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3.1.1空间向量及其加减运算课件_图文

第三章
3.1 第1课时

空间向量与立体几何
空间向量及其运算 空间向量及其加减运算

1

复习回顾:平面向量
1.定义: 既有大小又有方向的量。 几何表示法:用有向线段表示

字母表示法: 用小写字母表示,或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量:长度相等且方向相同的向量
B A C D

平面中存在向量,空间中是否也有向量?
F3

F2

已知F1=2000N,

F1

F2=2000N,F3=2000N,

这三个力两两之间 的夹角都为600, 它们的合力的大小 为多少N?

这需要进一步来认识空间中的向量 ……

2、空间向量的加法和减法运算法则
回顾:平面向量的加、减法运算法则:

b

b
a
向量加法的平行四边形法则

a
向量加法的三角形法则

b

a
向量减法的三角形法则
4

空间向量的加减运算和平面有什么联系?
思考1:在平面中,一个向量经过平移后和原向量相等,在 空间向量中呢? 思考2:空间任意两个向量都可以平移成过空间任意一点的 两个向量吗? 思考3:空间两个向量的加减运算能否转化为平面内两个向 量的运算?

b
a

O

结论:空间任意两个向量的运算都
可转化为共面向量的运算.
5

空间向量的加减运算
? 平行四边形法则
b

? 三角形法则
a
a?b a ?b

b

a?b

b a

b a

a

6

推广: (1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即 A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? An?1 An ? A1 An
A1
An A2

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则这些向量的和为零向量,即

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ?

? An A1 ? 0
An A1

A2
7

3、空间向量的加法运算律
回顾:平面向量的加法运算律

⑴加法交换律:

a?b ? b?a

⑵加法结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
空间向量中 还成立吗?

思考:空间任意两个向量可都转化 为共面向量,那么空间任意三个向 量也都能转化为共面向量吗?

8

3、空间向量的加法运算律

⑴加法交换律:

空间向量中显然成立

a?b ? b?a
⑵加法结合律:(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

a

a

b
b

+

c c
9

c

b

例 1. 化简下列各式: ⑴ AB ? BC ? CA ; ⑵ AB ? MB ? BO ? OM ; ⑶ AB ? AC ? BD ? CD; ⑷ OA ? OD ? DC .

?1? 0

? 2 ? AB

? 3? 0

? 4 ? CA

10

变式 :化简下列各式: ⑸ OA ? OC ? BO ? CO ; ⑹ AB ? AD ? DC ; ⑺ NQ ? QP ? MN ? MP .

? 5? BA

? 6 ? CB

?7? 0

11

例题
例2 已知平行六面体ABCD ? A ' B ' C ' D ',化简下 列向量表达式,并标出化简结果的向量:

⑴AB ? BC; ⑵AB ? AD ? AA'; 解:⑴AB ? BC ? AC ⑵AB ? AD ? AA' ? AC ? AA'   ? AC ? CC' ? AC'
A’

D’
B’

C’

D
A B

C

变式 1 :在上图中,用 AB, AD , AA ' 表示 A?C , BD ? 和 DB? .
D’

C’

A’

B’

D

C

A

B
13

变式2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C
? AB1 ? B1C1 ? C1C ? AC ? x ? 1.
A A1 D1 B1 C1

D B

C

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

变式2 :已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
(2) 2 AD1 ? BD1

? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? ( AD1 ? D1B) ? AD1 ? AB ? AC1
A1 D1 B1 C1

? x ? 1.
A

D B

C

3.1.2 空间向量的数乘运算

一、 空间向量的数乘运算定义:
与平面向量一样,实数?与空间向量a的积仍然是 一个向量,记作? a,它的长度和方向规定如下:

? ? (1) ?a ? ? a (2) 当? ? 0时, ? a的方向与a的方向相同;
当? ? 0时, ? a的方向与a的方向相反;

? ? ? ? 特别地, 当? ? 0或a ? 0时, ?a ? 0 .

以上运算称为空间向量的数乘运算.
17

(4)空间共线向量定理:

对空间任意两个向量

a, b(b ? 0),

a // b(b ? 0) ? 有且只有一个实数 ? , 使 a ? ?b
思考:这个定理有什么作用?

