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常用积分公式表


积分公式表_9crk002
1、基本积分公式:
(1) (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(8)

(10)

(11)

2、积分定理:
? x (1) ?? f ?t ?dt? ? f ?x ? ? ? ?a ? ? b? x ? ? ? (2) ? f ?t ?dt ? f ?b?x ??b??x ? ? f ?a?x ??a ??x ? ? ? ? a?x ? ? b
(3) 若F (x) 是f (x) 的一个原函数, 则?
a

f ( x)dx ? F ( x) b a ? F (b) ? F (a)

3、积分方法

?1? f ?x? ?

ax ? b ;设: ax ? b ? t

?2? f ?x? ?

a 2 ? x 2 ;设: x ? a sin t

t f ?x ? ? x 2 ? a 2 ;设: x ? a s e c
t f ?x ? ? a 2 ? x 2 ;设: x ? a t a n

?3? 分部积分法: ? udv ? uv ? ? vdu

附:理解与记忆
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数 0 的积分,等于积分常数 .

公式(2)、(3)为幂函数

的积分,应分为



.



时,



积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次.

特别当

时,有

.



时,

公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故 母,不在分子,应记清. ( , )式右边的 是在分



时,有

.

是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数; 指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用 的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的 学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分

公式(11)是一个关于有理函数的积分

下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质, 举例说明如何利用基本积 分公式求不定积分.

例 1 求不定积分

.

分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式.

解:

( 为任意常数 )

例 2 求不定积分

.

分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分 公式求积分的形式.

解:由于

,所以

( 为任意常 数 )

例 3 求不定积分

.

分析:将

按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式.

解:

( 为任意常数 )

例 4 求不定积分

.

分析:用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.

解:

( 为任意常 数 )

例 5 求不定积分

.

分析:基本积分公式表中只有

但我们知道有三角恒等式:

解:

( 为任意常数 ) 同理我们有:

( 为任意常数 )

例6

( 为任意常数 )


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