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江西省新余市高三数学下学期模拟考试试题 理

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新余一中 2016 届毕业年级第八次模拟考试

数学(理)试题

第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求。

? ? 1.已知集合 M

?

? ?

x

?

2 x

? 1?? , ?

N

?

y y ?1? x2

,则 M

N? (

B ).

A. ???,2?

B. ?0,1?

C. ?0,2?

D.?0,1?

2.复数 3 ? 2i ? 3 ? 2i ? ( C ) 2 ? 3i 2 ? 3i

A.0

B.2

C. 2i

D. ? 2i

3.如图,若输出的函数值在区间

? ??

1 4

,1 2

? ??

内,则输入的实数

x

的取值范围是(B



A. ?? 3,? 2?

B.?? 2,?1? C.??1,0?

D. ?0,1?

4.某班对八校联考成绩进行分析,利用随机数表法抽取样本时,先将 70 个同学按

01,02,03….70 进行编号,然后从随机数表第 9 行第 9 列的数开始向右读,则选出的第 7 个

个体是( B )

(注:下表为随机数表的第 8 行和第 9 行)

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52

38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02

79 54

A.07

B. 44

C.15

D.51

5.已知等差数列?an? 的公差 d ? 0 ,且 a1 ,a3 ,a13 成等比数列,若 a1 ? 1,Sn 为数列?an?

的前 n 项和,则 2Sn ?16 的最小值为( B ) an ? 3

A.3

B.4

C. 2 3 ? 2

D. 9

2

?3x ? 4 y ?10 ? 0

6.

已知不等式组

? ?

x

?

4

表示区 域 D ,过区域 D 中任意一点 P 作

?? y ? 3

圆 x2 ? y2 ? 1 的 两 条 切 线 且 切 点 分 别 为 A, B , 当 ?APB 最 大 时 ,

cos?APB ? ( D )

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A. ? 3 2

B. ? 1 2

C. 3 2

D. 1 2

7.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为( A )

A. 8 ? 14

B. 8 ? 2 14

C. 2 ? 2 5 ? 14

D. 16 ? 2 14

8.将函数 f (x) ? sin(2x ? ?)(| ? |? ? ) 的图象向左平移 ? 个单位后的图象关于原点对称,

2

6

则函数 f (x) 在[0, ? ] 上的最小值为( D ) 2

A. 3 2

B. 1 2

C. ? 1 2

D. ? 3 2

9.









? ??

x

?

2

1
4

x

n
? ??







式 中 ,前





















,把





式中所



的项重新排成一列,有理项都 互不相邻的概率为( D )

A. 1 6

B. 1 4

C. 1 3

D. 5 12

10. 已知点 A 是抛物线 x2 ? 4 y 的对称轴与准线的交点,点 B 为 抛物线的焦点, P 在抛物

线上且满足 PA ? m PB ,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A, B 为焦点的双曲线上,
则双曲线的离心率为( A )

A. 2 ?1

B. 2 ?1 2

C. 5 ?1 2

D. 5 ?1

11.在菱形 ABCD 中, A ? 60?, AB ? 3 ,将 ?ABD 折起到 ?PBD 的位置,若二面角

P ? BD ? C 的大小为 2? ,则三棱锥 P ? BCD 的外接球的体积为( C ) 3

A. 4? 3

B. 3? 2

C. 7 7? 6

D. 7 7? 2

12.关于函数

f

?x?

?

2 x

?

ln

x

,下列说法错.误.的是(

C



A. x ? 2 是 f ? x? 的极小值点

B.函数 y ? f ? x? ? x 有且只有 1 个零点

C.存在正实数 k ,使得 f ? x? ? kx 恒成立

D.对任意两个正实数 x1, x2 ,且 x2 ? x1 ,若 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4
第Ⅱ卷

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本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题---第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。 第 22 题—第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

13. 已知 a,b, c 分别是 ?ABC的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a ? 1, b ? 3, A ? C ? 2B, 则

?ABC的面积为

3



2

14.如图在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8, AD ? 4 ,CP ? 3PD, AP? BP ? 2 ,

则 AB ? AD 的值是 4



15. 已知双曲线 mx2 ? ny2 ? 1(m ? 0、n ? 0) 的离心率为 2,则椭圆 mx2 ? ny 2 ? 1 的离心率



6



3

16. 对于函数 f (x) ,若在定义域内存在实数 x ,满足 f (?x) ? ? f (x) ,则称 f (x) 为“局部

奇函数”.若已知 f (x) ? 4 x ? m ? 2 x?1 ? m2 ? 3 为定义域 R 上的“局部奇函数”,则实数 m

? ? 的取值范围是 1 ? 3,2 2

..

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题共

12

分)已知数列 ?an ?

的前

n

项和为

Sn

,且

a1

?

1 2

,

an?1

?

n ?1 2n

an



(1)求?an? 的通项公式;

(2)设 bn ? n(2 ? Sn ),n? N* ,若 bn ? ?, n? N* 恒成立,求实数 ? 的取值范围;
17.(1)由已知得 an?1 ? 1 an ,其中 n ? N * n?1 2 n

所以数列

{

a n

}

是公比为

1

的等比数列,首项 a

=

1

n

2

12

? an n

1 ? 2n

,所以 a n

=

n( 1)n 2

………… 4 分

(2)由(1)知 S = 1 + 2 + 3 + L + n 所以 1 S = 1 + 2 + 3 L + n

n 2 22 23

2n

2 n 22 23 24

2n+ 1

所以 1 S = 2n

1+ 1 + 1 +L + 1 -

2 22 23

2n

n 2n+ 1

?1 2

Sn

?1?

n?2 2n?1

? Sn

?

