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黄金分割法及其实例


任课老师: 学生:学号

给定

a0、 b0 , ? ,

a ? a0、 b ? b0 ,
x1 ? a ? 0.382(b ? a), f1 ? f ( x1 ) x2 ? a ? 0.618(b ? a), f 2 ? f ( x2 )

f1 ? f 2
N0 ? 0
b ? x2 x2 ? x1 , f 2 ? f1 a ? x1 x1 ? x2 , f1 ? f 2

N1 ? 1

b?a ??

N0 ? 0

x? ?
x2 ? a ? 0.618(b ? a), f 2 ? f ( x2 )

( a ? b) 2

x1 ? a ? 0.382(b ? a), f1 ? f ( x1 )

转出

黄金分割法(0.618法)的基本原理 初始区间: [a, b] l

?l

(1 ? ? )l

ax1 ? x2b

f1

f2

f1

f2

a

x1
x2

x2
b

b a

x1
a

x2
x1

b

新区间 ? [a, b]1

新区间 ? [a, b]1

1、在初始区间

[a, b] 内,对称的取两个内分点 :

x1、x2

ax1 ? x2b

2、计算并比较它们的函数值
f1 ? f ( x1 ) f 2 ? f ( x2 )

① f1 ? f 2 : 消去[ x2 , b], 新区间: [a,x2 ] (b ? x2)

② f1 ? f 2 :
消去[a,x1 ], 新区间: x1,b] (a ? x1) [

3、如上两步使区间缩短一次,并在新区间内均
保留了一个内点 x1或x2 故下次只需再对称的 增补一个内点
x1或x2 ,重复做上述两内点

函数值的比较: f1 ? f ( x1 ) f 2 ? f ( x2 ) 如此反复运算,区间即可逐步地加以缩短:

4、内分点的选取原则
[a, b]1; [a, b]2 ; [a, b]3 ; ....

每次缩小的新区间长度 缩短率 ? ? ? ?1 ? ?2 ? ? 原区间长度
⒈初始区间: ⒉第一个新区间: ⒊第二个新区间:
[a, b] ?区间长度 ? l ? b ? a ?? ?

[a, b]1 ?区间长度 ? ?l ?? ?
[a, b]2 ?区间长度 ?(1 ? ? )l ?? ?

据上述原则:

?l

(1 ? ? ) l ? l ?l

即: ?2 ? ? ? 1 ? 0

取其正根:? ? 0.618

故两个内分点的取点原则:

x1 ? a ? (1 ? ? )(b ? a ) ? a ? 0.382 (b ? a )
(1) (1) (1) (1) (1) (1)

x2 ? a (1) ? ? (b(1) ? a (1) ) ? a (1) ? 0.618 (b(1) ? a (1) )
第一次缩短时的原区间:

a

(1)

?a ;

b

(1)

?b

5、区间缩短的终止条件:
设:k —区间缩短次数,ε—迭代精度,按点距准则:

b ( k ) ? a ( k ) ? ?k (b ? a ) ? 0.618 k (b ? a ) ? ?
? ? (a ( k ) ? b ( k ) ) ?x ? 2 ? ? f ? ? f ( x? ) ?

(最终区间中点)

工程实例
?

?

工程上可用黄金分割法求解受均匀力作用下横 梁的弯曲量最大的点。 该横梁一些参数为:

q ? 1kN / m

E ? 200Gpa b ? 0.5m h ? 1m

l ? 10m
?

对横梁进行简化可得到简图。

横梁受力简图

y

x o

?qx(l 3 ? 2lx 2 ? x 3 ) 根据力学公式,可算得该梁的挠度方程为: y ? 24 EI

以o为原点建立X-Y坐标系,如上图所示。

?105 x 4 ? 2 ?106 x3 ? 108 x 代入数据得到挠度方程为: y ? 2 ?1011

? 以该梁的挠度方程为目标函数,运用黄金分割法 进行编程求极值点。 ? 通过工程力学计算,得到最大挠度出现在:

(5, ?1.5625 ?10 )

?5

? 精度为0.01的黄金分割法编程求出极值点与数学 运算计算得到的极值点进行比较,结果是在误差 范围内的。


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