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高一数学必修四 第二章 复习参考题

A组

1.判断下列命题是否正确: (1) AB ? BA ? 0; (2) AB ? BC ? AC ; (3) AB ? AC ? BC ; (4)0 AB ? 0.
2,.选择题:

( ( ( (

) ) ) )

(1)如果a, b是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是( ( A)a ? b ( B)a b ? 1 (C )a ? b
2 2

).

( D) | a |2 ?| b |2
).

(2)对于任意向量a、 b, 下列命题中正确的是( ( A)若a, b满足 | a |?| b |, 且a与b同向,则a ? b ( B) | a ? b |?| a | ? | b | (C ) | a b |?| a || b | ( D) | a ? b |?| a | ? | b |

(3)在四边形ABCD中,若AC ? AB ? AD, 则( ( A) ABCD是矩形 (C ) ABCD是正方形
( A)a与-? a的方向相反 (C )a与? 2 a的方向相同
OA ? OB ? OC ? OD等于( ( A)OM ( B)2OM (C )3OM

)

( B) ABCD是菱形 ( D) ABCD是平行四边形
) ( B) | ?? a |?| a | ( D) | ?? a |?| ? | ?a
) ( D)4OM

(4)设a是非零向量,?是非零常数,下列结论正确地是(

(5)设M 是平行四边形ABCD的对角线的交点,O任意一点,则

(6)下列各组向量中,可以作为基底的是( ( A)e1 ? (0, 0), e2 ? (1, ?2) ( A)e1 ? (3,5), e2 ? (6,10)



( B)e1 ? (?1, 2), e2 ? (5, 7) 1 3 ( A)e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? ) 2 4

3.已知AB ? AD ? AC, 且AD ? a, BD ? b, 分别用a, b表示AB、 AD.

4.已知六边形ABCDEF 为正六边形,且 AC ? a, BD ? b,分别用a, b表示 DE、 AD、 BC、 EF、 FA、 CD、 AB、 CE.

5.已知平面直角坐标系中,点O为原点,A(-3, - 4), B(5, -12). (1)求 AB的坐标及 | AB |; (2)若OC ? OA ? OB, OD ? OA - OB, 求OC及OD的坐标; (3)求OA OB.

6.已知点A(01) ,,B(1 , 0), C(1 , 2), D(21), , 试判断向量AB和CD的位置关系,并给出证明. 7.已知点A(11), , B(?1 , 0), C(01), , 求点D( x, y),使AB ? CD. 8.n为何值时,向量a ? (n,1)与b ? (4, n)共线且方向相同? 9.已知a ? (1,0), b ? (1,1), c ? (?1,0),求?和?,使c ? ? a ? ?b.
10.已知?ABC的顶点坐标是分别为A(11), , B(4,1), C(4, 5), 求 cos A,cos B,cos C的值.

11.已知单位向量m和n的夹角为600,求证 : (2n - m) ? m, 并解释其几何意义. 12.已知a ? (1,0), b ? (1,1), ?为何值时, a ? ?b与a垂直? 13.已知 | a |? 3,| b |? 2, a与b的夹角为300 , 求 | a ? b |,| a ? b | .

14.如图所示,支座A受 F1 , F2 两个力的作用,已知 | F1 |? 40 N , 与水平线成? 角; | F2 |? 70 N , 沿水平方向;两个力的合力 | F |? 100 N 求角?以及合力 F 与水平线 的夹角? .

F1

B θ
F
β

C

A

F2

D

B组 1. 选择题:

(1)已知 AB ? a ? 5b, BC ? ?2a ? 8b, CD ? 3(a ? b), 则( ( A) A、B、D三点共线 (C ) B、C、D三点共线 ( B) A、B、C三点共线 ( D) A、C、D三点共线

).

