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备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板:专题11 函数应用问题答案解析

【高考地位】 应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题, 在近几年全国各地高考中经常 出现。 数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性, 因而应用题的非数学背景是多种多样的, 解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、 分析给出的有关问题, 并舍弃与数学无关的非本 质因素,通过抽象转化成相应的数学问题,或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。 在高考中要处理好函数应用题,学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关 键. 【方法点评】 类型 解函数应用题的一般步骤 使用情景:函数的实际应用问题 解题模板:第一步 第二步 型; 第三步 第四步 第五步 解模——求解数学模型,得到数学结论; 还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义; 反思——对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学结果对实 审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; 建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模 际问题的合理 性. 例 1 为了迎接世博会,某旅游区提倡低碳生活,在景区提供自行车出租.该景区有 50 辆自 行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元.根据经验,若每辆自行车的日 租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超出 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行车就 增加 3 辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金 x (元)只取整数,并且要求出租自行车一 日的总收入必须高于这一日的管理费用,用 y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中 出租自行车的总收入减去管理费用后的所得) 。 (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多? ?50 x ? 115(3 ? x ? 6, x ? N * ) ? * 【答案】 (1)y ? ? , 定义域为 {x | 3 ? x ? 20, x ? N } ; 2 * ? ??3 x ? 68 x ? 115(6 ? x ? 20, x ? N ) (2)11 元. 【解析】 试题分析: (1) 分 3 ? x ? 6 、6 ? x ? 20 根据净收入与日租金的关系分段求得函数的解析式; (2)根据函数的单调性分段求得各段函数的最大值,从而求得自行车的日租金的定价. (2)对于 y ? 50 x ? 115(3 ? x ? 6, x ? N ) ,显然当 x ? 6 时, ymax ? 185 (元) . * 对于 y ? ?3 x 2 ? 68 x ? 115 ? ?3( x ? 34 2 811 ) ? (6 ? x ? 20, x ? N * ) , 3 3 当 x ? 1 时, ymax ? 270 (元)∵ 270 ? 185 , ∴当每辆自行车的日租金定在 11 元时,才能使一日的净收入最多. 考点:1、函数的解析式及定义域;2、函数的单调性. 【思路点睛】 (1)利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式,写出该分 段函数,是解决该题的关键,注意实际问题中的自变量取值范围; (2)利用一次函数,二次 函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键. 注意自变量取值区间上的函数类型. 应取 每段上最大值的较大的即为该函数的最大值. 例 2 如图,某单位准备修建一个面积为 600 平方米的矩形场地(图中 ABCD )的围墙,且 要求中间用围墙 EF 隔开, 使得图中 ABEF 为矩形,EFDC 为正方形. 已知围墙 (包括 EF ) 的修建费用均为 800 元/米.设 AB ? x 米,围墙(包括 EF )的修建总费用为 y 元. (1)求出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为何值时,围墙(包括 EF )的修建总费用 y 最小?并求出 y 的最小值. 【答案】 (1) y ? 2400( x ? 值为 96000 元. 【解析】 试题分析: (1)借助题设条件建立方程求解; (2)借助题设运用基本不等式的知识探求. 400 (2)当 x 为 20 米时, y 最小, y 的最小 )(0 ? x ? 10 6 ) ; x 考点:基本不等式等有关知识在实际生活中的综合运用. 【易错点晴】应用题是高中数学问题中的常见题型,也是高考常考题型之一.这类问题的解 答思路是:一、仔细阅读问题中的文字叙述;二、理解题意搞清问题中的数量关系;三、构 建合适的数学模型;四、运用数学知识进行分析和求解.本题以修建围墙的费用为背景设置 的实际问题,其目的是考查基本不等式等有关知识的综合运用.求解时先阅读理解题意,再构 建函数关系,最后再运用基本不等式求解,从而使得问题获解. 例 3 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建 一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为 l1、l2 ,山区边界曲 线为 C .计划修建的公路为 l ,如图所示, M , N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 l1、l2 的距 离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l1、l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l1、l2 所在 直线分别为 x, y 轴, 建立平面直角坐标系 xOy . 假设曲线 C 符合函数 y ? 为常数)模型. a (其中 a, b x ?b 2 (1)求 a, b 的值; (2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点, P 的横坐标为 t . ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f ? t ? ,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度. 【答案】 (1) ? ?a ? 1000 3 2 4 ? 106 t ? , t ? ?5, 20? ;②当 t ? 10 2 时, ; (2)① f ? t ? ? 2 t4 ? b?0 公路 l 的长度最短,最短长度为 15 3 千米. 【解析】 试题解析: (1)

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