当前位置:首页 >> 高二数学 >>

圆锥曲线解题技巧总结


圆锥曲线―概念、方法、题型、 圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结
1.圆锥曲线的两个定义 圆锥曲线的两个定义: 1.圆锥曲线的两个定义 (1)第一定义 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中 重视“括号”内的限制条件 椭圆中 椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离 第一定义 重视 的和等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 常数 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无轨迹;双曲线中 双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值 双曲线中 等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要小于|F 1 F 2 |,定义中的“绝对值”与 2a <|F 1 F 2 |不 “绝对值” 可忽视。若 2a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2a ﹥|F 1 F 2 |,则 可忽视 轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x ? 6)2 + y 2 ? ( x + 6)2 + y 2 = 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) 点点距为分子、 (2)第二定义 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线 注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点 点点距为分子 第二定义 注意定点和定直线是相应的焦点和准线 线距为分母” 线距为分母 ,其商即是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距 离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化 运用第二定义对它们进行相互转化 运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点 Q ( 2 2 ,0 ) 及抛物线 y =

x2 上一动点 P(x,y) y+|PQ|的最小值是_____ ,则 (答 2) 4

2.圆锥曲线的标准方程 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标 圆锥曲线的标准方程 准位置的方程) :

x2 y2 y2 x2 (1)椭圆 椭圆:焦点在 x 轴上时 2 + 2 = 1( a > b > 0 ) ,焦点在 y 轴上时 2 + 2 = 椭圆 a b a b 2 2 1( a > b > 0 ) 。方程 Ax + By = C 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,
C 同号,A≠B) 。 如(1)已知方程

x2 y2 + = 1 表 示 椭 圆 , 则 k 的 取 值 范 围 为 ____ ( 答 : 3+k 2?k

1 1 (?3, ? ) U (? , 2) ) ; 2 2 2 2 (2)若 x, y ∈ R ,且 3x 2 + 2 y 2 = 6 ,则 x + y 的最大值是____, x + y 的最小值是
___(答: 5, 2 )

x2 y2 y2 x2 ( 2 ) 双 曲 线 : 焦 点 在 x 轴 上 : 2 ? 2 =1 , 焦 点 在 y 轴 上 : 2 ? 2 = 1 a b a b 2 2 ( a > 0, b > 0 ) 。方程 Ax + By = C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,
B 异号) 。 如设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e =

2 的双曲线 C 过点

P(4,? 10) ,则 C 的方程为_______(答: x2 ? y 2 = 6 ) (3)抛物线 抛物线:开口向右时 y 2 = 2 px ( p > 0) ,开口向左时 y 2 = ?2 px ( p > 0) ,开口 抛物线 向上时 x 2 = 2 py ( p > 0) ,开口向下时 x 2 = ?2 py ( p > 0) 。
如定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的 最短距离。

5 4

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) 3.圆锥曲线焦点位置的判断 圆锥曲线焦点位置的判断 : 2 2 (1)椭圆 椭圆:由 x , y 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 椭圆 如已知方程

x2 y2 + = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m 的取值范围是__ 答: 则 ( m ?1 2 ? m

3 (?∞,?1) U (1, ) ) 2
(2)双曲线 双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; 双曲线 (3)抛物线 抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 抛物线 特别提醒: 1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的 特别提醒 ( 位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两 个参数 a, b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物 线问题时,首先要判断开口方向; 2)在椭圆中, a 最大, a = b + c ,在双曲线中, c ( ) 2 2 2 最大, c = a + b 。 4.圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线的几何性质: 4.圆锥曲线的几何性质
2 2 2

2

2

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )为例) 范围 ? a ≤ x ≤ a, ?b ≤ y ≤ b ; :①范围 范围: a2 b2 ②焦点 焦点:两个焦点 ( ±c, 0) ;③对称性 对称性:两条对称轴 x = 0, y = 0 ,一个对称中心(0,0) , 焦点 对称性
(1)椭圆 )椭圆(以 四个顶点 ( ± a, 0), (0, ±b) , 其中长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b ; 准线 两条准线 x = ± ④准线 准线: ⑤离心率 e = 离心率: 离心率

a2 ; c

c ,椭圆 ? 0 < e < 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。 a 25 x2 y2 10 ,则 m 的值是__(答:3 或 ) ; 如(1)若椭圆 + = 1 的离心率 e = 3 5 m 5
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长

