) ? e ? x ?1,则 u?( x) ? e ?1 ,当 x ? [0,1) 时, u?( x) ? 0
? u ( x) 在 [0,1) 单调递增,?u( x) ? u(0) ? 0 ,? f ( x ) ?
1 1? x

x

x

综上可知: 1 ? x ? f ( x) ?

1 . 1? x

23.(2013 大纲版.理)(12 分) x(1 ? ? x) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? . 1? x (Ⅰ)若 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 ? 的最小值; 解: (I)由已知, f (0) ? 0 , f ?( x) ? 若? ?

(1 ? 2? ) x ? ? x2 ,且 f ?(0) ? 0 …3 分 (1 ? x)2

1 ,则当 0 ? x ? 2(1 ? 2? ) 时, f ?( x) ? 0 ,所以当 0 ? x ? 2(1 ? 2? ) 时, f ( x) ? 0 ; 2 1 若 ? ? ,则当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 2 1 综上, ? 的最小值为 …6 分 2

24.(2013 大纲版.文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? =x3 ? 3ax2 ? 3x ?1. (I)求 a ? 2 时,讨论 f ( x) 的单调性; (II)若 x ??2, ??? 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)当 a ? ? 2 时, f ? x ? =x3 ? 3 2 x 2 ? 3x ? 1. 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 2 ?1, x2 ? 2 ?1 . 当 x ? (??, 2 ?1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (??, 2 ?1) 上是增函数; 当 x ? ( 2 ?1 2 ?1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ( 2 ?1 2 ? 1) 上是减函数; 当 x ? ( 2 ? 1, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ( 2 ? 1, ??) 上是增函数;
5 (Ⅱ)由 f (2) ? 0 得 a ? ? . 4 5 当 a ? ? , x ? (2, ??) 时, 4 5 1 f ? ? x ? =3x 2 ? 6ax ? 3 ? 3( x 2 ? 2ax ? 1) ? 3( x 2 ? x ? 1) ? 3( x ? )( x ? 2) 2 2

f ? ? x ? =3x 2 ? 6 2 x ? 3 .

所以 f ( x) 在 (2, ??) 是增函数,于是当 x ?[2, ??) 时, f ( x) ? f (2) ? 0 .
11

5 综上, a 的取值范围是 [? , ??) 4

26 (本小题满分 14 分) (2013 天津.理) 已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的单调区间; 解: (Ⅰ)由题意可知函数的定义域为 (0, ??) , 求导数可得 f ?( x) ? 2 x ln x ? x 2 ? 令 f ?( x) ? 0 ? x ?
1 e
1 ? x(2 ln x ? 1) x

当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
(0,
f ?( x ) f ( x)

1 ) e

1 e

(

1 , ??) e

单调递减

0 极小值

+ 单调递增

所以函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0,

1 1 ) ,单调递增区间为 ( , ??) e e

27 (本小题满分 14 分) (2013 天津.文)
? x 3 ? ( a ? 5) x, x ? 0, ? 设 a ? [?2, 0] , 已知函数 f ( x) ? ? 3 a ? 3 2 x ? ax , x ? 0 . ?x ? ? 2

(Ⅰ) 证明 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递减, 在区间 (1, ??) 内单调递增;
i( ( Ⅱ ) 设 曲 线 y ? f ( x) 在 点 Pi ( x i , f ( xi ) )? 1, 2 ,3 ) 切 线 相 互 平 行 , 且 x1 x2 x3 ? 0, 处 的

证明

1 x1 ? x 2 ? x 3? . 3

解: (I)令 f1 ( x) ? x3 ? (a ? 5) x( x ? 0) , f 2 ( x) ? x 3 ?

a?3 2 x ? ax( x ? 0) . 2

① f1? ( x) ? 3 x 2 ? (a ? 5) , 由于 a ?[?2, 0] , 从而当 ?1 ? x ? 0 时, f1? ( x) ? 3x 2 ? (a ? 5) ? 3 ? 5 ? a ? 0 ,

