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088588.com:2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1课件:第三章 圆锥曲线与方程 1.1_图文

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阶 段 1

阶 段 3

§ 1
阶 段 2

椭圆
学 业 分 层 测 评

1.1

椭圆及其标准方程

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1.了解椭圆的实际背景,理解椭圆、焦点、焦距的定义.(重点) 2.掌握、推导椭圆标准方程的过程.(难点) 3.会求简单的椭圆的标准方程.(易混点)

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[基础· 初探] 教材整理1 椭圆的定义 阅读教材P62上半部分,完成下列问题. 平面内到 两个定点 F1,F2的 距离之和 等于常数 (大于|F1F2|)的点的集合叫作 椭圆,这

两个定点

F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点F1,F2间的 距离 叫作

椭圆的焦距.

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平面内有一个动点M及两定点A,B.设p:|MA|+|MB|为定值,q:点M的轨迹 是以A,B为焦点的椭圆.那么( A.p是q的充分不必要条件 B.p是q的必要不充分条件 C.p是q的充要条件 D.p既不是q的充分条件,又不是q的必要条件 )

【解析】 若|MA|+|MB|为定值,只有定值>|AB|时,点M轨迹才是椭圆.故 p为q的必要不充分条件. 【答案】 B
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教材整理2 椭圆的标准方程 阅读教材P62下半部分,完成下列问题.
焦点在x轴上 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) 焦点在y轴上 y2 x2 a2+b2=1(a>b>0)

标准方程

图像

焦点坐标 a,b,c的关系

(-c,0),(c,0) a2=b2+c2

(0,-c),(0,c)

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1.a=5,c=3,焦点在x轴上的椭圆标准方程为________.【导学号: 32550063】
2 2 x y 【解析】 ∵焦点在x轴上,b2=a2-c2=16,∴标准方程为25+16=1.

x2 y2 【答案】 25+16=1

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2.求方程4x2+9y2=1的焦点坐标. 2 2 x y 【解】 4x2+9y2=1可化为 1 + 1 =1, 4 9
1 1 2 ∴a =4,b =9,
2

1 1 5 ∴c =a -b =4-9=36,
2 2 2

± 5 ∴c = 6 ,
? ∴焦点坐标为? ? ? ? ? ? 5 5 ? ? ? , , 0 - , 0 ? ? ? 6 6 ? ? ?

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[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 2:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 3:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________

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[小组合作型]

椭圆定义及应用

x2 y2 (1)(2016· 福州高二检测)椭圆 25 + 9 =1上一点A到焦点F的距离为2, B为AF的中点,O为坐标原点,则|OB|的值为( A.8 C.2 B.4 3 D.2
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)

【自主解答】 设F′为椭圆的另一焦点则|AF|+|AF′|=2a=10, ∴|AF′|=8,∵O,B分别为FF′,AF的中点. 1 ∴|OB|=2|AF′|=4.
【答案】 B

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(2)平面内一动点M到两定点F1,F2的距离之和为常数2a,则点M的轨迹为 ( A.椭圆 C.线段 B.圆 D.椭圆或线段或无轨迹 )

【自主解答】 要注意2a与|F1F2|的大小关系对点M的轨迹形状的影响. 当2a>|F1F2|时,轨迹为椭圆;当2a=|F1F2|时,轨迹为线段;当2a<|F1F2| 时,轨迹不存在.
【答案】 D
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x2 y2 (3)已知椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0),F1,F2是它的焦点,过F1的直线AB与椭圆 交于A、B两点,则△ABF2的周长为________.

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【自主解答】

∵|AF1|+|AF2|=2a,

|BF1|+|BF2|=2a, ∴△ABF2的周长 =|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=2a+2a=4a.

【答案】 4a

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1.到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点间的距离的点的轨迹是椭 圆,此时这个常数为2a,两定点的距离为2c. 2.由椭圆定义可知,椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值,所 以椭圆定义有以下应用: (1)实现两个焦点半径之间的相互转化; (2)将两个焦点半径之和看成一个整体,求解定值问题.

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求椭圆的标准方程

写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点坐标为(-4,0),(4,0),并且过点(- 5, 3); y2 x 2 (2)过点( 3,- 5),且与椭圆25+ 9 =1有相同的焦点.
【精彩点拨】 (1)设出相应焦点位置的椭圆方程,利用关系式b2=a2-c2及 点(- 5 , 3)在椭圆上求待定系数;(2)由与已知椭圆共焦点可设出椭圆方程,再 根据条件求待定系数.
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【自主解答】

x2 y2 (1)依题意知椭圆的焦点在x轴上,可设它的标准方程为 a2 + b2 ①. ②.