轴的最小值为__(答: 2 2 )

x2 y2 ? = 1( a > 0, b > 0 ) 为例) ①范围 x ≤ ? a 或 x ≥ a, y ∈ R ; : 范围 范围: a2 b2 ②焦点 焦点:两个焦点 ( ±c, 0) ;③对称性 对称性:两条对称轴 x = 0, y = 0 ,一个对称中心(0,0) , 焦点 对称性 两个顶点 ( ± a, 0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,
双曲线 (以 ( 2) 称为等轴双曲线,其方程可设为 x 2 ? y 2 = k , k ≠ 0 ;④准线 准线:两条准线 x = ± 准线 心率: e =

a2 ; ⑤离 c

c ,双曲线 ? e > 1 ,等轴双曲线 ? e = 2 , e 越小,开口越小, e 越大, a b 开口越大;⑥两条渐近线 y = ± x 。 两条渐近线: 两条渐近线 a 13 双曲线的渐近线方程是 3x ± 2y = 0, 则该双曲线的离心率等于______ 答: ( 如 (1 ) 2



13 ) ; 3
(2)双曲线 ax ? by = 1 的离心率为 5 ,则 a : b =
2 2

(答:4 或

1 ) ; 4

(3)设双曲线

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角 a 2 b2

(锐角或直角)θ的取值范围是________(答: [

π π

, ]) ; 3 2

(4) 已知 F1、F2 为双曲线

x2 y2 ? = 1 的左焦点,顶点为 A1、A2, P 是双曲线上任意 2010 2009


一点,则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆一定( A.相交 C.相离

B.相切 D.以上情况均有可能

(3)抛物线 抛物线(以 y 2 = 2 px ( p > 0) 为例) 范围: x ≥ 0, y ∈ R ;②焦点:一个焦点 :①范围 抛物线 范围

p ( , 0) ,其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性 对称性:一条对称轴 y = 0 ,没有 对称性 2 p c 对称中心,只有一个顶点(0,0) 准线 ;④准线 准线:一条准线 x = ? ; ⑤离心率 e = ,抛物 离心率: 离心率 2 a 线 ? e =1。
2 如设 a ≠ 0, a ∈ R ,则抛物线 y = 4ax 的焦点坐标为________(答: (0,

1 ; )) 16 a

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )的关系 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 的关系: a2 b2 x2 y2 x2 y2 外 ? 0 + 0 > 1; (2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 0 + 0 =1; (3)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2 b2 a 2 b2 2 2 x0 y0 内? 2 + 2 <1 a b
5、点 P ( x0 , y0 ) 和椭圆 6.直线与圆锥曲线的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)相交 ? > 0 ? 直线与椭圆相交; ? > 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双 )相交: 曲线相交不一定有 ? > 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一 个交点,故 ? > 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; ? > 0 ? 直线与抛 物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ? > 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线 与抛物线相交且只有一个交点,故 ? > 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必 要条件。 2 2 如(1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围 是_______(答:(-

15 ,-1)) ; 3

(2)直线 y―kx―1=0 与椭圆 (答:[1,5)∪(5,+∞); )

x2 y 2 + = 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是_______ 5 m

x2 y2 ? = 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则 (3)过双曲线 1 2
这样的直线有_____条(答:3) ; (2)相切: ? = 0 ? 直线与椭圆相切; ? = 0 ? 直线与双曲线相切; ? = 0 ? 直 相切: 相切 线与抛物线相切; (3)相离 ? < 0 ? 直线与椭圆相离; ? < 0 ? 直线与双曲线相离; ? < 0 ? 直 相离: 相离 线与抛物线相离。 特别提醒: 直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相 特别提醒 (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形 切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果 直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; 2)过双曲线 (

x2 y2 ? =1 a2 b2

外一点 P ( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: 点在两条渐近线之间且 ①P 不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切 线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的 直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两 条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线; 3) ( 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称 轴的直线。 ( 过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y 2 = 8x 只有一个公共点, 这样的直线有______ (答: 如 1) 2) (2)过点(0,2)与双曲线 ; ______(答: ? ±

x2 y 2 ? = 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 9 16

? 4 4 5? ? ? ; ,± ?) 3 ? ? 3 ? ?
y2 = 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB = 4,则 2
2

(3)过双曲线 x 2 ?