12

所以函数 f1 ( x) 在区间 (?1, 0) 内单调递减, ② f 2? ( x) ? 3x 2 ? (a ? 3) x ? a ? (3x ? a)( x ? 1) ,由于 a ?[?2, 0] , 所以 0 ? x ? 1 时 f 2? ( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f 2? ( x) ? 0 ,即函数 f 2 ( x) 在区间 (0,1) 内单调递减,在区间 (1, ??) 上单调递增. 综合①②及 f1 (0) ? f2 (0) ,可知: f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递减,在区间 (1, ??) 内单调递增;

28(新课标Ⅰ.理) (12 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b , g ( x) ? ex (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲 线 y ? g ( x) 都过点 P(0, 2) ,且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 . (Ⅰ)求 a, b, c, d 的值; (Ⅱ)若 x ? ?2 时, f ( x) ? kg ( x) ,求 k 的取值范围. 解: (I)由题意知 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 , 而 f ?( x) ? 2x ? a, g ?( x) ? e x (cx ? d ? c) ,故 b ? 2, d ? 2, a ? 4, d ? c ? 4 从而 a ? 4, b ? 2, c ? 2, d ? 2 ;

29(新课标Ⅰ.文) (12 分)已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x2 ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处 切线方程为 y ? 4 x ? 4 (Ⅰ)求 a , b 的值 (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值. 解: (Ⅰ)

f ( x) ? ex (ax ? b) ? x2 ? 4x ,

? f ?( x) ? ex (ax ? a ? b) ? 2 x ? 4 ,
因为曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y ? 4 x ? 4 所以 f (0) ? 4, f ?(0) ? 4 ,?b ? 4, a ? b ? 8? a ? 4, b ? 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

f ( x) ? 4ex ( x ? 1) ? x2 ? 4 x ,

13

1 f ?( x) ? 4e x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 4( x ? 2)(e x ? ) 2

令 f ?( x) ?? 0 ? x ? ? ln 2 或 x ? ?2
? x ? (??, ?2) (? ln 2, ??) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (?2, ? ln 2) 时, f ?( x) ? 0

所以 f ( x) 的单调增区间是 (??, ?2),(? ln 2, ??) ,单调减区间是 (?2, ? ln 2) 当 x ? ?2 时,函数 f ( x) 取得极大值,极大值为 f (?2) ? 4(1 ? e?2 ) .

30(新课标Ⅱ.理) (12 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ln( x ? m) (Ι )设 x ? 0 是 f ( x) 的极值点,求 m ,并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 . 解: (Ⅰ)
? f ?(0) ? 1 ? f ?( x) ? e x ? 1 , x ? 0 是 f ( x) 的极值点, x?m

1 ? 0 ? m ?1. m

所以函数 f ( x) ? ex ? ln( x ? 1) ,其定义域为 (?1, ??) .
f ?( x) ? e x ? 1 e x ( x ? 1) ? 1 ? . x ?1 x ?1

设 g ( x) ? ex ( x ? 1) ?1 ,则 g?( x) ? ex ( x ? 1) ? ex ? 0 ,所以 g ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数, 又 g (0) ? 0,? x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ; 当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 (?1, 0) 上为减函数;在 (0, ??) 上为增函数; (Ⅱ)证明:当 m ? 2, x ? (?m, ??) 时, ln( x ? m) ? ln( x ? 2) ,故只需证明当 m ? 2 时 f ( x) ? 0 . 当 m ? 2 时,函数 f ?( x) ? e x ?
1 在 (?2, ??) 上为增函数,且 f ?(?1) ? 0 , f ?(0) ? 0 . x?2

故 f ?( x) ? 0 在 (?2, ??) 上有唯一实数根 x0 ,且 x0 ? (?1,0) . 当 x ? (?2, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , 从而当 x ? x0 时, f ( x) 取得最小值.
14

由 f ?( x0 ) ? 0 ? e x0 ?