1、判定两个向量是否共线

2、判定三点是否共线

3.1.3 空间向量的数量积

回顾:平面向量数量积定义:
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为 θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的数 量积(或内积),记作a·b.

a· b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。

类似地,空间向量是否也有相应的数量积运算 呢?
20

1.两个空间向量的夹角的定义: 如图 , 已知两个非零向量 a 、 b ,在空间任取一点
O , 作 OA ? a , OB ? b , 则角 ?AOB 叫做向量 a 与

b 的夹角,记作: a , b . ?起点相同?

⑴范围: 0 ≤ ? a, b? ≤?

a

a b b

A B

? a, b? =0 时, a 与 b 同向;

? a, b? =π 时, a 与 b 反向
⑵ ? a, b?=? b, a?
⑶如果 ? a , b? ?

?
2

,则称 a 与 b 垂直,记为 a ? b

2.两个空间向量的数量积定义 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a、 b , 则
a b cos? a , b? 叫做 a 、b 的数量积,记作 a ? b .

即 a ? b ? a b cos? a , b? .
注:①两个向量的数量积是数量,而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.

3.两个空间向量数量积的性质 显然,对于非零向量 a 、 b , e 是单位向 量有下列性质:
① a ? e ? a cos a , e ; ②a ? b ? a?b ? 0; ③ a ?a a? a 也就是说 a ?
2
?2

a .

2

注: 性质② 是证明两向量垂直的依据; 性质③ 实现了向量与向量模之间的转换;

例2.在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直(三垂线定理)
PA 分别是平面 ? 的垂线、 已知:如图, PO 、 斜线, AO 是 PA 在平面 ? 内的射影, l ? ? ,且 l ? OA , 求证: l ? PA

分析: 用向量来证明两直线 垂直, 只需证明两直线的方 向向量的数量积为零即可!

?P
?
O?

?A

l

例2.在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直(三垂线定理) PA 分别是平面 ? 的垂线、 已知:如图, PO 、 斜线, AO 是 PA 在平面 ? 内的射影, l ? ? ,且 l ? OA , 求证: l ? PA
证明:取直线l的方向向量 a , 同时取向量 PO , OA
? ? ?

? l ? OA,? a? OA ? 0

?

?

?P ?A
l

? PO ? ? , 且l ? ? ,?l ? PO

? a ? PO ? 0
? ? ?

?

?

?

O?

a

? ? ? ? ? ? ? ? 又因为a? PA ? a? ? PO? OA? ? a? PO? a? OA ? 0 ? ? 所以,l ? PA
25

BC ? 3 , CD ? 3 , 4.如图, 在空间四边形 ABCD 中,AB ? 2 , BD ? 2 3 ,

?ABD ? 30 , ?ABC ? 60 ,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值

王新敞
奎屯

新疆

1 2
A

B
D

C

26

3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示

一、空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、 b 、c 不共面,那么对于空间任一向 量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组

? x, y, z?

使

p ? xa ? yb ? zc .

{a, b, c} 叫做空间的一个基底

a, b, c 都叫做基向量

如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量,对空 间任一个向量p,存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk.我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k 上的分向量。
z P y

k O
i x

j

Q

二、空间直角坐标系

正交基底:空间的一个基底的三个 基向量互相垂直。

c

单位正交基底:如果空间的一个基底的三 个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用 {i, j, k}表示

p
b

a

二、空间直角坐标系 在空间选定一点 O 和一个单位正交 ? ? ? j , k ? ,以点O为原点,分别 基底 ?i , ? ? ? 以 i , j , k 的正方向建立三条数轴: x轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空 间直角坐标系O—xyz.

三、空间向量的正交分解及其坐标表示
由空间向量基本定理,对于空 ? 间任一向量 p 存在唯一的有序 实数组(x,y, z)使
z

? ? ? ? p ? xi ? yj ? zk

P k i x O j

P

? 记作 p =(x,y,z)

y P′

? 1 .已知 a , b , c 是不共面的三个向量,则能 构成一个基底的一组向量是( ) A.2a,a-b,a+2b B.2b,b-a,b+2a C .a,2b,b-c D.c,a+c,a-c

练习 2 ' ' ' ' 已知ABC D? A B C D 是棱长为2的立方体

' E、F分别是BB 和DC的中点,建立如图 所示的空间直角坐标系 ,试写出图中各点 z 的坐标。 ·
D’ C’ B’ F A
x

A’