=1(a>b>0).由已知得c=4,且b2=a2-c2,所以a2-b2=16

?- 5?2 ? 3?2 5 3 因为点(- 5, 3)在椭圆上,所以 a2 + b2 =1,即a2+b2=1
2 2 x y 由①②得a2=20,b2=4.因此,所求椭圆的标准方程为20+ 4 =1.

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y2 x2 (2)因为所求椭圆与椭圆 25 + 9 =1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c2= y2 x2 25-9=16.设它的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16 ①. ②.

?- 5?2 ? 3?2 5 3 又点( 3,- 5)在椭圆上,所以 a2 + b2 =1,即a2+b2=1
2 2 y x 由①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为20+ 4 =1.

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1.椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A、B是不等的正常 数. 2.运用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤: (1)定位:确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上,从而设出相应的标准方程的形 式. (2)定量:根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组,求出a2、b2,从而写出 椭圆的标准方程.

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[再练一题] 1.(1)两个焦点坐标分别是(0,-4)、(0,4),椭圆上一点P到两焦点的距离之 和等于20,求椭圆的方程.
?5 3? (2)两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0)且过?2,-2?,求椭圆的方程. ? ?

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【解】 >0)

y2 x2 (1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为 a2 + b2 =1(a>b

∵2a=20,2c=8,∴a=10,c=4, ∴b2=a2-c2=102-42=84, y2 x2 所以所求椭圆标准方程为100+84=1.

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x2 y2 (2)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 a2 + b2 =1(a>b>0),由 椭圆的定义知, 2a=
? 3? ?5 ? 2 ?- ? +? +2?2+ ? 2? ?2 ? ? 3? ?5 ? 2 ?- ? +? -2?2 ? 2? ?2 ?

3 1 =2 10+2 10=2 10,
2 2 x y ∴a= 10,又c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6,所以所求标准方程为10+ 6 =

1.
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椭圆标准方程的简单应用

x2 y2 (1)已知方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的 5-2m |m|-1 取值范围为________. (2)已知椭圆方程为kx2+3y2-6k=0,焦距为4,则k的值为________.

y2 x2 【精彩点拨】 (1)因为焦点在y轴上,所以椭圆方程与 a2 + b2 =1(a>b>0)相 对应;(2)将方程化为椭圆的标准方程,然后利用a,b,c三者之间的关系进行求 解,但应考虑是否需要分类讨论.
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【自主解答】

y2 x2 (1)∵椭圆焦点在y轴上,∴其标准方程应为 a2 + b2 =1(a>b>

5 5 0),∴|m|-1>5-2m>0,解得2<m<2,∴m的取值范围为2<m<2.
2 2 x y (2)将方程kx2+3y2-6k=0化为 6 +2k=1.

∵焦距为4,∴2c=4,即c=2. 当焦点在x轴上时,6-2k=4,解得k=1; 当焦点在y轴上时,2k-6=4,解得k=5. 综上,k=1或5.

【答案】

? 5? (1)?2,2? ? ?

(2)1或5
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1.判断焦点所在坐标轴其依据是看x2项,y2项的分母哪个大,焦点在分母大 的坐标轴上. x2 y2 2.对于方程m+ n =1(m>0,n>0),当m>n>0时,方程表示焦点在x轴上的 椭圆;当n>m>0时,方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地,当n=m>0时,方 程表示圆心在原点的圆.

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[再练一题] x2 y2 2.将本例(1)中的方程改为:“ + =1”其他不变. 5-2m m-1

【解析】 ∵焦点在y轴上, ∴m-1>5-2m>0, 5 ∴2<m<2.
【答案】
? 5? ?2, ? 2? ?

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与椭圆有关的轨迹问题
已知圆B:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),C为圆B上任意一点,求AC的 垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程.

【精彩点拨】 P为AC垂直平分线上的点,则|PA|=|PC|,而BC为圆的半径, 从而4=|PA|+|PB|,可得点P轨迹为以A,B为焦点的椭圆.

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【自主解答】 ∴|AP|=|CP|.