1 ? ln( x0 ? 2) ? ? x0 x0 ? 2

故 f ( x) ? f ( x0 ) ?

( x ? 1)2 1 ? x0 ? 0 ?0 x0 ? 2 x0 ? 2

综上,当 m ? 2 时, f ( x) ? 0

31(新课标Ⅱ.文) (12 分)己知函数 f ( x) ? x 2e? x (Ⅰ)求 f ( x) 的极小值和极大值; 解: (Ⅰ)

f ( x) ? x2e? x ? f ?( x) ? 2xe? x ? x2e? x ? e? x (2x ? x2 )

令 f ?( x) ? 0 ? x ? 0 或 x ? 2 令 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 2 ; 令 f ?( x) ? 0 ? x ? 0 或 x ? 2 ; 故函数 f ( x) 在区间 (??, 0) 与 (2, ??) 上是减函数,在区间 (0, 2) 上是增函数. 所以 x ? 0 是极小值点, x ? 2 极大值点,又 f (0) ? 0, f (2) ?
0, 4 . e2 4 故 f ( x) 的极小值和极大值分别为 e2

32(本题满分 14 分)(2013 浙江.理) 已知 a∈R,函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3ax ? 3a ? 3 (I)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; 解: (1)因为 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3ax ? 3a ? 3 , 所以 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3a 故 f ?(1) ? 3a ? 3 ,又 f (1) ? 1 ,所以所求的切线方程为 y ? (3a ? 3) x ? 3a ? 4

33(15 分) (2013?浙江.文)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(a ? 1) x2 ? 6ax (Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程;

15

解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 6 x2 ?12 x ? 6 ,所以 f ?(2) ? 6
f (2) ? 4,?曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 6 x ? 8 ;

34(13 分) (2013?重庆.理)设 f ( x) ? a( x ? 5)2 ? 6ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴相交于点 (0, 6) . (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间与极值.
6 解: (1)因为 f ( x) ? a( x ? 5)2 ? 6ln x ,故 f ?( x) ? 2a( x ? 5) ? ( x ? 0) x

令 x ? 1 ,得 f (1) ? 16a, f ?(1) ? 6 ? 8a ,所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为
y ? 16a ? (6 ? 8a)( x ? 1)

由切线与 y 轴相交于点 (0, 6) ,? 6 ? 16a ? 8a ? 6 ? a ?

1 2

1 (2)由(I)得 f ( x) ? ( x ? 5) 2 ? 6 ln x( x ? 0) 2 6 ( x ? 2)( x ? 3) f ?( x) ? x ? 5 ? ? ,令 f ?( x) ? 0 ? x ? 2 或 x ? 3 x x

当 0 ? x ? 2 或 x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, 2) , (3, ??) 上为增函数, 当 2 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (2,3) 上为减函数, 故 f ( x) 在 x ? 2 时取得极大值 f (2) ?
9 ? 6 ln 2 ,在 x ? 3 时取得极小值 f (3) ? 2 ? 6ln 3 . 2

