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高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值课后训练

最新中小学教案、试题、试卷 3.3.2 利用导数研究函数的极值 课后训练 1.在下面函数 y=f(x)图象中既是函数的极大值点又是最大值点的是( ) A.x1 B.x2 C.x3 D.x4 2.在上题的函数图象中,是 f′(x)=0 的根但不是函数 f(x)的极值点的是( A.x0 B.x2 C.x3 D.x4 2 3.函数 y=x +2x 的极小值为( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 4.函数 f(x)=xln x 在[1,e]上的最小值和最大值分别为( ) A.0,eln e C. ? B. ? ) 1 ,0 e 1 ,e e D.0,e 3 5.若函数 f(x)=x -3x-a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为 M,N,则 M-N 的 值为( ) A.2 B.4 C.18 D.20 3 2 6.关于函数 f(x)=x -3x ,给出下列四个命题: (1)f(x)是增函数,无极值; (2)f(x)是减函数,无极值; (3)f(x)单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2); (4)f(x)在 x=0 处取得极大值 0,在 x=2 处取得极小值-4. 其中正确命题是________. 3 2 7.已知函数 f(x)=2x +3(a+2)x +3ax 的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=2,则 a= __________. 3 2 8. 已知函数 f(x)=x +3ax +3(a+2)x+1 既有极大值又有极小值, 则实数 a 的取值范 围是__________. 9.求曲线 f(x)= 1 2 x +4ln x 上切线斜率的极小值点. 2 10.设函数 f(x)=sin x-cos x+x+1,0<x<2π ,求函数 f(x)的单调区间与极值. 最新中小学教案、试题、试卷 1 最新中小学教案、试题、试卷 参考答案 1. 答案:C 2. 答案:A 3. 答案:B 4. 答案:D f′(x)=ln x+1. 当 1≤x≤e 时,f′(x)=ln x+1>0,故 f(x)=xln x 在[1,e]上是增函数. 所以当 x=1 时,f(x)取得最小值 0;当 x=e 时,f(x)取得最大值 e. 2 2 5. 答案:D 令 f′(x)=3x -3=3(x -1)=0,得 x=±1, 又 x∈[0,3],∴x=1. 则 x∈(0,1)时,f′(x)<0;x∈(1,3)时,f′(x)>0. 又 f(0)=-a,f(1)=-2-a,f(3)=18-a, ∴M=18-a,N=-2-a,M-N=20. 6. 答案:(3)(4) 2 7. 答案:4 f′(x)=6x +6(a+2)x+3a. ∵x1,x2 是 f(x)的两个极值点, ∴f′(x1)=f′(x2)=0, 2 即 x1,x2 是 6x +6(a+2)x+3a=0 的两个根, 从而 x1x2= 3a =2,∴a=4. 6 2 8. 答案:a<-1 或 a>2 f′(x)=3x +6ax+3(a+2). 2 令 f′(x)=0,即 x +2ax+a+2=0. ∵f(x)既有极大值又有极小值, ∴f′(x)=0 有两个不相同的实数根. 2 ∴Δ =4a -4(a+2)>0. 解得 a>2 或 a<-1. 9. 答案: 分析: 先求曲线 f(x)上的切线的斜率, 即函数 f(x)的导数 f′(x), 再求 f′(x) 的极小值. 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=x+ 令 h(x)=x+ 4 . x 4 4 ,则 h′(x)=1- 2 . x x 当 0<x<2 时,h′(x)<0,所以 h(x)在(0,2)上是减函数. 当 x>2 时,h′(x)>0,所以 h(x)在(2,+∞)上是增函数; 所以 h(x)在 x=2 处取得极小值,且 h(2)=4, 故曲线 f(x)= 1 2 x +4ln x 上切线斜率的极小值点为 2. 2 10. 答案:分析:按照求函数极值的步骤求解即可. 解:由 f(x)=sin x-cos x+x+1,0<x<2π , 知 f′(x)=cos x+sin x+1, 于是 f'(x) ? 1 ? 2sin ? x ? ? ? π? ?. 4? 最新中小学教案、试题、试卷 2 最新中小学教案、试题、试卷 令 f′(x)=0,从而 sin ? x ? ? ? 3π π? 2 ,得 x=π 或 x ? . ??? 2 4? 2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,π ) + π 0 π +2 ? 3π ? ? π, ? ? 2 ? - 3π 2 0 ? 3π ? ? , 2π ? ? 2 ? + 3π 2 因此,由上表知 f(x)的单调递增区间是(0,π )和 ? ? 3π ? ? 3π ? , 2π ? ,单调递减区间是 ? π, ? ,极 ? 2 ? ? 2 ? 小值为 f ? ? 3π ? 3π ,极大值为 f(π )=π +2. ?? ? 2 ? 2 最新中小学教案、试题、试卷 3

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