满足条件的直线 l 有____条(答:3) ;
2 (4)对于抛物线 C: y = 4 x ,我们称满足 y 0 < 4x 0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内

部,若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,则直线 l : y 0 y = 2( x + x 0 ) 与抛物线 C 的位置关系是 _______(答:相离) ;
2 (5)过抛物线 y = 4x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ

的长分别是 p、 q ,则 (6)设双曲线

1 1 ; + = _______(答:1) p q

x2 y2 ? = 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、右 16 9 支和右准线分别于 P, Q, R ,则 ∠PFR 和 ∠QFR 的大小关系为___________(填大于、小于
或等于) (答:等于) ;

8 13 ) ; 13 2 2 (8)直线 y = ax + 1 与双曲线 3x ? y = 1交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分 别 在 双 曲 线 的 两 支 上 ?② 当 a 为 何 值 时 , 以 AB 为 直 径 的 圆 过 坐 标 原 点? ( 答 :
(7)求椭圆 7 x 2 + 4 y 2 = 28 上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 = 0 的最短距离(答: ① ? 3, 3 ;② a = ±1 ) ; 焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法 的计算方法:利用圆锥曲线的第二 7、焦半径 的计算方法 定义,转化到相应准线的距离,即焦半径 r = ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离。 如(1)已知椭圆 距离为____(答:

(

)

x2 y2 + = 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的 25 16

35 ) ; 3
2

(2)已知抛物线方程为 y = 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物 线的焦点的距离等于____; ( 3 ) 若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为_____(答: 7, (2, ±4) ) ;

x2 y2 + = 1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 25 9 25 P 的横坐标为_______(答: ) ; 12 2 (5)抛物线 y = 2x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴
(4)点 P 在椭圆 的距离为______(答:2) ;

x2 y2 + = 1 内有一点 P (1,?1) ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 4 3 2 6 ; MP + 2 MF 之值最小,则点 M 的坐标为_______(答: ( ,? 1) ) 3
( 6 ) 椭圆 8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:

S = b 2 tan S= b2
tan

θ

2

= c | y0 | ,当 | y0 |= b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;对于双曲线
2 的椭圆的两焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作 3

θ
2

。 如 (1)短轴长为 5 ,离心率 e =

直线交椭圆于 A、B 两点,则 ?ABF2 的周长为________(答:6) ; ( 2 ) 设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 = a 2 (a > 0) 右支上一点,F1 、F2 是左右焦点,若

PF2 ? F1 F2 = 0 ,|PF1|=6,则该双曲线的方程为
(3)椭圆

(答: x 2 ? y 2 = 4 ) ;

x2 y 2 → → + = 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2 ·PF1 <0 时, 9 4

点 P 的横坐标的取值范围是 (4)双曲线的虚轴长为 4,离心率 e=

(答: ( ?

3 5 3 5 , )) ; 5 5

6 ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线 2 与双曲线的左支交于 A、B 两点,且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项,则 AB =__________
(答: 8 2 ) ; ( 5 ) 已知双曲线的离心率为 2, F1 、 F2 是左右 焦点,P 为双曲线上一点,且

∠F1 PF2 = 60 , S ?PF1F2
o

x2 y 2 = 12 3 .求该双曲线的标准方程(答: ? = 1 ) ; 4 12

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: 1)以过焦点的弦为直径的圆和 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 ( 准线相切; 2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; 3)设 AB ( ( 为焦点弦,A、B 在准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; 4)若 ( AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。 10、弦长公式:若直线 y = kx + b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、 10、弦长公式 B 的横坐标,则 AB = 1 + k
2

x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB =

1+

1 y1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线方程设为 x = ky + b ,则 AB = 1 + k 2 y1 ? y2 。 2 k

特别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将 焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 ,B(x2,y2)两点,若 如(1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8) ;
2 (2)过抛物线 y = 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标 原点,则ΔABC 重心的横坐标为_______(答:3) ;
2 2 2 (3)已知抛物线 y = 2 px ( p > 0) 的焦点恰为双曲线 12 x ? 4 y = 3 的右焦点,且倾斜角

