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三角函数知识点总结

1. ① 与 α ( 0°≤ α < 360° ) 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 α 与 角 β 的 终 边 重 合 ) :

{β | β = k × 360

o

+α, k ∈ Z

} { } } } } }
3 sinx 4 cosx cosx 1 sinx 2



y
2 sinx 1 cosx cosx 4 sinx 3

②终边在 X 轴上的角的集合: β | β = k ×180 o , k ∈ Z

③终边在 Y 轴上的角的集合: β | β = k ×180 o + 90 o , k ∈ Z ④终边在坐标轴上的角的集合: β | β = k × 90 o , k ∈ Z

{

x

{

⑤终边在 Y=X 轴上的角的集合: β | β = k ×180 o + 45 o , k ∈ Z

{

SIN\COS三角函数值大小关系图 1, 2, 3, 4表示第一,二,三, 四象限一半所在区域

⑥终边在 y = x 轴上的角的集合: β | β = k ×180 o 45 o , k ∈ Z

{

⑦若角 α 与角 β 的终边关于 X 轴对称,则角 α 与角 β 的关系: α = 360 o k β ⑧若角 α 与角 β 的终边关于 Y 轴对称,则角 α 与角 β 的关系: α = 360 o k + 180 o β ⑨若角 α 与角 β 的终边在一条直线上,则角 α 与角 β 的关系: α = 180 o k + β ⑩角 α 与角 β 的终边互相垂直,则角 α 与角 β 的关系: α = 360 o k + β ± 90 o 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2 π 180°= π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. , 弧度与角度互换公式: 1RAD= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
π

1°= π ≈0.01745 RAD) (
180

3,弧长公式: l

=| α | r .

扇形面积公式: s扇形 =

4,三角函数:设 α 是一个任意角,在 α 的终边上任取(异于 原点的)一点 P(X,Y)P 与原点的距离为 R,则 sin α = y ;
r
cos α = x; r

1 1 lr = |α | r 2 2 2
y a的 的 的
P(x,y) ( r

tan α =

y; r r x cot α = ; sec α = ;. csc α = . x x y y
y

o
T

x

5,三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余 弦) 6,三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.
cos α
cos α = cot α sin α

P

O

M

Ax

8, 同角三角函数的基本关系式:sin α = tan α
tan α cot α = 1 csc α sin α = 1
2 2
2 2

sec α cos α = 1

sin α + cos α = 1 sec α tan α = 1 csc 2 α cot 2 α = 1

9,诱导公式:
把 kπ ± α的三角函数化为α的三角函数,概括为: 2

高三数学总复习—三角函数

"奇变偶不变,符号看象限" 三角函数的公式: (一)基本关系
公式组一 公式组一 sinxcscx=1 cosxsecx=1 tanxcotx=1
sin x tanx= cos x

x=

cos x sin x

公式组二 sin(2kπ + x) = sin x sin2x+cos2x=1 cos(2kπ + x) = cos x 1+tan2 x =sec2x tan(2kπ + x) = tan x cot(2kπ + x) = cot x 2 2
1+cot x=csc x

公式组三 sin( x) = sin x cos( x) = cos x tan( x) = tan x cot( x ) = cot x

公式组四 sin(π + x) = sin x cos(π + x) = cos x tan(π + x) = tan x cot(π + x) = cot x

公式组五 sin(2π x) = sin x cos(2π x) = cos x tan(2π x) = tan x cot(2π x) = cot x

公式组六
sin(π x) = sin x cos(π x) = cos x tan(π x) = tan x cot(π x) = cot x

(二)角与角之间的互换 公式组一 cos(α + β ) = cos α cos β sin α sin β
cos(α β ) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin(α β ) = sin α cos β cos α sin β tan(α + β ) = tan(α β ) = tan α + tan β 1 tan α tan β tan α tan β 1 + tan α tan β

公式组二 sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos 2 α sin 2 α = 2 cos 2 α 1 = 1 2 sin 2 α

tan 2α =
sin

2 tan α 1 tan 2 α
1 cos α 2 1 + cos α 2
1 cos α sin α 1 cos α = = 1 + cos α 1 + cos α sin α

α
2



cos

α
2



tan

α
2



公式组三
sin α = 2 tan 1 + tan

α
2
2

α
2

cos α =

1 tan 2 1 + tan
2

α α
2 2

tan α =

2 tan

α
2

1 tan 2
sin 15 o = cos 75 o =

α
2

1 [sin (α + β ) + sin (α β )] 2 1 cos α sin β = [sin (α + β ) sin (α β )] 2 1 cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α β )] 2 1 sin α sin β = [cos(α + β ) cos(α β )] 2 α+β α β sin α + sin β = 2 sin cos 2 2 α+β αβ sin α sin β = 2 cos sin 2 2 α+β αβ cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β αβ cos α cos β = 2 sin sin 2 2 sin α cos β =

