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1.1命题及其关系(第一课时)


常用逻辑用语

歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师,一天, 他与一位批评家“狭路相逢”,这位文艺批评家生性 古怪,遇到歌德走来,不仅没有相让,反而卖弄聪明, 一边高傲往前走,一边大声地说道:“我从来不给傻 子让路!”面对如此尴尬的局面,歌德只是笑容可掬, 谦恭的闪在一旁,一边有礼貌回答道“呵呵,我可恰 恰相反,”结果故作聪明的批评家,反倒自讨没趣。
“数学是思维的科学” 逻辑是研究思维形式和规律的科学. 在我们日常交往、学习和工作中,逻辑用语是我们必不 可少的工具. 通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用 法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学 内容的准确性、简捷性.

下列语句的表述形式有什么特点?你 能判断它们的真假吗?
(1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点; (2)2+4=7; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行;

(4)若x2=1,则x=1;
(5)两个全等三角形的面积相等; (6)3能被2整除.

以上均为陈述句,(1)(3)(5)为真,(2)(4)(6)为假. 想一想: :这些陈述句各用什么方式表述问题的?

命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符 号或式子表达的,可以判断真假的陈述句 叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题,判断为 假的语句叫做假命题.
?真命题 命题的分类: ? ?假命题
注意

不存在真假命题.

例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题,指出它 的真假。 (是,真) (1)空集是任何集合的子集.

(2)若整数a是素数,则a是奇数.
(3)指数函数是增函数吗?

(是,假)

(不是命题)

(是,假 ) (4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行 . (5) ?? 2?2 ? 2 (是,真)

(不是命题) 反思:判断一个语句是不是命题,关键看这语句是否 符合“是陈述句”和“ 可以判断真假”这两个条 件. 思考:命题(2)(4) 有什么相似结构呢? “若p,则q”形式

(6)x>15.

命题的常见形式:
“若p,则q”形式

下面来研究命题的“若p,则q”形 式

“若p,则q”形式的命题
命题“若整数a是素数,则a是奇数。” p q 具有“若p,则q”的形式。 ?通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条 件,q叫做命题的结论。 注意 ?“若p则q” 是命题的一种形式,也可写成“如果p,那 么q” “只要p,就有q”等形式。 ? 对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添补 一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。 ? 如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。 ? 写成“若p则q”的形式为: 若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行。

例2.把下列命题改写成“若 p 则 q ”的形式,并判 断真假: (l)负数的立方是负数; (2)正方形的四条边相等. 解:(l)若一个数是负数,则这个数的立方是负数; 真 结论 条件 (2)若一个四边形是正方形,则它的四条边相等. 真 结论 条件 反思:在改写命题的形式时,首先要找准哪一个是命 题的条件,哪一个是命题的结论,然后将条件写在前,结 论写在后即可.注意命题形式的改变并不改变命题的 真假性,只是表述形式上的变化.

把下列命题改写成“若 p ,则 q ”的形式并指出条件 和结论: (l)全等的两个三角形面积相等; (2)面积相等的两个三角形全等; (3)不全等的两个三角形面积不相等; (4)面积不相等的两个三角形不全等。 l)若两个三角形全等,则这两个三角形面积相等; 条件 结论 2)若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等; 条件 结论 3)若两个三角形不全等,则这两个三角形面积不相等 ; 条件 结论 4)若两个三角形面积不相等,则这两个三角形不全等 条件 结论

练习

探究:下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的
条件和结论之间分别有什么关系?

原命题:
l)若两个三角形全等,则这两个三角形面积相等; 条件 结论

逆命题: (交换原命题的条件和结论)
2)若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等; 条件 结论

(同时否定原命题的条件和结论) 否命题:
3)若两个三角形不全等,则这两个三角形面积不相等 ; 条件 结论

(交换原命题的条件和结论,并且同时否定) 逆否命题:
4)若两个三角形面积不相等,则这两个三角形不全等 条件 结论

四种命题: 原命题: 若p则q 逆命题: 交换原命题的条件和结论 若q则p 否命题: 同时否定原命题的条件和结论 若¬p则¬q 逆否命题: 交换原命题的条件和结论,并且同时否定 四种命题的相互关系
原命题
互 否 互 逆 逆命题 互为 否 逆 逆否 互 否 互为 互 逆 若¬q则¬p

否命题

逆否命题:

例3

写出命题“若x

2

? y ? 0, 则x, y全为零."
2

的逆命题、否命题、逆否命题,并判定真假. 反思:求解过程,否命题要注意否定词. 常见的 几个正面词语的否定词如下表:
或 = > 是 不 是 都是 不都 是 至多有 至少有 一个 一个 至少有 没有一 两个 个 任意 所有 的 的 某个 某些

且 ≠ ≤

特别注意:(1)“或”的否定为“且”, (2)“ 且”的否定为“或”,(3)“都”的否定为“不都 ”(至少一个不)。

试一试: 用否定的形式填空: ( 1 ) a > 0; (2)a ≥0或b<0; a≤0。 a<0且b≥0。

(3)a、b都是正数; a、b不都是正数。 (4)A是B的子集; A不是B的子集。

练习二:写出命题“若一个整数的末位数字是0,则这 个整数能被5整除”的其他3种命题,并判断真假: 练习三:

D 命题“若ab ? 0, 则a ? 0或b ? 0.”的逆否命题是(

A.若ab ? 0, 则a ? 0或b ? 0 C.若ab ? 0, 则a ? 0且b ? 0

B.若a ? 0或b ? 0, 则ab ? 0 D.若a ? 0且b ? 0, 则ab ? 0

假 解 :逆:若一个整数能被5整除,则这个整数的末位数字是0 ; 否:若一个整数的末位数字不是0,则这个整数不能被5整除; 假 真

逆否:若一个整数不能被5整除,则这个整数的末位数字不是0 ;

高考链接
1.(2009江西文)下列命题是真命题的为 1 1 A.若 ? ,则x ? y.B.若x 2 ? 1, 则x ? 1. x y (A )

C.若x ? y, 则 x ?

y .D.若x ? y, 则x 2 ? y 2 .

2 ( . 2011 天津理)命题“若 f ( x)是奇函数,则 f (? x)是奇函数” 的否命题是() B A.若f ( x)是偶函数,则 f (? x)是偶函数。 B.若f ( x)不是奇函数,则 f (? x)不是奇函数。 C.若f (? x)是奇函数,则 f ( x)是奇函数 D.若f (? x)不是奇函数,则 f ( x)不是奇函数

课堂小结
(1)命题的概念; (2)四种命题的概念; (3)四种命题之间的相互关系,由原命题 写出其他三种形式;
互 逆 原命题: 若p则q; 互 为 互 否

逆命题: 若q则p 逆否命题: 若¬q则¬p

逆否 互 否

否命题: 若¬p则¬q

互 逆


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