如图所示,连接AP,∵l垂直平分AC,

∴|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4, ∴P点的轨迹是以A,B为焦点的椭圆. ∵2a=4,2c=|AB|=2, ∴a=2,c=1,b2=a2-c2=3. x2 y2 ∴点P的轨迹方程为 4 + 3 =1.

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求解有关椭圆的轨迹问题,一般有如下两种思路: (1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式,然后化简等式得到对应的轨迹 方程; (2)首先分析几何图形所揭示的几何关系,对比椭圆的定义,然后设出对应椭 圆的标准方程,求出其中a,b的值,得到标准方程.

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[再练一题] 3.已知 B、C 是两个定点,|BC|=10,且△ABC 的周长等于 24,求顶点 A 的 轨迹方程. 【导学号:32550064】

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【解】

由已知|AB|+|AC|+|BC|=24,|BC|=10,得|AB|+|AC|=14,由定义

可知,顶点A的轨迹是椭圆,且2c=10,2a=14,即c=5,a=7,所以b2=a2-c2= 24. 建立如图所示的平面直角坐标系,使x轴经过B、C两点,原点O为BC的中 点,

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当点A在直线BC上,即y=0时,A、B、C三点不能构成三角形,所以点A的轨 x2 y 2 迹方程是49+24=1(y≠0).

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[探究共研型]

椭圆的标准方程

探究1 同一椭圆在不同坐标系下的方程相同吗?

【提示】 同一椭圆在不同坐标系下的方程是不同的,只有当焦点在坐标轴 上,且以线段|F1F2|的中点为坐标原点时,对应的椭圆的方程才是标准方程,我们 只研究标准方程.

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探究2 在椭圆标准方程的推导过程中,为什么令b2=a2-c2,b>0?
【提示】 令b2=a2-c2可以使方程变得简单整齐,在今后讨论椭圆的几何性 质时,b还有明确的几何意义,因此设b>0.

x2 y2 y2 x2 探究3 椭圆a2+b2=1和a2+b2=1(a>b>0)有何异同点?

【提示】 因为椭圆标准方程中的两个参数a,b确定了椭圆的形状、大小, x2 y 2 y2 x2 所以椭圆a2+b2=1和a2 + b2 =1(a>b>0)的形状、大小相同,且焦距相等,都有c2 =a2-b2.但这两个椭圆的位置不同,焦点坐标也不同.
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探究4 如何求椭圆的标准方程

【提示】 (1)定义法:即根据椭圆的定义,判断出轨迹是椭圆,然后写出其 方程. (2)待定系数法,即设出椭圆的标准方程,再依据条件确定a2、b2的值,可归 纳为“先定型,再定量”,其一般步骤是:

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①定类型:根据条件判断焦点在x轴上还是在y轴上,还是两种情况都有可 能,并设椭圆方程为 x2 y2 y2 x2 2 2 2 + 2 =1(a>b>0)或 2 + 2 =1(a>b>0);也可设椭圆方程为mx +ny =1(m a b a b >0,n>0,m≠n). ②确定未知量:根据已知条件列出关于a、b、c的方程组,解方程组,可得 a、b的值,然后代入所设方程即可.

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写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)a+b=8,c=4; (2)经过点A( 3,-2)和点B(-2 3,1).
【精彩点拨】 求椭圆的标准方程时,要先判断焦点位置,确定椭圆标准方 程的形式,最后由条件确定a和b的值.

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【自主解答】
? ?a+b=8, ?? ? ?a-b=2

? ?a+b=8, (1)? 2 2 ? a - b =16 ? ? ?a=5, ?? ? ?b=3.

? ?a+b=8, ?? ? ??a+b??a-b?=16

x2 y2 y2 x2 ∴椭圆的标准方程为25+ 9 =1或25+ 9 =1.

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x 2 y2 (2)法一:①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0).
2 2 ? - 2 ? ? ? 3 ? ? 2 + 2 =1, b ? a 依题意有? 2 ? - 2 3 ? 1 ? +b2=1, 2 ? a ? 2 ? a ? =15, 解得? 2 ? ?b =5.

x2 y2 所以所求椭圆的方程为15+ 5 =1.
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y2 x2 ②当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为 a2 + b2 =1(a>b>0).依题意有
2 2 ? - 2 ? ? ? 3 ? ? 2 + 2 =1, b ? a ? 2 ? - 2 3 ? ?1 2+ ? b2 =1, ?a 2 ? ?a =5, 解得? 2 ? ?b =15.

舍去,

x2 y2 故所求椭圆的方程为15+ 5 =1.

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法二:设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n). 1 ? m=15, ? ? 3 m + 4 n = 1 , ? 依题意有? 解得? ? ?12m+n=1, ?n=1. ? 5 x2 y2 所以所求椭圆的方程为15+ 5 =1.

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椭圆的焦点三角形

探究 怎样解有关椭圆中的焦点三角形问题
【提示】 (1)椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的三角形称为焦点三

角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正 弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积,结合椭圆定义,建立关于 |PF1|(或|PF2|)的方程求得|PF1|(或|PF2|)的长度;有时把|PF1|· |PF2|看成一个整体,运 用公式|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|· |PF2|及余弦定理求出|PF1|· |PF2|,而无 需单独求出,这样可以减少运算量. (2)焦点三角形的周长等于2a+2c.
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x2 y2 如图311所示,已知椭圆的方程为 4 + 3 =1,若点P在椭圆上, F1,F2为椭圆的两个焦点,且∠PF1F2=120° ,求△PF1F2的面积.

图311

【精彩点拨】 因为∠PF1F2=120° ,|F1F2|=2c,所以要求S△PF1F2,只要 求|PF1|即可.可由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,并结合余弦定理求解.
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【自主解答】

由已知 a=2,b= 3,

所以 c= a2-b2=1,|F1F2|=2c=2, 在△PF1F2 中,由余弦定理得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|· |F1F2|· cos 120° , 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.① 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|.②

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6 将②代入①解得|PF1|=5, 1 1 6 3 3 3 ∴S△PF1F2=2|PF1|· |F1F2|· sin 120° =2×5×2× 2 = 5 . 3 因此所求△PF1F2的面积是5 3.

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[构建· 体系]

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1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)椭圆的两种标准方程中,虽然焦点位置不同,但都有a2=b2+c2.( (2)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.( (3)椭圆的特殊形式是圆.( ) ) )

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【解析】 (1)由定义知a2=b2+c2. (2)常数大于两定点距离的点的集合是椭圆; 常数等于两定点距离的点的集合是线段; 常数小于两定点距离的点的集合不存在. (3)椭圆标准方程中a≠b,不可能是圆.
【答案】 (1)√ (2)× (3)×

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x2 y2 2.已知椭圆 16 + 7 =1上一点P,它到左焦点F1的距离为2,则它到右焦点的 距离为( A.4 C.30 ) B.6 D. 23

【解析】 由定义|PF1|+|PF2|=8,知|PF2|=6. 【答案】 B

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x2 y2 3.若方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 25-m m+9 ( )

【导学号:32550065】 A.-9<m<25 C.16<m<25 B.8<m<25

D.m>8 ?25-m>0, ? 【解析】 依题意有 ?m+9>0, 解得8<m<25,即实数m的取值范 ?m+9>25-m, ?

围是8<m<25.
【答案】 B
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x2 y2 4.已知椭圆 49 + 24 =1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角,则 |PF1|· |PF2|=________.

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【解析】

依题意a=7,b=2 6,c= 49-24=5,|F1F2|=2c=10,

由于PF1⊥PF2, 所以由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2=100. 又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=14, 所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|· |PF2|=100, 即196-2|PF1|· |PF2|=100. 解得|PF1|· |PF2|=48.

【答案】 48
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5.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在y轴上,且过点(0,2)和(1,0);
? (2)已知椭圆E的两焦点分别为(-1,0),(1,0),且经过点? ?1, ?

2? ? . 2? ?

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y2 x2 【解】 (1)椭圆的焦点在y轴上,设其标准方程为 a2 + b2 =1(a>b>0).又椭 圆过点(0,2)和(1,0), ?4 0 ?a2+b2=1, ∴? ? 02+ 12=1. ?a b
2 ? a ? =4, 解得? 2 ? ?b =1.

y2 2 ∴椭圆的标准方程为 4 +x =1;

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x2 y2 (2)设椭圆E的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 由题意知c=1,2a= 2
2

? +? ? ?

2 2? ?2 +2, ? 2?

2 x ∴a= 2,b= a2-c2=1,椭圆E的方程为 2 +y2=1.

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我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

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学业分层测评(十三)

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