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人教A版高中数学选修2-1同步检测第3章3.2第3课时空间向量与空间角


人教 A 版高中数学选修 2-1 同步检测 第三章 3.2 空间向量与立体几何 立体几何中的向量方法 空间向量与空间角 第 3 课时 A级 一、选择题 基础巩固 1.三棱锥 ABCD 中,平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分别为 π n1,n2,若〈n1,n2〉= ,则二面角 ABDC 的大小为( 3 π A. 3 π 2π C. 或 3 3 2π B. 3 π π D. 或 6 3 ) 解析:只需搞清二面角的范围是[0,π]. 答案:C 2. 直三棱柱 ABCA1B1C1 中, ∠BCA=90°, M, N 分别是 A1B1, A1C1 的中点, BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( 1 A. 10 C. 30 10 2 B. 5 D. 2 2 ) 解析:建立如图所示的空间直角坐标系 C?xyz,设 BC=2,则 → B(0,2,0),A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以BM=(1, → → → -1,2),AN=(-1,0,2),故BM与AN所成角 θ 的余弦值 cos θ= 1 人教 A 版高中数学选修 2-1 同步检测 → → |BM· AN| 3 30 = = . → → 6× 5 10 |BM|· |AN| 答案:C 3.若平面 α 的一个法向量 n=(2,1,1),直线 l 的一个方向向 量为 a=(1,2,3),则 l 与 α 所成角的正弦值为( A. 17 21 21 21 B. C.- D. 6 6 6 3 ? ? ) ? n· a? 解析:设 l 与 α 所成的角为 θ,则 sin θ=|cos〈n,a〉|=?|n||a|? = 7 21 = . 6 6· 14 答案:B 4.在矩形 ABCD 中,AB=1,BC= 2,PA⊥平面 ABCD,PA =1,则 PC 与平面 ABCD 所成角是( A.30° C.60° B.45° D.90° ) 解析: 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 P(0, 0, 1), C(1, 2, 0), → PC=(1, 2,-1), 2 人教 A 版高中数学选修 2-1 同步检测 平面 ABCD 的一个法向量为 n=(0,0,1), → → PC· n 1 所以 cos〈PC,n〉= =- , 2 → |PC|· |n| → 所以〈PC·n〉=120°, 所以斜线 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线所成角为 60°, 所以斜线 PC 与平面 ABCD 所成角为 30°. 答案:A 5. 如图, 正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1, O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 ABC1D1 的距离是( ) 1 A. 2 C. 2 2 B. D. 2 4 3 2 解析:以 D 为坐标原点,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x, y,z 轴建立空间直角坐标系,则有 D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1, 0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1). ?1 1 ? 因 O 为 A1C1 的中点,所以 O?2,2,1?, ? ? → ?1 1 ? C1O=?2,-2,0?, ? ? 设平面 ABC1D1 的法向量为 n=(x,y,z),则有 3 人教 A 版高中数学选修 2-1 同步检测 → ? ?n· AD1=0, ? ?-x+z=0, 即? ? ? → ?y=0, ? ?n· AB=0, 取 n=(1,0,1) 1

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