为 π 的直线交抛物线于 P , Q 两点,则 | y1 ? y2 | 的值为(
A. 2 B. 4 C. 4 2

3 4


D. 8

11、圆锥曲线的中点弦问题: 点差法” 11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 “韦达定理” 在椭圆

b2 x x2 y2 + 2 = 1 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 0 ;在双曲线 a2 b a y0

b2 x x2 y2 ? 2 = 1 中 , 以 P ( x0 , y0 ) 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k= 2 0 ; 在 抛 物 线 a2 b a y0 p y 2 = 2 px( p > 0) 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0

如(1)如果椭圆

(答: x + 2 y ? 8 = 0 ) ;

x2 y2 + = 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 相交于 A、B 两点,且线段 a2 b2 2 AB 的中点在直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______(答: ) ; 2 x2 y2 ( 3 ) 试确定 m 的取值范围,使得椭圆 + = 1 上有不同的两点关于直线 4 3 ? 2 13 2 13 ? y = 4 x + m 对称(答: ? ? ? 13 , 13 ? ) ? ; ? ?
(2)已知直线 y=-x+1 与椭圆
2 (4)抛物线 y=2x 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是

1 1 (y > )) 2 2 故在求解有关弦长、 特别提醒: 特别提醒 因为 ? > 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件, 对称问题时,务必别忘了检验 ? > 0 !
(答: x = 12.你了解下列结论吗 12.你了解下列结论吗? 2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y = 1 的渐近线方程为 x ? y = 0 ; a2 b2 a2 b2 2 2 b (2)以 y = ± x 为渐近线(即与双曲线 x ? y = 1 共渐近线)的双曲线方程为 2 2 a a b 2 2 y x ? = λ (λ 为参数, λ ≠0)。 a2 b2 如与双曲线 (答:

x2 y2 ? = 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3) 的双曲线方程为_______ 9 16

4x2 y 2 ? = 1) 9 4 2b 2 ,焦准距(焦点到 a

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx 2 + ny 2 = 1 ; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 相应准线的距离)为

b2 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; c

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则

p2 , y1 y2 = ? p 2 4 (7)若 OA、OB 是过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0)
① | AB |= x1 + x2 + p ;② x1 x2 =

13.动点轨迹方程 13.动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法 直接法:直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y ) = 0 ; 直接法 (答: 如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x = 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程. 2 y = ?12( x ? 4)(3 ≤ x ≤ 4) 或 y = 4 x(0 ≤ x < 3) ); ②待定系数法 待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方 待定系数法 程,再由条件确定其待定系数。 如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) ( m > 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为
2

(答: y = 2 x ) ; ③定义法 定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动 定义法 点的轨迹方程;
2

如(1)由动点 P 向圆 x + y = 1 作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60 ,则 (1)
2 2
0

动点 P 的轨迹方程为

(答: x 2 + y 2 = 4 );

x (2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l: +5=0的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程 2 是_______ (答: y = 16 x );
2 2 2 2 (3) 一动圆与两圆⊙M: x + y = 1 和⊙N: x + y ? 8 x + 12 = 0 都外切,则动圆圆 心的轨迹为 (答:双曲线的一支); ④代入转移法 动点 P ( x, y ) 依赖于另一动点 Q ( x0 , y0 ) 的变化而变化, 代入转移法: 并且 Q ( x0 , y0 ) 代入转移法

又在某已知曲线上,则可先用 x, y 的代数式表示 x0 , y0 ,再将 x0 , y0 代入已知曲线得要求 的轨迹方程; 如动点 P 是抛物线 y = 2 x 2 + 1 上任一点,定点为 A ( 0, ? 1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2, 1 则 M 的轨迹方程为__________(答: y = 6 x 2 ? ); 3 ⑤参数法 参数法:当动点 P ( x, y ) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时, 参数法 可考虑将 x, y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。 如(1)AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上取点 P ,使 | OP |=| MN | ,求点 P 的轨迹。(答: x 2 + y 2 = a | y | );
2 2 (2)若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x + y = 1 上运动,则点 Q ( x1 y1 , x1 + y1 ) 的轨迹方程是____
? ?→

(答: y = 2 x + 1(| x |≤
2

1 ) ); 2 2 (3)过抛物线 x = 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的中点 M 的

