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2011届高考数学平面向量的概念及线性运算第一轮复习


一轮复习 学案

§6.1.平面向量的概念及线性运算
1.理解向量的有关概念;

姓名

☆复习目标:

2.掌握向量的加法、减法、数乘及其运算法则; 3.理解向量共线的充要条件; 4.会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题. )

?基础热身:

1.下列命题正确的是(

( A) 共线向量都相等 ( B ) 单位向量都相等 ? ? ? ? ? ? (C ) a ? b 的充要条件是 | a |?| b | 且 a // b ( D) 共线向量即为平行向量 A ( a , b ), B ( ? b , a ), C (0,0) 2.已知平行四边形的 3 个顶点为 ,则它的第 4 个顶点 D 的坐标是(
ab , ) ( B ) (a ? b, a ? b ) ? b ) ( A) ( 2 (C ) (a ? b, a ( D) (a ? b, b ? a ) ? ? ? ? 3.向量 | a |? 8,| b | ? 12 ,则 | a ? b | 的最大值和最小值分别是___________.

)

?知识梳理:
1. 向量的概念:
①数学中我们把既有 ②长度为 0 的向量叫 又有 的量叫向量(比物理里的矢量取名更直接). 向量. 向量; 长度为 1 个单位长度的向量,叫 向量;也叫

③方向相同或相反的非零向量叫

向量(因为平行向量都可移到同一直线上). 向量. 向量.

④长度相等且方向相同的向量叫 . 思辩 1)平行向量是否一定方向相同?(不) 3)与零向量相等的向量必定是 2)不相等的向量是否一定不平行? (定) 4)与任意向量都平行的向量是

2.向量的线性运算 ? ? 10. 加法 已知向量 a 、 b 在平面内任取一点 O , ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 作 OA = a , OB = b ,则向量 OB 叫做 a 与 b 的和; ? ? 或:由同一点 O 为起点的两个已知向量 a 、 b 为邻边 ??? ? ? ? 作平行四边形 OABC,则以 O 为起点的向量 OB 就是向量 a 、 b 的和. 向量加法的满足交换律: a + b = b + a ; 结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) ? ? ? 20. 减法. 与 a 、 向量,叫做 a 的相反向量,记作 ? a ? ? ??? ? 零向量的相反向量是 , ?(?a) ? , a ? (?a) ? __ ? ? ? ?? ? ? 若 a 与 b 互为相反向量,则 a ? ?b, b ? ___ , a ? b ? ___
求两向量差的运算叫减法运算

? ? ? a ? b ? a ? __, 即减去一个向量等于加上这个向量的 ? 30. 数乘. ? .实数 ? 与向量 a 的积是一个 ,记作 ,它的模与方向规定如下: 1) | ? a |? ? ; ? 2) ? >0时, ? a 的方向与 的方向相同;当 ? <0时, ? a 的方向与 的方向相反;
实数与向量的积的运算律: 运算律: ? (? a) ?

?



? (? ? ? )a =



? (a ? b) =

? ?

.

3. 向量共线的充要条件
?
? ?

向量 a ( a ? 0 )、 b ,如果有一个实数 ? ,使 b ? ? a ,则 a 与 b

?

?

?

?

?

反过来,已知 a 与 b 共线, a ? 0 ,且向量 b 的长度是向量 a 的 ? 倍,即 | b | ___ ? | a | ,

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? 向量共线定理: 向量 a ( a ? 0 )与向量 b 共线的充要条件是:
当且仅当有唯一实数 ? ,使

当 a 与 b 同方向时,有 b__ ? a ;当 a 与 b 反方向时,有 b___ ? ? a .

?

?

?

?

?

?

?

?

.

☆ 案例分析:

??? ? ???? 例 1.已知梯形 ABCD 中, | AB |? 2 | DC | , M , N 分别是 DC 、 AB 的中点, ? ? ? ???? ? ??? ? ? ???? ? ???? ??? 若 AB ? e1 , AD ? e2 ,用 e1 , e2 表示 DC 、 BC 、 MN .

??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? 例 2. (1) 设两个非零向量 e1 、 如果 AB ? 2e1 ? 3e2 , BC ? 6e1 ? 23e2 CD ? 4e1 ? 8e2 , e2 不共线, 求证: A, B, D 三点共线. ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? (2)设 e1 、 e2 是两个不共线的向量,已知 AB ? 2e1 ? ke2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 , 若 A, B, D 三点共线,求 k 的值.

例 3. 经过 ?OAB 重心 G 的直线与 OA, OB 分别交于点 P , Q ,
设 OP ? mOA, OQ ? nOB , m, n ? R ,求

??? ?

??? ? ????

??? ?

1 1 ? 的值。 n m

参考答案:
?? ???? 1 ??? ? e 例 1.解: (1) DC ? AB ? 1 2 2 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? ??? ? ???? 1 ??? ? ?? ? 1 ?? (2) BC ? BA ? AC ? ? AB ? AC ? AD ? DC ? AB ? AD ? AB ? e2 ? e1 2 2 ???? ? ???? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ?? ?? ? 1 1 1 1 (3) MN ? MD ? DA ? AN ? ? AB ? AD ? AB ? AB ? AD ? e1 ? e2 4 2 4 4 ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 例 2. (1)证明:因为 BC ? 6e1 ? 23e2 , CD ? 4e1 ? 8e2
所以 BD ? 10e1 ? 15e2 ,又因为 AB ? 2e1 ? 3e2 ,得 BD ? 5 AB 即 BD // AB ,又因为公共点 B ,所以 A, B, D 三点共线;

??? ?

? ?

? ? ?

??? ?

? ?

? ? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)解: DB ? CB ? CD ? e1 ? 3e2 ? 2e1 ? e2 ? 4e2 ? e1
??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? AB ? 2e1 ? ke2 ,因为 A, B, D 共线, 所以 AB // DB
设 DB ? ? AB , 所以 ?

??? ?

??? ?

??1 ? 2? ? k ? ?8 ?4 ? ? k



???? 1 ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 例 3.解:设 OA ? a, OB ? b ,则 OG ? (a ? b) , PQ ? nb ? ma 3 ??? ? ???? ??? ? 1 ? 1? PG ? OG ? OP ? ( ? m)a ? b 3 3
由 P, G, Q 共线,得 存在实数 ? ,使得 PQ ? ? PG ,即 nb ? ma ? ? ( ? m)a ?

??? ?

??? ?

?

?

1 3

?

1 ? ?b 3

1 ? ? m ? ? ( ? m) ? 1 1 ? 3 从而 ? ,消去 ? 得: ? ? 3 n m ?n ? 1 ? ? 3 ?


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