2

?

n?2 2n

………… 8 分

因此 b = n

n(n + 2) , b -

2n

n+ 1

b = (n + 1)(n + 3) -

n

2n+ 1

n(n + 2) = - n2 + 3

2n

2n+ 1

所以,当 n = 1, b 2

b> 1

0

即b 2

>

b 1

,n

?

2, bn?1

? bn

?

0

即 bn+1

<

bn

所以 b2 是最大项 b2 = 2, 所以 ? ? 2 .

………… 12 分

18.(本题满分 12 分)在一个盒子中放有大小相同的红、白、黄三个小球,现从中任意摸出

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一球,若是红球记 1 分,白球记 2 分,黄球记 3 分。现从这个盒子中有放回地先后摸出两球,

所得分数分别记为

x,

y ,设 O

为坐标原点,点

P

的坐标为 ?x

?

2, x

?

y ?, 记?

?

OP

2
.

(1)求随机变量? 的最大值,并求事件“? 取得最大值”的概率; (2)求随机变量? 的分布列和数学期望。 解:(1) 2
9

(2)

?

0

1

2

5

1

4

2

2

P

9

9

9

9

E? ? 2

19. ( 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 直 角 梯 形 A B CD中 , AD// BC , ?ADC ? 900 ,

AE ? 平面ABCD, EF // CD , BC ? CD ? AE ? EF ? 1 AD ? 1. 2

(1)求证: CE // 平面ABF ;

E

(2)在直线 BC 上是否存在点 M ,使二面角 E ? MD? A 的大小

为 ? ? 若存在,求出 CM 的长;若不存在,请说明理由。

F

A

D

6

(1)略

(2) 3 3

B

C

20. ( 本 小 题 满 分

12













C1 :

y2 a2

? x2 b2

? 1?a ? b ? 0?







线

? ? C2 : x2 ? 2 py? p ? 0? 有一个公共焦点,抛物线 C2 的准线 l 与椭圆 C1 有一坐标是 2,?2

的交点。

(1)求椭圆 C1 与抛物线 C2 的方程;

(2)若点 P 是直线 l 上的动点,过点 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A, B ,直线 AB

与椭圆 C1 分别交于点 E, F ,求 OE ? OF 的取值范围。

答案:(1) y 2 ? x 2 ? 1, x 2 ? 8 y 84

(2)设点 P?t,?2? ,可得 AB方程为:y ? 1 tx ? 2. 联立椭圆方程,由韦达定理可得:
4

OE

?

OF

?

320 t 2?32

?

8 ,范围为

??

8,2?。

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21.(本小题满分 12 分) 设函数 f (x) ? bx ? ax . lnx
(1)若 a ? 0 ,求 f (x) 的单调增区间;
? ? (2)当 b ? 1时,若存在 x1 , x2 ? e, e2 ,使 f (x1) ≤ f ?(x2 ) ? a 成立,求实数 a 的最小
值.(其中 e 为自然对数的底数)
请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22.
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23.(本小题满分

10

分)在平面直角坐标系

xOy

中,曲线

C1

的参数方程为

? ? ?

x y

? ?

cos? sin ?



?

为参数),曲线

C2

的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

a b

cos? sin ?



a

?

b

?

0,?

为参数),以坐标原点为极点,

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线 l :? ? ? ,与 C1 ,C2 各有一个交点,当? ? 0 时,

这两个交点间的距离为 2,当? ? ? ,这两个交点重合. 2

(1)分别求 C1

,C2

的直角坐标方 程;(2)设当?

?

? 4

时,l

与 C1

,C2

的交点分别为

A1 ,

B1



当?

?

?? 4

,l

与 C1 , C2 的交点分别为

A2 , B2 ,求四边形

A1 A2B2B1 的面积.

23、(1) C1 是圆, C2 是椭圆.

当? ? 0 时,射线 l 与 C1 ,C2 交点的直角坐标分别是 ?1, 0?,?a, 0? 因为这两点间的距离为 2,

所以 a ? 3

当?

?

? 2

,射线 l

与 C1

,C2

交点的直角坐标分别是 ?0,1?,?0,b?

因为这两点重合,所以 b

?1;

故 C1 , C2

的普通方程为

x2

?

y2

? 1,

x2 9

?

y2

?1

(2)当 ?

?

? 4

时,射线 l

与 C1

交点

A1 的横纵标是

x

?

2, 2

与 C2

交点

B1 的横坐标是

x'

?

3 10 10

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当?

?

?? 4

时,射线 l

与 C1 , C2 的两个交点

A2 , B2 分别与交点

A1, B1 关于 x

轴对称,因此

? ?? ? 四边形 A1A2B2B1 为梯形,故四边形 A1A2B2B1 的面积为

2x' ? 2x 2

x' ? x

?2. 5

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

设函数 f (x) ? x ? a ? 2x,其中a ? 0 .

(1)当 a ? 2 时,求不等式 f (x) ? 2x ?1的解集;
(2)若当 x ? ??1,???时,恒有 f (x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 解:(1) ?? ?,1?? ?3,??? (2) ?1,?? ?

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