轨迹方程是________(答: x 2 = 2 y ? 2 ); 注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择 注意 向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或 脱靴子”转化。 如已知椭圆

x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F1 a2 b2

(-c,0) 2(c,0) 是椭圆外的动点,满足 | F1Q |= 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的 、F ,Q 交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足 PT ? TF2 = 0, | TF2 |≠ 0. (1)设 x 为点 P 的横坐标,

c (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是 x; a 2 否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明 b2 b2 2 2 2 (3)当 > a 时不存在;当 ≤ a 时存在,此 理由. (答: (1)略; (2) x + y = a ; c c
证明 | F1 P |= a + 时∠F1MF2=2) ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注 意轨迹上特殊点 特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 特殊点 ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于 常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线 常借助于 的双重身份――对称性、 利用到角公式)、 “方程与函数性质” 化解析几何问题为代数问题、 “分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点 ,那么可选择应用“斜率或向量” 出现“ 可选择应用“ 出现 三个或三个以上的点” 可选择应用 斜率或向量” 为桥梁转化. 为桥梁 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 与向量综合时可能出现的向量内容: 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: r r (1) 给出直线的方向向量 u = (1, k ) 或 u = (m, n ) ; ) (2)给出 OA + OB 与 AB 相交,等于已知 OA + OB 过 AB 的中点; ) (3)给出 PM + PN = 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; ) (4)给出 AP + AQ = λ BP + BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线; ) (5) 给出以下情形之一:① AB // AC ;②存在实数 λ , 使AB = λ AC ;③若存在实 数 α , β , 且α + β = 1, 使OC = α OA + β OB ,等于已知 A, B, C 三点共线. (6) 锐角, 给 出 MA ? MB = 0 , 等 于 已 知 MA ⊥ MB , 即 ∠AMB 是 直 角 , 给 出

r

(

)

r

r

uuur

uuu r

uuu r

MA ? MB = m < 0 ,等于已知 ∠AMB 是钝角, 给出 MA ? MB = m > 0 ,等于已知 ∠AMB 是

? ? ? MA MB ? + (8)给出 λ ? ) ? = MP ,等于已知 MP 是 ∠AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ? (9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB + AD ) ? ( AB ? AD ) = 0 ,等于已知 ABCD )
是菱形; (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB + AD |=| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是 ) 矩形; (11)在 ?ABC 中,给出 OA = OB = OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角 11) 形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (12) 在 ?ABC 中,给出 OA + OB + OC = 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角 12) 形的重心是三角形三条中线的交点) ; (13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的 ) 垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点) ;
2 2 2

uuu uuur r

uuu uuur r

uuu r uuur AB AC + r (14)在 ?ABC 中,给出 OP = OA + λ ( uuu + uuur ) (λ ∈ R ) 等于已知 AP 通过 ) | AB | | AC | ?ABC 的内心;
( 15)在 ?ABC 中,给出 a ? OA + b ? OB + c ? OC = 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心 ) (三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; (16) 在 ?ABC 中,给出 AD = )

r 1 uuu uuur AB + AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; 2 2 uuuur uuuur y 2 = 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF 1 ? MF 2 = 0, 则 (1)已知双曲线 x ? ) 2

uuur

(

)

点 M 到 x 轴的距离为(C)

2 3 (D) 3 3 r r r r r (2)已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x ? 3 )i + yj , ) r r r r r r b = ( x + 3 )i + yj ,且满足 b ? i =| a |.求点 P(x,y)的轨迹. r r r r r 解: Q b ? i = ( x + 3)i 2 + yi ? j = x + 3 ,
(A)

4 3

(B)

5 3

(C)

∴x+ 3 =

( x ? 3) 2 + y 2 ,化简得 y 2 = 4 3 x ,

故点 P 的轨迹是以( 3 ,0)为焦点以 x = ? 3 为准线的抛物线

2 (3)已知 A,B 为抛物线 x =2py(p>0)上异于原点的两点, OA ? OB = 0 ,点 C 坐标为 ) (0,2p) (1)求证:A,B,C 三点共线;