公式组四

公式组五

1 cos( π α ) = sin α 2 1 sin( π α ) = cos α 2 1 tan( π α ) = cot α 2 1 cos( π + α ) = sin α 2 1 tan( π + α ) = cot α 2 1 sin( π + α ) = cos α 2

6 2, sin 75o = cos15o = 4

6 + 2 , tan 15 o = cot 75 o = 2 3 , tan 75 o = cot 15 o = 2 + 3 . 4

高三数学总复习—三角函数

10. 正弦,余弦,正切,余切函数的图象的性质:

图象

SINX
y = sin x y = cos x

COSX

TANX

y = tan x
1 x | x ∈ R且x ≠ k π + π , k ∈ Z 2

y = cot x

y = A sin (ωx + )

(A, ω >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[1,+1]

R
[1,+1]

{x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z }
R
π

R
π

[ A, A]






ω

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

[

π
2

+ 2kπ ,

[(2k 1)π , π π ; + kπ , + kπ 2 2kπ ] 2

(kπ , (k + 1)π ) 上为减函
数( k ∈ Z )

当 ≠ 0, 非奇非偶 当 = 0, 奇函数
2kπ 2kπ 2 ( A), ω 1 + π 2 ( A) ω



π



π
2

+ 2kπ ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2kπ , (2k + 1)π ] 上为减函 数 (k∈Z )

上 为 增 函 数 (k∈Z )

π

2 3π + 2kπ ] 2

+ 2kπ ,

上为增函数; π 2kπ +
2

上为减函 数 k∈Z ) (

( A), ω 3 2kπ + 2 π ( A) ω

上 为 减 函 数 (k∈Z ) 注意:① y = sin x 与 y = sin x 的单调性正好相反; y = cos x 与 y = cos x 的单调性也同样相 反.一般地,若 y = f (x ) 在 [a, b] 上递增(减) ,则 y = f (x) 在 [a, b] 上递减(增).


② y = sin x 与 y = cos x 的周期是 π . ③ y = sin(ωx + ) 或 y = cos(ωx + ) ( ω ≠ 0 )的周期 T =
y = tan

y



ω

.
O

x

x 的周期为 2 π ( π T= T = 2π ,如图,翻折无效). 2 ω

高三数学总复习—三角函数

④ y = sin(ωx + ) 的对称轴方程是 x = kπ +

π
2

(k∈Z ) ,对称中心( kπ ,0 ) y = cos(ωx + ) 的 ;

对称轴方程是 x = kπ( k ∈ Z ) 对称中心 kπ + 1 π ,0 ) y = tan(ωx + ) 的对称中心 , ( ; (
2

kπ . ,0 ) 2

y = cos 2 x → y = cos( 2 x ) = cos 2 x
原点对称

⑤当 tan α tan β = 1, α + β = kπ +

π
2

(k ∈ Z ) ; tan α tan β = 1, α β = kπ +

π
2

(k ∈ Z ) .

⑥ y = cos x 与 y = sin x + π + 2kπ 是同一函数,而 y = (ωx + ) 是偶函数,则 2
1 y = (ωx + ) = sin(ωx + kπ + π ) = ± cos(ωx) . 2

⑦函数 y = tan x 在 R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,

y = tan x 为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是 f (x ) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定 义域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f ( x ) = f ( x) ,奇函数: ) f ( x ) = f ( x ) 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y = tan x 是奇函数, y = tan( x + 1 π ) 是非奇非偶.(定 3 义域不关于原点对称) 奇函数特有性质:若 0 ∈ x 的定义域,则 f (x ) 一定有 f (0) = 0 .( 0 x 的定义域,则无此性 质)


⑨ y = sin x 不是周期函数; y = sin x 为周期函数( T = π ) ; ; ; y = cos x 是周期函数(如图) y = cos x 为周期函数( T = π )

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

1 ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: y = cos 2 x + 的周期为 π (如图) 2

y=|cos2x+1/2|图象

y = f ( x) = 5 = f ( x + k ), k ∈ R .

⑩ y = a cos α + b sin β = a 2 +b 2 sin(α + ) + cos = 11,函数 y = A sin(ωx + ) 的图象变换

b 有 a 2 +b 2 ≥ y . a

A > 0, ω > 0

函数 y = A sin(ωx + ) 的图象可以通过下列两种方式得到:
1 横坐标缩短到原来的 倍

ω (1) y = sin x → y = sin( x + ) →
倍 A y = sin(ωx + ) 纵坐标伸长为原来的 → y = A sin(ωx + )

图象左移

高三数学总复习—三角函数

ω ω (2) y = sin x → y = sin(ωx) →
1 横坐标缩短到原来的 倍 图象左移

A倍 y = sin(ωx + ) 纵坐标伸长为原来的 → y = A sin(ωx + )
4,反三角函数: 函数 Y=SINX, x ∈ π , 的反函数叫做反正弦函数,记作 Y=ARCSINX,它的定义域是[- π
2 2

