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甘肃省永昌县第一高级中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学(文)试题


一卷(共 60 分) 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1. 顶点在原点,且过点 (?4, 4) 的抛物线的标准方程是( )
A. y 2 ? ?4x C. y 2 ? ?4x 或 x2 ? 4 y 2.已知函数 y ? x2 sin x ,则 y? = A. 2 x sin x C. 2 x sin x ? x cos x
2

B. x2 ? 4 y D. y 2 ? 4 x 或 x2 ? ?4 y B. x cos x D. 2 x cos x ? x sin x
2 2

3.一物体作直线运动,其运动方程为 s ? 3t ? t ,其中位移 s 单位为米,时间 t 的单位
2

为秒,那么该物体的初速度为 ( A、0 米/秒 B、—2 米/秒

) C、3 米/秒

D、3—2t 米/秒 )

2 4.已知 P( : 2x-3) ? 1, Q : x( x-3) ? 0 则 Q是P 的(

A. 必要不充分条件; C.充要条件 ;

B. 充分不必要条件 ; D.既不充分也不必要条件 )

5 函数 y = x3 + x 的递增区间是( A. (0,??) C. (??,??)

B. (??,1) D. (1,??)

6.函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的 图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内极值点有( )

A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 7. 有下列四个命题: ①“若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q ? 1 ,则 x ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题;
2

6 题图

其中真命题为( ) A.①② B.②③ 8.如果方程

C.①③

D.③④ )

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,那么实数 m 的取值范围是( | m | ?1 m ? 2
( B ) m ? 1或 m ? 2 ( D ) ?1 ? m ? 2

( A )m ? 2 ( C ) ? 1 ? m ? 1或 m ? 2 9. 已知椭圆 离为( A. 2

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距 25 16

) B. 3 C. 5 D.

7

10. 函数 y ? x 4 ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为( A. 72 B. 36 C. 12 D. 0



11.函数 f ( x) ? e x ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是( A. y ? 2e( x ? 1) B. y ? ex ? 1 C. y ? e( x ? 1)

) D. y ? x ? e

x2 y 2 4 12、已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为( 3 a b
5 A.3 5 5 B. 3 或4 5 C. 4 3 D. 2



永昌县第一高级中学 2012—2013 一 1 期末考试卷 高二数学 (文) 二卷(共 90 分) 座位号______

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13. 已知命题 p 记做: ?x ? R, sin x ? 1,则 ? p 记做: .

14. 椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为_____ 2 k ?8 9

_____。

15.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? b 在 x ? 1 时取得极值,则实数 a ? 16.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,作倾斜角为

? 的直线交抛物线于 P、Q 两点,O 为 4

坐标原点,则 ?POQ 的面积为_________。

三.解答题(17-18 题 10 分,19---21 题 12 分,22 题 14 分,共 70 分)
17.(10 分)已知椭圆的顶点与双曲线

13 y 2 x2 ? ? 1 的焦点重合,它们的离心率之和为 , 5 4 12

若椭圆的焦点在 x 轴上,求椭圆的方程.

2 18. (12 分)命题 p :关于 x 的不等式 -x ? 2ax-4<0 对于一切 x ? R 恒成立,命

题 q : ?x ?[0,1],a ? x2 +1,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值范围.

19. (12 分)求过定点 P(0,1)且与抛物线 y 2 ? 2 x 只有一个公共点的直线方程。

20. 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) , 右顶点为 D (2, 0) ,设点 A ?1, ? . (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程;

? 1? ? 2?

21. (12 分) (12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围。

22.(12 分) 如图, 由 y ? 0, x ? 8, y ? x 2 围城的曲边三角形, 在曲线 OB 弧上求一点 M , 使得过 M 所作的 y ? x 2 的切线 PQ 与 OA, AB 围城的三角形 PQA 的面积最大。 B Q M X O P A

Y

永昌县第一高级中学 2012—2013 一 1 期末考试卷答案

高二数学(文)

18(12 分)解:设 g ( x) ? - x2 ? 2ax-4 ,由于关于 x 的不等式 - x +2ax-4<0 对于一切 x ? R
2

恒 成 立 , 所 以 函 数 g ( x) 的 图 象 开 口 向 下 且 与 x 轴 没 有 交 点 , 故 ? ? 4a ? 16 ? 0 , ∴?2 ? a ? 2.
2

若 q 为真命题, a ? x +1 恒成立,即 a ? 1 . 由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p、q 一真一假.
2

?? 2 ? a ? 2 ∴1 ? a ? 2 ; ? a ?1 ?a ? ?2 或a ? 2 ②若 p 假 q 真,则 ? ∴ a ? ?2 ; ?a ? 1
①若 p 真 q 假,则 ? 综上,实数 a 的取值范围是{ a | 1 ? a ? 2 或 a ? ?2 }

20(12 分)解:(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1.

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0), x= 由

x0 ? 1 2


x0=2x-1

1 y0 ? 2 y= 2

y0=2y-

1 2

(2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , 由,点 P 在椭圆上,得 4 2
1 1 2 4 3 2 ' 2 21(12 分)解: (1) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, f ( x) ? 3x ? 2ax ? b 2 12 4 1 ' ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 由 f (? ) ? 3 9 3 2 ' 2 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 2 2 2 (??, ? ) ? ( ? ,1) 1 x (1, ??) 3 3 3 ? ? ? 0 0 f ' ( x)
2 2 ∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4( y ? ) ? 1

f ( x)

?

极大值

?

极小值

?

所 以 函 数 f ( x ) 的 递 增 区 间 是 (??, ? ) 与 (1, ??) , 递 减 区 间 是 ( ?

2 3

2 ,1) ; (2) 3

f ( x) ? x3 ?

1 2 2 2 22 x ? 2 x ? c, x ? [?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? ?c 2 3 3 27

为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c2 , x ?[?1, 2] 恒成立,则只需要 c2 ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2 。 22.(12 分) 解: 设 M ( x0 , y0 ) 则

PQ : y ? k ( x ? x0 ) ? y0

2 , y' ? 2x | x? x0 ? 2x0 y0 ? x0

即 k ? 2x0 令y?0 令x ?8

所以 y ? 2 x0 ( x ? x0 ) ? y0 则 x ? x0 ?

y0 ? 2 x0 2 x0

P(

x0 ,0 ) 2

2 则 y ? 16x0 ? x0

2 Q(8,16x0 ? x0 )

S ? S ?PAQ ?

x 1 3 1 2 2 ? x0 (8 ? 0 )(16x0 ? x0 ) ? 64 x0 ? 8 x0 4 2 2
3 2 x0 4 16 3

S ' ? 64 ? 16 x0 ?

令 S ' ? 0 ,则 x0 ? 16 (舍去)或 x 0 ? 即当 x 0 ?

16 4096 S max ? 时 3 27 16 2 256 16 256 y0 ? ( ) ? M( , ) 3 9 3 9


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