E

D B

C

y

例2、如图,M,N分别是四面体OABC的边OA, BC的中点,P,Q是MN的三等分点。用向量 OA, OB, OC 表示 OP 和 OQ 。 O
解 : OP ? OM ? MP ? ? 1 2 OA ? MN 2 3

M A Q P N C

1 2 1 OA ? (ON ? OA) 2 3 2 1 1 1 ? OA ? OB ? OC 6 3 3

1 OQ ? OM ? MQ ? OA ? 2 1 1 1 ? OA ? (ON ? OA) ? 2 3 2 1 1 1 ? OA ? OB ? OC 3 6 6

1 MN B 3 1 1 OA ? (OB ? OC ) 3 6

3.1.5空间向量运算的 坐标表示

一、向量的直角坐标运算
设a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 )则 a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

?a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ),(? ? R) ;
a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ;
a // b ? a ? ? b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ;

a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 ;

二、距离与夹角
1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式

| a | ? a ? a ? a ? a2 ? a3
2 2 1 2

2

| b | ? b ? b ? b ? b2 ? b3
2 2 1 2

2

注意:此公式的几何意义是表示长方体 的对角线的长度。

2.两个向量夹角公式
a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 a ?b ? ; cos ? a , b ?? | a |?| b | a12 ? a2 2 ? a32 ? b12 ? b2 2 ? b32
注意:

(1)当 cos ? a , b ?? 1 时, a 与 b 同向;

a 与 b 反向; (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时,
(3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1 及 ?1 ? cos ? a , b ?? 0

时,夹角在什么范围内?

(3)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、
B( x2 , y2 , z2 ),则

AB ? ?| AB |?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )
2 2 2 ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) AB AB ? 2 1 2 1 2 1

d AB ?| AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2

2

4.设 A ? ( x1 , y1 , z1 ), B ? ( x 2 , y 2 , z 2 )
则 AB = , AB ? . .

AB的中点M的坐标为

例1.设 a =(1,5,-1),b =(-2,3,5). (1)若( k a + b )∥(a -3 b ),求 k ;
(2)若(k a + b)⊥( a -3 b ),求 k .

例 3 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E ,F 分别是 BB1 ,D1 B1 中点,求证: EF ? DA1
证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz , 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) , 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) ,

所以 DA1 ? (1, 0 , 1) 1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1

练习1: 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M , N 分 别是 AB, PC 的中点,并且 PA ? AD ,求证: MN ? 平面PDC 证明: PA ? AD ? AB, 且PA ? 平面AC , AD ? AB

?可设DA ? i, AB ? j , AP ? k , PA ? 1 分别以 i, j , k 为坐标向量建立空间直角坐标系 A ? xyz 则
z A(0,0,0), B(0,1,0), C(?1,1,0), D(?1,0,0), P P(0, 0,1) M (0, 1 , 0), N (? 1 , 1 , 1 ) 2 2 2 2
N
D
y

C

1 1 ? MN ? (? , 0, ) PD ? (?1,0, ?1) 2 2

1 1 ? MN ? PD ? (? , 0, ) ? (?1, 0, ?1) ? 0 ? MN ? PD 21 21 ? MN ? DC ? (? , 0, ) ? (0,1, 0) ? 0 ? MN ? DC 2 2
又 PD ? DC ? D ? MN ? 平面PDC

DC ? (0,1,0)

A

x

M

B

例2

B1 E1 ? 如图, 在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,
A1 B1 ,求 BE1 4
C1 E1 B1

? D1 F1 ?

z

与 DF1 所成的角的余弦值.
解:设正方体的棱长为1,如图建 立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

D1 A1

F1

? ? D(0 , 0 , 0) , F1 ? 0 , ,1 ? . 4 ? ? D y C O 1 ? ? 3 ? ? BE1 ? ? 1 , , 1 ? ? (1 , 1 , 0) ? ? 0 , ? , 1 ? , 4 ? ? 4 ? ? A B 15 x ? 1 ? ? 1? 1 ? 1 ? DF1 ?? 0 , ,1 ?? (0 , 0 , 0)? ? 0 , ,1 ? . BE1 DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? , 16 ? 4? 4 ? 4 ? ? 4 ? 15 15 17 17 ? cos ? BE , DF ?? BE1 DF1 ? 16 ? . | BE1 |? , | DF1 |? . 1 1 | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 4 4 ? 4 4

? 3 ? B(1 , 1 , 0) , E1 ? 1 , , 1 ? , ?1 4 ?


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