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17-18版:1.1.3 四种命题间的相互关系


第一章 常用逻辑用语 §1.1 命题及其关系 1.1.3 四种命题间的相互关系 1.四种命题的相互关系 原命题: 若 p, 则 q 互逆 逆命题: 若 q, 则 p 互 否 ? 互 否 逆否命题: 否命题:若 p, 则 ? q 互逆 若 ? q, 则 ?p 2.四种命题的真假性 (1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系 没有关系 是:_________. 相同的 真假 (2)①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_______ 性; 相同的 真假性. ②逆命题与否命题真假性的关系是:有_______ 真假性 综上,互为逆否命题具有相同的_______. 1.在四种命题中,只有命题“若p,则q”和“若 是互否命题吗? 提示:不是,如命题“若q,则p”和“若 否命题. ? p,则 ? q” ? q,则 ? p”也是互 2.互逆命题的真假性一定不等价吗? 提示:不一定,如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意 一条直线,则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同 真. 3.命题“若函数f(x)=ax+b,则函数是一次函数”以及它的逆命 题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为________. 【解析】因为命题“若函数f(x)=ax+b,则函数是一次函数”是 假命题,则其逆否命题也为假命题 .其逆命题“若函数是一次 函数,则函数解析式为f(x)=ax+b”是真命题,则它的逆否命题 (即原命题的否命题)也为真,所以真命题的个数为 2. 答案:2 1.对四种命题间结构关系的认识 “互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”反映的是两个命 题之间的相对关系,不具有特指性,即四种命题中的任意两个 命题之间一定具有这三种关系中的一种,且唯一. 2.对四种命题间真假关系的认识 (1)当两个命题是互逆命题或者是互否命题时,这两个命题 的真假是没有关系的,即它们之间可能同真、同假、一真一假 . (2)当两个命题是互为逆否命题时,这两个命题的真假是等 价的,即两者之间要么同真,要么同假,两者必居其一. 题目类型一、判断两个命题间的结构关系 【技法点拨】 判断两个命题间的结构关系的方法 这类问题的解决方法是判断两个命题的条件和结论之间的关系 . 若“只换位不换质”,则两者之间就是“互逆命题”;若“只 换质不换位”,则两者之间就是“互否命题”;若“既换位又 换质”,则两者之间就是“互为逆否命题”. 【典例训练】 1.与命题“在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”为 互逆命题的是( ) (A)在等差数列{an}中,若m+n≠p+q,则am+an≠ap+aq (B)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q (C)在等差数列{an}中,若am+an≠ap+aq,则m+n≠p+q (D)在等差数列{an}中,若m+n≠p+q,则am+an=ap+aq 【典例训练】 2.与命题“已知点A,直线l0,l,A∈l0,若l0∥l,则l0唯一”为 互否命题的是( ) (A)已知点A,直线l0,l,A∈l0,若l0唯一,则l0∥l (B)已知点A,直线l0,l,A∈l0,若l0不唯一,则l0∥l (C)已知点A,直线l0,l,A∈l0,若l0不平行于l,则l0不唯一 (D)已知点A,直线l0,l,A∈l0,若l0∥l,则l0不唯一 3.(2012·湖南高考)命题“若α= 是( ) ? 4 ? 4 ,则tanα=1”的逆否命题 (A)若α≠ (B

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