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2014年高中数学选修2-2复习课件


高二选修2-2归纳复习 单人棋:
2014年2 月10日

考试范围:

选修2-2共三章内容

考试试题分布:八道选择 六道填空 四道解答

总分及各部分比重: 导数50,推理30,复数20;

第一部分:导数及其应用

1、考纲要求

2、近三年北京试题分析
3、知识网络与典型例题分析

近三年高考考情分析

1、导数的几何意义主要以选择、填空或解答题中求切线 方程的形式进行考察;(重点考察) 2、导数的运算每年必考,但一般不单独命题,都是含在 导数的应用中考查; 3、导数的应用主要是考察函数的单调性、极值和最值问 题,在考察单调性时都是含有参数,需要分类讨论。(重 点考察) 4、目前北京高考中还没有涉及到利用导数证明不等式问 题和对方程根的讨论(或两个曲线的交点问题) 5、对定积分的考察主要以微积分基本定理来考察(北京 目前还没有考察); 6、近年都是一道大题,有时是一大一小(大题基本必考) 分值约占13-17分。

7、涉及到的函数形式:

知识网络

理解知识的形成过程与相互联系

本章基本题型

1、导数的概念(切线斜率,瞬时速度、导数的数 学定义) 2、导数的运算(复合函数、含对数运算简化运算)
3、利用导函数解决单调性问题(两类)

(1)给函数的表达式,求函数单调区间(两类); (2)给单调区间,求字母系数范围或取值。 4、利用导数求函数极值(可以演变为有几个交点)
5、求函数闭区间上的最值(可演变为恒成立问题)

6、曲边梯形的面积.

一、导数的概念(切线,瞬时速度、导数的代数定义)
1、跟切线(导数的几何意义)有关 求切点;切线方程(过点、在点);

4 ? 为曲线 1、已知点P在曲线y= x 上, e ?1

在点P处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围 是( )

f ( x? ) ? k=tan?
'

2.过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为__, 切线的斜率为_________.
答案:(1,e) e

设切点坐标( x0 , y0 )
?k ? e ? ? y0 ? kx0 ? x0 ? y0 ? e
x0

导数几何意义 点在切线上 点在曲线上

注意体会在(过)点的切线

3.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是 y=-2x+9,P点的横坐标是4,则f(4)+f′(4)=___.
答案:-1

4.设函数f(x)可导,则

f(1+?x)-f(1) = lim ?x ?0 3?x

f(1+?x)-f(1) 1 f(1+?x)-f(1) 1 ' lim ? lim ? f (1) ?x ?0 3?x 3 ?x?0 ?x 3

注意变式的训练!

二、利用导数解决单调性问题(正反两类)
1 5、求函数 f ( x) ? x ? 的单调区间 x ?1 x( x ? 2) ' f ( x) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1)

x( x ? 2) 由f ( x) ? ? 0 ? x ? 0, x ? ?2 2 ( x ? 1)
'

(0,+?),(-?,-2)上单调递增; (-2,-1),(-1,0)上单调递减;

x ? ?1? , f ( x) ? ??; x ? ?1? , f ( x) ? ??

是等求 否式单 需,调 要只区 讨是间 论看的 ,是运 注否算 意含转 定有化 义参为 域数解 ,不

.

北京2010理18第二问

7.设f(x)=x3+2x2+mx+1在(-(0,1) ∞,+∞)内单调递 增,求m的范围.

解∵f(x)=x3+2x2+mx+1,
∴f′(x)=3x2+4x+m. Δ≤0?
'

(0,1)
f ( x) min ? f (0) ? m
'

由f(x)为增函数?f′(x)≥0在R上恒成立? ∴ 即16-12m≤0,
4 解得 m ? 3

?m ? 0

已知单调性求字母系数范围问题转化 为恒成立问题,进而转化为最值问题, 注意分离常变量技巧的使用.

8.设f(x)=x3+2x2+mx+1的单调递减区间 为
2 (?2, ) 3

,求m的范围.

解∵f(x)=x3+2x2+mx+1,
∴f′(x)=3x2+4x+m.
2 (?2, )是 由题意可知: 3

3x2+4x+m ? 0 的解.

2 m ?2 ? ? ? m ? ?4 3 3

注意区别两道题的语言艺术

仔细体会: 1、为什么可以利用 f ( x) ? 0 ?求 函数的单调区间?
'

2、为什么已知单调区间 ? f ( x) ? 0
'

? f ( x) ? 0
'

三、有关函数极值最值的问题
必备的理论知识: (1)x0是极值点等价于x0 是y=f‘(x)的变号零点;即x0两

边的导数值异号;
(2)先增后减为极大值点,先减后增为极小值点;

(3)最值是在极值点和端点处取得;(大题要列表)
(4)导函数的正负对应着原函数的增减.

9.如果函数y=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1时有极 值,极大值为4,极小值为0. 试求a,b,c的值. 【解析】y′=5ax4-3bx2.令y′=0,

即5ax4-3bx2=0,x2(5ax2-3b)=0,
∵x=〒1是极值点, ∴5a(〒1)2-3b=0.∴5a=3b. 若a>0,y′=5ax2(x2-1).

当x变化时,y′、y的变化情况如下表:

由上表可知,当x=-1时,f(x)有极大值; 当x=1时,f(x)有极小值. ?-a+b+c=4, ?a=3, ? ? 解得 ?a-b+c=0, ? b=5, ?5a=3b. ?c=2. ? ? 若a<0时,同理可得a=-3,b=-5,c=2. 综上,a=-3,b=-5,c=2或a=3,b=5,c=2.



