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高中数学求三角函数最值的方法必修4.doc


求三角函数最值的方法
三角函数最值问题是三角函数中的基本内容, 也是高中数学中经常涉及的问 题。这部分内容是一个难点,不易让学生掌握,它对三角函数的恒等变形能力及 综合应用要求较高。 求函数的最值是历届高考数学考查的热点之一,以三角函数 为载体的问题已成为高考中的热点问题。 一、一角一次一函数形式 在学习了三角函数的内容以后可以知道, 要求关于三角函数最值只能转化到
y ? A sin(?x ? ? ) ? B 或者 y ? A cos(?x ? ? ) ? B, y ? A tan( ?x ? ? ) ? B 这种形式才可

以求其最值,我把这种形式称为“一角一次一函数形式”。 例1:求 y ? sin x ? 3 cos x 的最值。
1 3 解: y ? sin x ? 3 cos x ? 2( sin x ? cos x) 2 2
? 2(sin x ? cos

?
3

? cos x sin

?
3

) ? 2 sin( x ?

?
3

)

?当 x ?
当x?

?
3

? 2

?
2

? 2k? 即 x ?

?
6

? 2k? , k ? Z 时, ymax ? 2

?
3

??

?

? 2k? 即 x ? ?

5? ? 2k? , k ? Z 时, ymax ? ?2 6

? ?? 变式1:再加上 x ? ?0, ? 是,结果如何? ? 2?

? ? ? ? 2? ? ? ?? 在化到 y ? 2 sin( x ? ) 时,? x ? ?0, ?,? x ? ? ? , ? 3 6 ?6 3 ? ? 2?

? ?1 ? ? sin(x ? ) ? ? ,1? , y ? ?1,2? . 3 ?2 ?
变式2: 求函数 y ?
sin x ? cos x ? ? ?? , x ? ?? , ? 的最值. sin x ? cos x ? 12 12 ?

解: y ?

tan x ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? tan( x ? ) ,? x ? ?? , ?,? x ? ? ? , ? tan x ? 1 4 4 ?6 3? ? 12 12?

?当 x ? ?

?
12

时, ymin ?

? 3 ;当 x ? 时, ymax ? 3 . 12 3

1? 2 3? 3 2? ?? ?? ? ? ?? sin x ? cos2 x ? sin ? x ? ? ,x ? ? , ? , 变式3: f ( x) ? ? 求 f ( x) ? ? 4? 2 ? 2 4? ? ?4 3?
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的最大值与最小值. 解: (先观察角之间的关系,最好能转化为同角,然后看同角是三角函数的 次数,在化为同一个函数名)

? ? ? 1 ? cos(2 x ? ) ? ? ? ? 1 3 3 2 ? ?? ? f ( x) ? ? ? cos 2 x ? ? ? 4? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?
?
3 1 ? 3 3 1 ? sin(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 8 2 6 8 4 4

? ? 2? 5? ? ?? ? ? ? x ? ? , ?,? 2 x ? ? ? , ?. 6 ? 3 6 ? ?4 3?
?当 x ?

?
4

时, f ( x) min ? ?

3 . 8 3?2 . 8

当x?

?
3

时, f ( x) max ?

在这个解题过程中, 运用到了转化思想,化归到我们已经学习过的三角函数 中去,通过一些倍角公式,与同角合并公式 a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) ,
b (tan ? ? ) 的转化,把它转化到“一角一次一函数形式”,此时对于同一个角度 a

是同次的。 所以说把 y ? a sin x ? b cos x 化成 y ? A sin(?x ? ? ) 的形式是解决问题普 遍方法 二、一角二次一函数形式 当三角函数转化为“一角一次一函数形式”有困难的时候,该如何呢? 7 例2 求函数 y ? ? cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 的最值. 4 分析: 先观察这个解析式可知, 对于同一个角而言, 不是同次时转化不到 “一 角一次一函数形式”时,肯定对同角而言是一次与二次的,所以有可能化归到二 次函数去。 解: y ? ? cos x ? ?1 ? cos 2 x ? ? ?2 cos 2 x ? 1? ?
7 7 ? ? cos 2 x ? cos x ? 4 4

1? ? ? ?? cos x ? ? ? 2 2? ?
? ymax ? 2, ymin ? ? 1 4

2

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变式1:求 y ? ?sin x ? 2??cos x ? 2?的最值.
1 ? 解: y ? sin x cos x ? 2(sin x ? cos x) ? 4 ? sin 2 x ? 2 2 sin( x ? ) ? 4 2 4