uuu uuu r r

(2)若 AM = λ BM ( λ ∈ R )且 OM ? AB = 0 试求点 M 的轨迹方程。

uuuu uuu r r

uuu uuu r r x12 x2 ), B( x2 , 2 ) ,由 OA ? OB = 0 得 2p 2p uuu r r x 2 uuu x 2 ? x12 x2 x 2 ) x1 x2 + 1 2 = 0,∴ x1 x2 = ?4 p 2 ,又Q AC = (?x1,2 p ? 1 ), AB = ( x2 ? x1, 2 2p 2p 2p 2p uuur uuu r x22 ? x12 x12 ∴?x1 ? ? (2 p ? ) ? ( x2 ? x1 ) = 0 ,∴ AC // AB ,即 A,B,C 三点共线。 2p 2p uuuu uuu r r (2)由(1)知直线 AB 过定点 C,又由 OM ? AB = 0 及 AM = λ BM ( λ ∈ R )知
(1)证明:设 A( x1 , OM⊥AB,垂足为 M,所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆,除去坐标原点。即点 M 的轨 迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x≠0,y≠0)。 15.圆锥曲线中线段的最值问题: 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐 标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标 为 。

分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH = PF ,因而易发现, 分析: 当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线 时,距离和最小。 解: (2, 2 ) ( (1) (2)

A Q H P F B

1 ,1 ) 4

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔 细体会。 例 2、F 是椭圆 、

x2 y2 + = 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点。 4 3
y A F 0 ′ F P H x

(1) PA + PF 的最小值为 (2) PA + 2 PF 的最小值为 分析: 分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 PF ′ 或 准线作出来考虑问题。 解: (1)4- 5 设另一焦点为 F ′ ,则 F ′ (-1,0)连 A F ′ ,P F ′

PA + PF = PA + 2a ? PF ′ = 2a ? ( PF ′ ? PA ) ≥ 2a ? AF ′ = 4 ? 5
当 P 是 F ′ A 的延长线与椭圆的交点时, PA + PF 取得最小值为 4- 5 。 (2)3 ∴ PF = 作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e=

1 , 2

1 PH , 即2 PF = PH 2

∴ PA + 2 PF = PA + PH

当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为

a2 ? xA = 4 ?1 = 3 c


相关文章:
圆锥曲线解题方法技巧归纳.doc
圆锥曲线解题方法技巧归纳_企业管理_经管营销_专业资料。圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、...
高考圆锥曲线解题技巧总结.doc
高考圆锥曲线解题技巧总结 - 新课标高考数学分析及解题技巧汇编 第五篇 高考解析
圆锥曲线解题方法技巧总结(附答案).doc
圆锥曲线解题方法技巧总结(附答案) - 姓名 学科 阶段 课题 名称 教学 目标
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题.doc
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题 - 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义:
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结.doc
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结 - 圆锥曲线 1、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中
圆锥曲线解题技巧总结.doc
圆锥曲线解题技巧总结 - 圆锥曲线—概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲
圆锥曲线解题技巧方法总结.pdf
圆锥曲线解题技巧方法总结 - 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案.doc
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案 - 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结.doc
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结 - 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义
圆锥曲线解题技巧与练习大总结.doc
圆锥曲线解题技巧与练习大总结 - 选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 圆锥曲线解题技巧及例题 圆锥曲线解题...
圆锥曲线题型的解题技巧总结.doc
圆锥曲线题型的解题技巧总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线—概念、方法、题型、及应试技巧总结 圆锥曲线—概念、方法、题型、 圆锥曲线—概念、方法、...
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1].doc
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1] - 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第
圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧.doc
圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧 - 圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备: 1
高中数学圆锥曲线解题技巧总结.pdf
高中数学圆锥曲线解题技巧总结 - QQ874530300 微信公众号:Oldsk
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结.doc
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结 - 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义
圆锥曲线题型的解题技巧总结.doc
圆锥曲线题型的解题技巧总结 - 圆锥曲线—概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个...
圆锥曲线解题十招全归纳.doc
圆锥曲线解题十招全归纳 - 《圆锥曲线解题十招全归纳》 微信公众号:中学数学研讨
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结.doc
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结 - 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义
高考圆锥曲线题型归类总结.doc
高考圆锥曲线题型归类总结 - 高考圆锥曲线的七种题型 题型一:定义的应用 1、圆锥曲线的定义: (1)椭圆 (2)椭圆 (3)椭圆 2、定义的应用 (1)寻找符合条件的...
[高考数学]高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结.doc
[高考数学]高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结 - 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义
更多相关标签: