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【志鸿优化设计-赢在课堂】(人教)2015高中数学必修5【精品课件】2-1 数列的概念与简单表示法2

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数列的通项公式与递推公式

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学习目 标 重点难 点

1.理解递推公式的含义,能根据递推公式写出数列的前几项,并能归 纳出数列的通项公式; 2.体会递推公式是表示数列的一种方法. 重点:利用递推公式求通项; 难点:递推公式含义的理解.

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1.数列的递推公式 一个数列若满足以下两个条件: (1)已知数列{an}的首项(或前几项). (2)从第二项(或某一项)开始的任意项 an 与它的前一项 an-1(或前几 项)(n≥2,n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示,则此公式就叫做这个 数列的递推公式. 用递推公式给出数列,以上两个条件缺一不可.

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2.数列的单调性的判定方法 判断一个数列的单调性,可以利用递增数列、递减数列、常数列的 定义进行,通常转化为判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关 系来确定. (1)若 an+1-an>0 恒成立,则数列{an}是递增数列; (2)若 an+1-an<0 恒成立,则数列{an}是递减数列; (3)若 an+1-an=0 恒成立,则数列{an}是常数列.

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预习交流
通项公式与递推公式的区别与联系是怎样的? 提示:
区别 通项公式 递推公式 项 an 是序号 n 的函数式 an=f(n) 已知 a1 及相邻项间的关系式 联系 都是数列的一种表示方法,可 求出数列中的任意一项

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一、判断数列的单调性 活动与探究
1.判断数列的单调性的方法有哪些? 提示:(1)根据定义判断:若 an+1>an,则数列{an}是递增数列,若 an+1<an,则数列{an}是递减数列. (2)根据数列的图象判断:图象上升为递增数列,图象下降为递减数 列. 2.若数列{an}的通项公式是二次函数型 an=an2+bn+c(a>0),且{an} 是递增数列,是否一定有对称轴小于零? 提示:若数列{an}的通项公式是二次函数型,且{an}是递增数列,应 有对称轴小于 ,而不是对称轴小于 0.
1 2

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例 1 判断下列数列的单调性: (1)在数列{an}中,an=-2n+3; (2)在数列{an}中,an=-n. 思路分析:可通过比较 an+1 与 an 的大小来判断.
1

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解:(1)∵ an=-2n+3,∴ an+1-an=-2(n+1)+3-(-2n+3) =-2n-2+2n=-2<0.∴ an+1<an.∴ 数列{an}是递减数列. (2)∵ an= -n,∴ an+1-an= =
-1 -1=(+1) 1 1 1 -(n+1)- -n +1

=

1 1 ? -1 +1

1+

1 (+1)

.

∵ n∈N*,∴

1 >0.∴ an+1-an<0.∴ an+1<an.∴ 数列{an}是递减数列. (+1)

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迁移与应用 1.已知数列{an}满足 an+1-an-3=0(n=1,2,3,…),则数列{an}是( A.递增数列 C.摆动数列 答案:A 解析:∵ an+1-an-3=0,∴ an+1-an=3>0. ∴ an+1>an(n=1,2,3,…),即数列的各项依次逐渐增大.∴ 数列为递增数列, 故选 A. B.递减数列 D.常数列 ).

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2.已知数列{an}的通项公式为 an=(10-n)· 2n,求数列{an}中的最大项. 解:(方法一)∵ an=(10-n)· 2n, ∴ an+1-an=(10-n-1)· 2n+1-(10-n)· 2n=(9-n)· 2n+1-(10 -n)· 2n =2n(18-2n-10+n)=2n(8-n). ∴ 当 n<8,且 n∈N*时,an+1>an,则数列{an}递增. 当 n=8 时,a9=a8,当 n>8 时,an+1<an,则数列{an}递减,即 a1<a2<a3<…<a8=a9>a10>a11…. ∴ 数列{an}中的最大项为 a8=a9=29=512.

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(方法二)设 an 最大(n≥2), ≥ -1 , (10-)· 2 ≥ (11-n)· 2 -1 , 则 即 ≥ +1 , (10-)· 2 ≥ (9-n)· 2 +1 , 得 8≤n≤9. 故所求数列{an}中的最大项为 a8=a9=512.

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判断数列的单调性,只需比较 an+1 与 an 的大小,可通过作差或作商 比较出大小.

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二、数列的递推公式及应用 活动与探究
1.根据数列的递推公式如何求数列中的项? 提示:根据数列的递推公式,将初始值代入递推公式,可依次求出数 列中的项. 2.若仅由数列{an}的递推关系 an=ban-1+c(n≥2,n∈N*),能否求出数 列{an}的每一项? 提示:不能,要想求出数列{an}的每一项,还需知道数列的第一项或 前几项.

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3.数列的通项公式和递推公式能否互相转化? 提示:数列的通项公式和递推公式一般可以相互转化,但有些递推 公式求不出通项公式.

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例 2 已知数列{an}的第 1 项是 2,以后的各项由公式 an=
-1 1--1

(n=2,3,4,…)给出,写出这个数列的前 5 项,并归纳出数列{an}的

通项公式. 思路分析:先写出前 5 项,再观察这 5 项,找出规律写出通项.

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解:可依次代入项数进行求值. a1=2,a2=
-3
2

2 -2 2 =-2,a3= =-3, 1-2 1-(- 2)
2

-5 2 a4= 2 =-5,a5= 2 1- - 3 1- - 5

=-7.
2 2 2 3 5 7

2

即数列{an}的前 5 项分别为 2,-2,- ,- ,- . 也可写为 , 1 , 3 ,
-2 -2 -2 -2 -2 , . 5 7 -1

即分子都是-2,分母依次加 2,且都是奇数, 所以 an=2 (n∈N*). 2-3

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迁移与应用 1.已知数列{an}中,a1=2,an=2an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式 an= . 答案:2n(n∈N*) 解析:由 a1=2,an=2an-1(n≥2),得数列的前 5 项依次为 2,4,8,16,32. 所以数列的通项公式 an=2n.

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2.若数列{an}满足 a1=1,a2=2,anan-2=an-1(n≥3),则 a2
014=

. 答案:1 解析:由 anan-2=an-1(n≥3),得 an= 于是
a3= 2 =2,a4= 3 =1,a5= 4 1 2 3 -1 -2

(n≥3), = ,a7= 6 =1,…,
1 2 5

=

5 1 ,a = 2 6 4

可知数列{an}具有周期性,周期为 6. 故 a2 014=a6×335+4=a4=1.

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数列的递推公式给出了相邻两项(或多项)之间的关系,只要知道第 一项就可以用递推公式求出后面的各项,如果各项间的规律明显,可以 归纳出它的一个通项公式.

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三、由递推关系求通项公式 活动与探究
1.若已知 a1=1,an-an-1=f(n)(n≥2)如何求通项公式? 提示:因为 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1,所以可用累加法求 通项公式. 2.若已知 a1=1, 提示:因为
=f(n)(n≥2)如何求通项公式? -1

an= -1

·

-1 -2

… 2· a1,所以可用累乘法求通项公式.

1

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例 3(1)已知数列{an}中,a1=1,an+1= (2)设{an}是首项为 1 的正项数列,且
+1

2 * ( n ∈ N ),求通项 an. +2 ,求它的通项公式. +1

=
1

思路分析:(1)将已知等式化简、 整理,得
1 ,再求 an.(2)可用累乘法求通项.

+1

?

1

= ,用累加法可求

1 2

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解:(1)∵ an+1=

2 ,∴ an+1(an+2)=2an.∴ an+1an=2an-2an+1. +2 1

两边同除以 2an+1an,得 ∴ ?
1 2 1 1

+1 1

? ? =

1 1

= . = .
1 2

1 2

= ,

1 1 2 3

?

1 2

= ,…,
1

1 2

-1 -1 . 2

把以上各式累加得 ? 又 a1=1,∴ an=

1 1

2 2 .故数列{an}的通项 an= (n∈N*). +1 +1

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(2)
1

2 3 4 5 1 2 3 4 -1 · · · · …· = × × × ×…× , 1 2 3 4 -1 2 3 4 5

∴ = . 又 a1=1,∴ an= a1= .
1 1

1

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迁移与应用 1.已知数列{an}中,a1=1,ln an+1-ln an=1,则数列{an}的通项公式是 ( ). A.an=n C.an=en-1 答案:C 解析:∵ ln an+1-ln an=1,∴ ln 由累乘法可得 an=en-1.
+1 +1 = 1 . ∴ =e. 1 1 e-1

B.an=

D.an=

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2.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式为 ( ). A.an=2n-1 C.an=
1 -1 2

B.an=2n-1 D.an=1+
1 2

答案:A 解析:(方法一)由已知 a1=1=21-1,a2=2×1+1=3=22-1,a3=2×3+1=7=23-1,…,由此归纳得 an=2n-1.
n +1 (方法二)∵ an+1+1=2(an+1),∴ = 2, 用累乘法可得 a + 1 = 2 . n +1



+1

∴ an=2n-1.

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由递推公式求数列的通项公式的常用方法有: (1)观察归纳法:根据通项公式先写出数列的前几项,再归纳出通项 公式; (2)若已知 a1,且 an-an-1=f(n)(n≥2,且 n∈N*),则采用累加法. (3)若已知
a1,且 =f(n)(n≥2,且 -1

n∈N*),则采用累乘法.

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1.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+1(n≥2),则通项公式为( A.an=1 C.an=n 答案:C 解析:∵ 由 an=an-1+1 可知 an-an-1=1, ∴ 数列的相邻两项中后项比前项大 1. ∴ 所求的通项公式为 an=n. B.an=2n-1 D.an=n+1

).

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2.已知数列 an<0,且 2an+1=an,则数列{an}是( A.递增数列 C.常数列 答案:A 解析:∵ an<0,∴ an+1-an=2an-an=-2an>0. ∴ 数列{an}是递增数列.
1 1

).

B.递减数列 D.无法判断

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3.在数列{an}中,a1=-2,an+1= A.-2 C.-2 答案:B 解析:∵ a1=-2,an+1=
1

1+ ,则 a2 014=( 1-

).

B.-3 D.3

1

1+ 1 1 ,∴ a2=-3,a3=2,a4=3,a5=-2. 1-

∴ 该数列是周期数列,周期 T=4. 又 2 014=503×4+2,∴ a2 014=a2=- .
1 3

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4.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则 a5= 答案:8 解析:由题意知 a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5, a5=a4+a3=8.

.

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5.在数列{an}中,a1=a,以后各项由递推公式 an+1= 列的前 4 项: 出一个通项公式: 答案:a
2 1+ 4 1+3 8 1+7

2 给出,写出这个数 1+

, . an=

,
2-1 a

,

,并由此写

1+(2-1 -1)a

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解析:由递推公式得 a2= a3= a4=
2 2 1+2 2 3 1+3

21 1+1

=

2 , 1+

= =

4 1+ · 1+ 1+3

=

4 , 1+3 8 . 1+7

8 1+3 · 1+3 1+7

=

观察各项特点,分子为 2n-1a, 则分母为 1+(2n-1-1)a, 所以通项公式为 an=
2-1 a
-1

1+(2

-1)a

.


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