16


相关文章:
2013年全国各地高考试题分类汇编(函数与导数).doc
2013年全国各地高考试题分类汇编(函数与导数) - 2013 年全国各地高考试题分类汇编(函数与导数) 1.(2013 广东.理)(14 分)设函数 f ? x ? ? ? x ?1? ...
2013年高中数学全国各地高考真题分类汇编B单元 函数与导数.doc
2013年高中数学全国各地高考真题分类汇编B单元 函数与导数 - B 单元 函数与导数 B1 函数及其表示 ? 1?? 21.B1,B12[2013 江西卷] 已知函数 f(x)=a?...
2013年高中数学全国各地高考真题分类汇编文科数学B单元....doc
2013年高中数学全国各地高考真题分类汇编文科数学B单元 函数与导数 - B 单元 函数与导数 B1 函数及其表示 图 1-1 3.BP[2013 安徽卷] 如图 1-1 所示,程序...
2013年全国各地高考试题分类汇编(函数与导数).doc
2013年全国各地高考试题分类汇编(函数与导数) - 2013 年全国各地高考试题分类汇编(函数与导数) 1.(2013 广东.理)(14 分)设函数 f ? x ? ? ? x ?1? ...
20132017全国1卷分类汇编函数与导数.doc
20132017全国1卷分类汇编函数与导数 - 3 近几年全国分类汇编函数与导数 一. 选择题,填空题 1. 【2013 课标全国Ⅰ,理 11】已知函数 f(x)=...
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编(14):导数(含....doc
2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 14:导数 一,选择题 1 .(2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ,下列结论...
2013年全国高考数学真题(文)分类汇编与解析(二)函数与....doc
2013 年全国各地 高考数学真题(文) 分类汇编与解析 (二)函数与导数 2013 年 6 月 24 日 1 1.(2013 年安徽卷文 20 题) (本小题满分 13 分)设函数 f...
2013年高考文科数学试题分类汇编:函数与导数_图文.doc
2013年高考文科数学试题分类汇编:函数与导数 - 2013 全国高考文科数学 函数与导数专题 邓老师 2013 年全国各省市高考文科数学 试题分类汇编:函数与导数 1.(2013 ...
2013年全国各地高考数学试题分类汇编导数.doc
2013年全国各地高考数学试题分类汇编导数 - 导数 一、选择题 错误!未指定书签。 .已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是 A....
2013年高考理科数学分类汇编函数与导数大题目46521.doc
2013年高考理科数学分类汇编函数与导数题目46521 - 2013 年高考理科数学分类汇编函数与导数题目 1.(2013 北京卷 18 题)设 l 为曲线 C: y ? ln x ...
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编:导数_图文.doc
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编:导数 - 2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 14:导数 一、选择题 错误!未指定书签。 .(2013 年高考课标Ⅱ卷(文) ...
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编:导数.doc
2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编:导数一、选择题 1 .(2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ,下列结论中...
2013年高考文科数学试题分类汇编:函数与导数包括选择填....doc
2013 全国高考文科数学 函数与导数专题 2013 年全国各省市高考文科数学试题分类汇编:函数与导数 1.(2013 年安徽卷文 20 题) (本小题满分 13 分) 设函数 f ...
2013年高考文科数学试题分类汇编:函数与导数包括选择填空.doc
2013年高考文科数学试题分类汇编:函数与导数包括选择填空 - 2013 年全国各省市高考文科数学---函数与导数 1.(2013 年安徽卷文 20 题) (本小题满分 13 分)...
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编14:导数(附答....doc
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编14:导数(附答案) - 2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 14:导数 一、选择题 1 .(2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )...
2013年全国各地高考数学试题分类汇编导数_图文.doc
2013年全国各地高考数学试题分类汇编导数 - 2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 14:导数 一、选择题 1 .(2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )已知函数 f ( x) ...
高考2013-2017全国卷《函数与导数》试题解析理科.doc
高考2013-2017全国卷《函数与导数试题解析理科_高考_高中教育_教育专区。高考 2013-2017 全国卷《函数与导数试题解析汇编在解题中常用的有关结论(需要熟记) :...
2013年全国高考理科数学试题分类汇编:导数_图文.doc
2013年全国高考理科数学试题分类汇编:导数 - 2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 14:导数与积分 一、选择题 错误! 未指定书签。 .(2013 年高考湖北卷 (理) ...
历年全国各省高考真题详解汇编(函数与导数).doc
历年全国各省高考真题详解汇编(函数与导数)_数学_高中教育_教育专区。一 解题方
广东省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(3)函....doc
广东省各地2013年高考数学最新联考试题分类汇编(3)函数与导数 - 你的资源