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第18讲 图解法


第十八讲

图解法

图形是数学研究的对象,也是数学思维和表达的工具。 在解答应用题时,如果用图形把题意表达出来,题中的数量关系就会具体而 形象。图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用,有利于尽快找到解题 思路。有时,作出了图形,答案便在图形中。 (一)示意图 示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。 小学数学中的示意图简单、直观、形象,使人容易理解图中的数量关系。 例 1 妈妈给兄弟二人每人 10 个苹果,哥哥吃了 8 个,弟弟吃了 5 个。谁剩 下的苹果多?多几个?(适于四年级程度) 解:作图 18-1。

哥哥吃了 8 个后,剩下苹果: 10-8=2(个) 弟弟吃了 5 个后,剩下苹果: 10-5=5(个) 弟弟剩下的苹果比哥哥的多: 5-2=3(个) 答:弟弟剩下的苹果多,比哥哥的多 3 个。 例 2 一桶煤油,倒出 40%,还剩 18 升。这桶煤油原来是多少升?(适于六 年级程度) 解:作图 18-2。

从图中可看出,倒出 40%后,还剩: 1-40%=60% 这 60%是 18 升所对应的百分率,所以这桶油原来的升数是: 18÷60%=30(升) 答略。 例 3 把 2 米长的竹竿直立在地面上,量得它的影长是 1.8 米,同时量得电 线杆的影长是 5.4 米。这根电线杆地面以上部分高多少米?(适于六年级程度) 解:根据题意画出如图 18-3(见下页)的示意图。 同一时间,杆长和影长成正比例。设电线杆地面以上部分的高是 x 米,得: 1.8∶5.4=2∶x

答略。 (二)线段图 线段图是以线段的长短表示数量的大小, 以线段间的关系反映数量间关系的 一种图形。在小学数学应用题教学中线段图是使用最多、最方便的一种图形。

例 1 王明有 15 块糖,李平的糖是王明的 3 倍。问李平的糖比王明的糖多多 少块?(适于三年级程度) 解:作图 18-4(见下页)。 从图 18-4 可看出, 把王明的 15 块糖看作 1 份数, 那么李平的糖就是 3 份数。 李平比王明多的份数是: 3-1=2(份) 李平的糖比王明的糖多: 15×2=30(块)

综合算式: 15×(3-1) =15×2 =30(块) 答略。 例 2 托尔斯泰是俄罗斯伟大作家,享年 82 岁。他在 19 世纪中度过的时间 比在 20 世纪中度过的时间多 62 年。 问托尔斯泰生于哪一年?去世于哪一年? (适 于四年级程度) 解:作图 18-5。

从图 18-5 可看出,他在 20 世纪度过的时间是: (82-62)÷2

=20÷2 =10(年) 由此看出,他死于 1910 年。他出生的时间是: 1910-82=1828(年) 答略。

解:作图 18-6。

综合算式:

答略。 (三)思路图 小学数学中的许多应用题,需要用综合法或分析法分析解答。如果把思维的 过程用文字图形表示出来,就有助于正确选择已知数量,提出中间问题,理清数 量关系,从而顺利解题。这种表示思维过程的图形就是思路图。 例题参见前面的分析法和综合法。 (四)正方形图 借助正方形图解应用题,就是以正方形的边长、面积表示应用题中的数量, 使应用题数量之间的关系具体而明显地呈现出来,从而达到便于解题的目的。 例 1 农民张成良,把自己承包的土地的一半种了玉

承包了多少公顷土地?(适于四年级程度) 解:根据题意作图 18-7。

所以,他承包的土地是: 2×8=16(公顷) 答略。

例 2 有大小两个正方形,其中大正方形的边长比小正方形的边长多 4 厘米, 面积比小正方形的面积大 96 平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘 米?(适于六年级程度) 解:求大、小正方形的面积,应知道大、小正方形的边长,但题中没有说, 也不好直接求出来。借助画图形的方法可轻易解决这个问题。 根据题意作图 18-8。

图中大正方形 ABCD 的面积比小正方形的面积大 96 平方厘米。这 96 平方厘 米的面积是由两个长方形 a 及比长方形还小的正方形 c 构成。从 96 平方厘米减 去正方形 c 的面积,再除以 2 就可求出长方形 a 的面积。 (96-4×4)÷2=40(平方厘米) 因为长方形 a 的宽是 4 厘米,所以长方形 a 的长是: 40÷4=10(厘米) 因为 10 厘米也是小正方形的边长,所以小正方形的面积是: 10×10=100(平方厘米) 大正方形的边长是: 4+10=14(厘米) 大正方形的面积是: 14×14=196(平方厘米) 答略。 (五)长方形图