(2)已知正方形ABCD的边长为1, AB ? a, BC ? b, AC ? c, 则 | a ? b ? c | 等于( ( A)0 ( B)3 (C ) 2 ( D)2 2

)

(3)已知OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d , 且四边形ABCD为平行四边形,则( ( A)a ? b ? c ? d ? 0 (C )a ? b ? c ? d ? 0 ( B) a ? b ? c ? d ? 0 ( D) a ? b ? c ? d ? 0

).

(4)已知D、E、F 分别是?ABC的边BC、CA、AB的中点,且BC ? a, CA ? b, AB ? c, 则 1 1 1 1 1 ① EF ? c ? d ; ② BE ? a ? b; ③CF ? ? a ? b; ④ AD ? BE ? CF ? 0中正确的等式 2 2 2 2 2 的个数为( ) ( A)1 ( B)2 (C )3 ( D)4
(5)若e1 , e2是夹角为600的两个单位向量,则a ? 2e1 ? e2 ; b ? ?3e1 ? 2e2的夹角为( ( A)300 ( B)600 (C )1200 ( D)1500 ). ).

(6)若向量a、 b、 c两两所成的角相等,且 | a |? 1,| b |? 1,| c |? 3, 则 | a ? b ? c | 等于( ( A)2 ( B)5 (C )2或5 ( D) 2或 5

(7)等边三角形ABC的边长为1, BC ? a, CA ? b, AB ? c, 那么a b ? b c ? c a等于( 3 3 ( A)3 ( B) ? 3 (C ) ( D) ? 2 2

).

2.已知向量a, b为非零向量,求证: a ? b ?| a ? b |?| a ? b |, 并解释其几何意义. 3.已知a ? b ? c, a ? b ? d , 求证 :| a |?| b |? c ? d , 并解释其几何意义.

4.如图,已知四边形ABCD是等腰梯形,E、F分别是腰AD、BC的中点,M 、N 是线段 EF上的两个点,且EM ? MN ? NF , 下底是上底的2倍,若 AB ? a, BC ? b, 求 AM .

D

C

E

M

F N

A ) (第 4 题)

B

5.已知向量OP , OP , OP ,求证?PP . 1 2 , OP 3满足条件OP 1 +OP 2 +OP 3 =0| 1|=|OP 2 |=|OP 3|=1 1 2P 3是正三角形
6.如图,已知OA ? a, OB ? b, 任意点M 关于点A的对称点为S , 点S 关于点B的对称点N , 用a、 b表示向量MN .
N

M

B

A O S

(第 6 题)

7.某人在静水中游泳,速度为4 3千米 / 时.他在水流速度4千米 / 时的河中游泳. (1)如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少? (2)他必须朝什么方向游,才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度为多少?

8.在?ABC中,若OA OB ? OB OC ? OC OA, 那么O在?ABC的什么位置?

9.平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示,这使我们想到 可以用向量作为解析几何的研究工具.如图,设直线l的倾斜角为? (? ? 900 ). 在l上任取两个不同的点P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), 不妨设向量 P 1P 2的方向是向上的, 那么向量 P 1P 2的坐标是( x2 ? x1 , y2 ? y1 ).过原点作向量OP ? P 1P 2 , 则点P的坐标是 ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ), 而且直线OP的倾斜角也是? .根据正切函数的定义得 tan ? ? y2 ? y1 , x2 ? x1

这就是《数学2》中已经得到的斜率公式.上述推导过程比《数学2》中的推导过 程简捷.你能用向量作为工具讨论一下直线的有关问题吗?例如: ( 1)过点P0 ( x0 , y0 ), 平行于向量a ? (a1 , a2 )的直线的方程; (2)向量( A, B)与直线Ax ? By ? C ? 0的关系; (3)设直线l1和l2的方程分别是 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0, 那么,l1 / / l2 , l1 ? l2的条件各是什么?如果它们相交,如何得到它们的夹角公式? (4)点P0 ( x0 , y0 )到直线Ax ? By ? C ? 0的距离公式如何推导?


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