1,1] ,值域是 - π , . π
2 2

函数 Y=COSX, X∈[0,∏] ( )的反应函数叫做反余弦函数,记作 Y=ARCCOSX,它的 定义域是[-1,1] ,值域是[0,∏] . 函数 Y=TANX, x ∈ π , 的反函数叫做反正切函数,记作 Y=ARCTANX,它的定义域 π
2 2


是(-∞,+∞) ,值域是 π , . π
2 2

函数 Y=CTGX, X∈(0,∏) [ ]的反函数叫做反余切函数,记作 Y=ARCCTGX,它的定 义域是(-∞,+∞) ,值域是(0,∏) . 数学思想与基本解题方法 1. 式子变形原则:凑一拆一;切割化弦;化异为同. 2. 诱导公式原则:奇变偶不变,符号看象限. 3. 估用公式原则:一看角度,二看名称,三看特点. 4. 角的和与差的相对性 如: β = (α + β ) - α 角的倍角与半角的相对性

如: 5. 6. 7. 8.

α α α α =2 , =2
2 2

4

升幂与降幂:升幂角减半,降幂角加倍. 数形结合:心中有图,观图解题. 等价转化的思想:将未知转化为已知,将复杂转化为简单,将高级转化为低级. 换元的手段:通过换元实现转化的目的.

1. 如: 函数)

y = a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + ), tan =

b a (化成一个角的一个三角

π π y = sin x ± cos x = 2 sin( x ± 4 );y = sin x ± 3 cos x = 2 sin( x ± 3 ) y = 3 sin x ± cos x = 2 sin( x ± π ) 6
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[例 1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到?

f ( x) = sin 2 x + 2 sin x cos x + 3 cos 2 x
2."1"的妙用——凑一拆一 熟悉下列三角式子的化简

1 + 2 sin α cos α = sin α + cos α = 2 sin(α +

π
4

)

1 sin α = 1 2 sin 1 cos α = 2 sin
[例 2] 化简 2 1 sin 8 + 3. 化异为同

α
2

cos

α
2

= sin

α
2

cos

α
2

= 2 sin(

α
2



π
4

)

α
2 ;

1 + cos α = 2 cos

α
2

2 + 2 cos 8 =

.

[例 3] 已知 tan α = 2 ,求:

sin α + cos α (1) sin α cos α

sin 2 α + 2 2 2 (2) 3 cos α sin α

4. sin α ± cosα 与 sin α cos α 间的相互转化

(1)若 sin α + cosα = t ,则

sin α cos α =

t 2 1 2 ; sin α = t 2 1 ; sin α cosα =

± 2 t2
(2)若 sin α cosα = t ,则 sin α + cos α = ± 1 + 2t ; sin α cos α = ± 1 2t

(3)

tan α + cot α =

1 2 = sin α cos α sin 2α

5. 互为余角的三角函数相互转化



α+β =

π

2 ,则 sin α = cos β ; cos α = sin β +α) = 1 π cos( α ) = 4 ,则 6
.

[例 4] 已知

sin(

π
3

.

[例 5] 求值: sin 18° sin 54° =

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6. 公式的变形及活用

tan α ± tan β = tan(α + β )[1 m tan α tan β ]

[例 6] tan 70° tan 10° 3 tan 70° tan 10° = 7. 角的和与差的相对性;角的倍角与半角的相对性

.

1 tan α = , tan( β α ) = 2 3 ,则 tan β = [例 7] 若

.

8. 角的范围的限定 由于条件中的三角式是有范围限制的,所以求值时可排除值的多样性.

1 sin α + cos α = , α ∈ (0, π ) 3 [例 8] 已知 ,求 cos 2α .
9. 在三角形中的有关问题

A+ B π C = A + B + C = 180° ; A + B = 180° C ; 2 2 2
结论: sin( A + B ) = sin C ; cos( A + B ) = cos C

sin

A+ B C A+ B C = cos cos = sin 2 2; 2 2

10,三角函数图像和性质的应用 会求——定义域,值域,最值,周期,对称轴,单调区间( "一套";会解——简单的 ) 三角不等式,三角方程,比较大小. [例 9] 求下列函数的定义域. (1) y = lg sin(cos x ) (2)

y = 2 + log 0.5 x + tan x

11,可化为形如: y = A sin(ωx + ) + B 的形式(一个角的一个三角函数)
2 2 [例 10] 已知函数 y = 3 cos x + 2 3 sin x cos x + sin x ,求"一套" .

12 函数 y = A sin(ωx + ) + B 的图像的变换——两个题型,两种途径 题型一:已知解析式 y = A sin(ωx + ) + B 确定其变换方法 变换有两种途径:其一,先平移后横向伸缩;其二,先横向伸缩后平移. 题型二:由函数图像求其解析式 y = A sin(ωx + ) + B

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