借助长方形图解应用题,是以长方形的长表示一种数量,以长方形的宽表示 另一种数量,以长方形的面积表示这两种数量的积。它能把抽象的数量关系转化 为具体形象的面积来计算问题。 *例 1 甲、乙两名工人做机器零件,每天甲比乙多做 10 个。现在甲工作 15 天, 乙工作 12 天, 共做出 1500 个零件。 问甲、 乙两人每天各做多少个零件?(适 于五年级程度) 解:根据题意作图 18-9(见下页)。 图 18-9 中,以左边长方形的长表示甲工作 15 天,以左边长方形的宽表示甲 每天做多少个;以右边长方形的长表示乙工作 12 天,以右边长方形的宽表示乙 每天做多少个。

图中右上角那个长方形的宽表示甲每天比乙多做 10 个,所以,乙在 12 天中 比甲少做零件: 10×12=120(个) 图中全部阴影部分的面积表示甲、乙共做的零件 1500 个。 从图 18-9 可以看出,整个大长方形面积所表示的零件的个数是: 1500+120=1620(个) 这个长方形的长表示甲、乙共同工作的天数: 15+12=27(天) 因为大长方形的宽表示甲每天做零件的个数,所以甲每天做零件的个数是: 1620÷27=60(个) 乙每天做零件的个数是: 60-10=50(个) 答略。

* 例 2 某商店卖出苹果、鸭梨和桔子共 25 筐,其中鸭梨的筐数是桔子筐数 的 2 倍。苹果每筐卖 90 元,鸭梨每筐卖 72 元,桔子每筐卖 60 元,共卖得 1854 元。问卖出苹果、鸭梨和桔子各多少筐?(适于六年级程度) 解:根据题意作图 18-10。

图 18-10 中阴影部分表示,如果 25 筐都是苹果,则所造成的差价是: 90×25-1854=396(元) 每卖出 1 筐桔子、2 筐鸭梨、3 筐苹果的差价是: (90-72)×2+(90-60) =36+30 =66(元) 因此,桔子的筐数是: 396÷66=6(筐) 鸭梨的筐数是: 6×2=12(筐) 苹果的筐数是: 25-6-12=7(筐) 答略。 (六)条形图 条形图是把长方形的长画得比较长,把长方形的宽画得比较短的一种图形。 条形图一般以长方形的长表示数量。条形图可以画成竖的,也可以画成横的。 题

中不同的数量可用不同的阴影线或不同的颜色表示。题中的数量可写在长方形 内,也可写在长方形外面。 条形图比线段图更直观一些,在用来解某些应用题时效果要比线段图好。

吨后,两场所剩煤的数量相等。甲、乙两个煤场原来各存煤多少吨?(适于 六年级程度) 解:作图 18-11。

从图中可看出,从 875 吨中减去 75 吨后,甲煤场的煤就相当于乙煤场煤的 3 倍,两个煤场所存煤共分为 4 份。 其中一份是: (875-75)÷(3+1) =800÷4 =200(吨) 乙煤场原来的存煤吨数是: 200+75=275(吨) 甲煤场原来存煤的吨数是: 200×3=600(吨) 答略。

解:作图 18-12。

但是,实际上是运出 125 吨。这 140 吨比实际运出的多: 140-125=15(吨) 所以 15 吨所对应的分率是:

甲库原来的存粮吨数是: 420-180=240(吨) 答略。 *例 3 一组割草人要把大、小两块草地的草割掉,其中大块草地的面积是小 块草地面积的 2 倍。全体组员用半天的时间割大块草地的草。下午一半的组员仍 停留在大块草地上割,另一半到小块草地上割。到傍晚时,大块草地的草全部割

完,而小块草地还剩下一小块。这剩下的一小块,第二天一个人用一天的时间就 割完了。这组割草的一共有多少人?(适于六年级程度)

全体组员割一个上午后,一半的组员又割一个下午就把大块地的草割完, 这 就是说,要是用一半的组员单独割大块草地的草,就要用 3 个半天,而在

这剩下的一小块是大块草地的:

这就是说,6 个人一天可以把大块草地割完,一个人一天割大块地的

答略。

(七)圆形图 借助圆形图解应用题,是以圆的面积或周长表示题中的数量,并在圆周内、 外标上数字、符号,从而达到便于分析数量关系的目的。 例 1 甲、乙两个学生同时从同一起点沿着一个环形跑道相背而跑。甲每秒 钟跑 8 米,乙每秒钟跑 7 米,经过 20 秒钟两人相遇。求环形跑道的周长。(适 于五年级程度) 解:作图 18-14。

从图中可看出,甲、乙两人跑的路程的总和就是圆的周长。根据“速度和× 相遇时间=相遇路程”,可求出环形跑道的周长: (7+8)×20=300(米) 答略。

问这块土地有多少公倾?(适于六年级程度) 解:作图 18-15。

从图中可看出,第二天耕完这块土地的:

例 3 有三堆棋子,这三堆棋子所含棋子的个数一样多,且都只有黑、白两 色棋子。第一堆里的黑子与第二堆的白子一样多,第

棋子的几分之几?(适于六年级程度) 解:作图 18-16。

从图中可看出,把第一堆里的黑子与第二堆里的白子交换,则第一堆全是白 子,第二堆全是黑子。

因为第一堆与第二堆的棋子数相同,所以第一堆的白子数与第二堆的黑

所以,白子占全部棋子的:

*例 4 甲、乙两人同时从环形路的同一点出发,同向环行。甲每分钟走 70 米,乙每分钟走 46 米。环形路的长是 300 米。他们出发后,在 1 小时 20 分里相 会几次?到 1 小时 20 分时两人的最近距离是多少米?(适于五年级程度) 解:作图 18-17。

甲、乙二人 1 分钟的速度差是: 70-46=24(米) 由二人出发到第一次相会所需的时间是: 300÷24=12.5(分) 1 小时 20 分钟即为 80 分钟。80 分钟内包含几个 12.5 分钟,二人即相会几 次。80 分钟内包括 6 个 12.5 分钟,还多 5 分钟,即二人相会 6 次。 由于第六次相会后还走 5 分钟,所以甲乙之间相隔: 24×5=120(米) 此时,甲、乙之间还有一个距离是: 300-120=180(米) 180>120 米 答:在 1 小时 20 分钟里两人相会 6 次;到 1 小时 20 分钟时,两人的最近距 离是 120 米。

(八)染色图 在图中用不同的颜色表示不同的内容或不同的数量, 以利于解题的图形叫染 色图。染色图是解决数学题和智力题常用的一种图形。 *例 1 图 18-18 是某湖泊的平面图,图中的所有曲线都表示湖岸。某人从岸 边 A 点到 B 点至少要趟几次水?B 点是在水中还是在岸上?(适于高年级程度)

解:这个问题好像很难解答。但我们按“图中所有曲线都是表示湖岸”的已 知条件,将湖面染上色,湖岸部分就显示出来了,答案也就一目了然了(图 18-19)。

答:他至少要趟 3 次水才能达到 B 处,B 点在湖岸上。 * 例 2 如图 18-20,某展览馆有 36 个展室,每两个相邻展室之间均有门相 通。问你能否从图中入口进去,不重复地参观完每个展室后,再从出口处出来? (适于高年级程度)

解:作图 18-21。把图中 36 个方格相间地染上黑色。因入口处是白格,参 观时若依顺序将展室编号,那么进入第奇数号展室时,应是白格位置;进第偶数 号展室应是黑格。即应按白→黑→白→黑→……顺序交替参观。

参观者最后离开的是第 36 号展室,它是偶数,按上面的分析它应是黑格, 但图中实际为白色方格。这说明题中要求的参观方式是不可能实现的。 答略。 *例 3 将图 18-22 矩形 ABCD 的一边 AD 分成 6 小段,其中线段 1+线段 3+线 段 5=线段 2+线段 4+线段 6。连结对角线 BD,用红(图中用横线表示)、蓝(图 中用坚线表示)两色将图形分别染色。问图中染红色部分面积与染蓝色部分面积 哪个大?(适于高年级程度)

解:此题利用三角形、梯形面积公式可算出结果,但较麻烦。用染色的方法 解此题比较简捷。 先将图中 BD 线左下面的空白处染上黑色,用 S 、S 、S 分别表示染红、蓝、 黑三种颜色图形的面积(图 18-23)。
红 蓝 黑

从图 18-23 很容易看到:

另外,S +S 等于 3 个小矩形面积的和,而它恰好等于矩形 ABCD 面积的一 半,即:
蓝 黑

这就是说: S +S =S +S
红 黑 蓝 黑

从上面算式的两边同时减去 S ,得:


S =S




答:图中染红色部分的面积与染蓝色部分的面积一样大。 *例 4 图 18-24 的图形是从 4×4 的正方形纸上剪去两个 1×1 的小方纸片后 得到的。它们的面积都是 14。若把它们剪成 1×2 的小矩形,最多能剪几个?为 什么?(适于高年级程度)

解:图 18-24 的三个图形除了(1)可以剪出 7 个 1×2 的小矩形外, (2) 、 (3)不管怎么剪,至多都只能剪出 6 个来。原因是: 分别用黑白两色对图形(1)、(2)、(3)相间地涂色(图 18-25)。从 它们上面剪下来的每一个小矩形都由两个相邻的小方格组成, 这两个小方格上涂 有不同的颜色,如图 18-25 中

(4)。既然每个 1×2 的小矩形都由一个白色格和一个黑色格组成(因为三 个图形的面积都是 14 个方格,把它们剪成 1×2 的小矩形,照面积来算,似乎都 应剪出 7 个来),要想剪出 7 个小矩形,当然得有 7 个白格和 7 个黑格,但在图 18-25 中,只有图形(1)是这样的,图形(2)、(3)都有 8 个白格和 6 个黑 格。故它们只能剪出 6 个小矩形。 答略。

=3.2(公顷) 答略。


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