10. 若函数 f(x)=x3-3x-k 在 R 上只有一个零点,则常数 k 的 取值范围为__________. 【解析】由f(x)=x3-3x-k,则f′(x)=3x2-3, 令f′(x)=0,得x=-1或x=1. 可得函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在 (-1,1)上是减函数. f(x)极大值=f(-1)=2-k, f(x)极小值=f(1)=-2-k.

要使原方程只有一个实数根,只需
2-k<0或-2-k>0,解得k>2或k<-2.

答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)

四、有关函数闭区间上最值极值的问题

五、利用函数最值证明不等式的问题

辽宁2010理21
2 f ( x ) ? ( a ? 1 ) ln x ? ax ?1 已知函数

(I)讨论函数 f ( x) 的单调性; ( II ) 设 a ? ?1 . 如 果 对 任 意 x1 , x2 ? (0,??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 | x1 ? x2 | , 求 a 的取值范围。

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 (Ⅰ) f ( x) 的定义域为(0,+∞). f '( x) ? . ? 2ax ? x x
当 a ? 0 时, f '( x) >0,故 f ( x) 在(0,+∞)单调增加; 当 a ? ?1 时, f '( x) <0,故 f ( x) 在(0,+∞)单调减少; 当-1< a <0 时,令 f '( x) =0,解得 x ?

?

a ?1 . 2a

a ?1 a ?1 ) 时, f '( x) >0; x ? ( ? , ??) 时, f '( x) <0. 则当 x ? (0, ? 2a 2a a ?1 a ?1 ) 单调增加,在 ( ? , ??) 单调减少. 故 f ( x) 在 (0, ? 2a 2a

(Ⅱ)不妨假设 x1 ? x2 ,而 a <-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而

?x1 , x2 ? (0, ??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2
等价于 ?x1 , x2 ? (0, ??) , f ( x2 ) ? 4 x2 ? f ( x1 ) ? 4 x1 ①

a ?1 令 g ( x) ? f ( x) ? 4 x ,则 g '( x) ? ? 2ax ? 4 x a ?1 ①等价于 g ( x) 在(0,+∞)单调减少,即 ? 2ax ? 4 ? 0 . x

?4 x ? 1 (2 x ?1) 2 ? 4 x 2 ? 2 (2 x ?1) 2 ? 2 ?2 从而 a ? 2 ? 2 2x ?1 2 x ?1 2 x ?1
故 a 的取值范围为(-∞,-2].

2010全国课标卷

已知函数 f ( x ) ? e ? 1 ? x ? ax
x

2

(1)若 a=0,求 f(x)的单调区间; (2)若当 x ? 0 时 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围;
(1)若 a=0, f ( x) ? e ? 1 ? x ,
x

令 f ' ( x) ? e x ? 1 ? 0 ? x ? 0 所以 f(x) 单调递增区间为 (0, ??) , 单调递减区间为 ( ??, 0) ;

(2) f ( x) ? e ? 1 ? 2ax,
' x

由(1)可知 f ( x) ? e ? 1 ? x ? f (0) ? 0 ? e ? 1 ? x
x x

? f ' ( x) ? e x ? 1 ? 2ax ? x ? 2ax ? (1 ? 2a ) x , 1 ' 所以当 1 ? 2a ? 0 即 a ? 时 f ( x) ? 0 ( x ? 0 ) 2
即:当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ;

五、利用微积分基本定理求曲边梯形面积

第二部分:直接证明与间接证明 一 、 知 识 网 络

二、考纲要求 三、考情分析
(1)高考考情分析 (2)期中考试考情分析

一、合情推理1(归纳) 1、如图,它满足(1)第n行收尾两数均为 n;(2)图中的递推关系类似杨辉三角,则第n 2 n 行( n ? 2 ) 的第二个数是 ? n ? 2
2

1 2 3 4 4 2 3
如何猜通项公式?

7 7 4 5 11 14 11 5 ... ... ...

一、合情推理2(类比)

寻找类比对象的共性

进行类比

猜想结论

(1) 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征: 等差数列 a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an ? 2 ;   

an an ? an ?1 ? d,   ? q an ?1

a1 ? an ? a2 an ?1 ? a3an ?2 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 5a3 ;
a1a2a3 a4 a5 ? a3 ;
5

性质体现 在和等比 数列体现 在积上.

等差数列:

脚标特征
等比数列




积,差
乘方,商


开方

二、演绎推理与证明

方法三

a b ? ? b ? 2 a; ? a ? 2 b; b a a b ? ? b? ? a ? 2 a ? 2 b; b a

a b 即 ? ? a ? b; b a
综合法

7、在斜三棱柱A1B1C1-ABC中,AB=AC, 侧面BB1C1C⊥底面ABC,D是BC的中点 (1)求证: AD ⊥ CC1; (2)若AM=MA1,求证:平面MBC1 ⊥侧面 BB1C1C.
C1 B1 A1

考察重于 演绎推理, 轻于计算 技巧.

D C A

M B

反证法的关键 在于归谬,归 谬的方向是开 放的,可以是 已知条件、定 理公理定义等 还可以是自相 矛盾.

件得 时到 ,假 先设 验部 证分 再成 证立 明的 !条

用体 归会 纳两 假步 设三 证段 递的 推格 关式 系; 关 键 是

第三部分:复数
一、知识网络

二、考纲要求 三、考情分析
(1)高考考情分析 (2)期中考试考情分析

典型例题举例

D

B


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