1 ?? ? ? ? ? cos? 2 x ? ? ? 2 2 sin(x ? ) ? 4 2 2? 4 ? 1? ? ? ? ? ? ?1 ? 2 sin 2 ( x ? )? ? 2 2 sin(x ? ) ? 4 2? 4 ? 4

? ? 9 当 sin( x ? ) ? ?1 即 x ? ? ? 2k? , k ? Z 时, ymin ? ? 2 2 , 4 4 2 ? 3? 9 ? 2k? , k ? Z 时, ymin ? ? 2 2 . 当 sin( x ? ) ? 1 即 x ? 4 4 2 此题这样做在思考上有一定的困难,但是我们可以思考到 sin x ? cos x 与
sin x cos x 是有关联的, ?sin x ? cos x? ? 1 ? sin x cos x ,由此可设 t ? sin x ? cos x
2

? ? 7 ? sin 2 ( x ? ) ? 2 2 sin( x ? ) ? 4 4 2 ? 3 ? [sin( x ? ) ? 2 ]2 ? 4 2

1 2 7 1 3 2 t ? 2t ? ? ?t ? 2? ? ,由此化归到了一元 4 2 2 2 2 二次函数, 比上面的思维应该简单一点。 所以以后见到 sin x ? cos x 与 sin x cos x 同
? 2 sin( x ? ) ? ? 2, 2 , y ?

?

?

?

时出现时,借助它们之间的联系用换元法。利用一些三角公式进行变量替换,是 求三角最值的一种常用技巧。 对同一个角, 有一次, 两次出现, 一般都可以转化到 “一角二次一函数形式” 。 三、利用有界性( ? 1 ? sin ? ? 1 , ? 1 ? cos ? ? 1 ) 三角函数中还有很多最值问题并不可以有上面两种方法解决,就有下面的例 题来展示: 例3 求函数 y ?
3 sin x 的值域. sin x ? 2

分析:不能转化到“一角一次一函数”与“一角二次一函数”这两种形式,但与 x ?1 我们以前所学的求 y ? 的最值,联系比较密切,借助分离变量或者说是反表 x ?1 示解决这一题目。 解: y ?
2y 2y 3 sin x ? sin x ? ? 1. , 因为 ? 1 ? sin x ? 1 ,所以 ? 1 ? sin x ? 2 y? 3 y? 3

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由此可得 ? 3 ? y ?

? 3? 3 ,? 函数的值域为 ?? 3 , ? . 3 ? 3 ?

解二: y ?

3 sin x ? 2 3 ? 2 3 2 3 , ? 3? sin x ? 2 sin x ? 2
?1 ? sin x ? 2 ? 3 ? ?2 3 ?

? ? 1 ? sin x ? 1
? 3? ? y ? ?? 3 , ? 3 ? ?

?2 3 2 ?? 3 sin x ? 2 3

(用变量分离的方法更简便)

变式1:求函数 y ?

3 cos x 的值域. sin x ? 2

解:由题意得 y sin x ? 3 cos x ? ?2 y ,所以 y 2 ? 3 sin( x ? ? ) ? ?2 y (其中 ?为
辅助角 ) ,?sin(x ? ? ) ?

? 2y y2 ? 3

, ? ?1 ? sin ?x ? ? ? ? 1 所以函数的值域为 ?? 1,1? .

? ?1 ?

? 2y y2 ? 3

?1

解得: ?1 ? y ? 1

解二:(此题还可以与几何图形相联系) 由题意得
y cos x cos x ? 0 ? ? 3 sin x ? 2 sin x ? (?2)

c o s x?0 设点 P(sin x, cos x), Q(?2,0) , 则 可以看成是单位圆上的动点 P 与点 Q n is x ? (?2)

3 3 连线的斜率,有图象可得 k1 ? ? , k2 ? 3 3

Y P1

??

3 y 3 ? ? 3 3 3

? ?1 ? y ? 1

Q P2

O

X

这个代数问题通过解析几何解决了,体现了数形结合的数学思想。 这些过程中主要是让学生在学习的过程中,要会与以前所学知识的联系,把 新的问题化归或转化到已经学过的知识中去。 这就要求要把知识的传授和能力的 培养相结合, 注重数学思想方法的教学,而学生们一旦掌握了一种新的数学思想 和方法,思维就提高到一个新的层次,解答数学问题的能力就有较大的提高,因

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为“数学的精神和本质在于它的思想和方法” 。在这个求三角函数最值基本的过 程中,让学生深刻的了解其中的数学思想方法,掌握“通性通法” ,也就掌握了 学习数学的“万能”钥匙。数学思想方法是人人能懂,处处有用的,这就是新课 程标准倡导的“人人学有价值的数学,人人都能获得必需的数学,不同的人在数 学上得到不同的发展”的基本理念。

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