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唐山市2013—2014学年度高三年级第三次模拟考试理科数学试题及答案_图文

唐山市 2013—2014 学年度高三年级第三次模拟考试 理科数学参考答案 一、选择题: A 卷:CBDAA CBCBA B 卷: BCDAA BCDBA 二、填空题: (13)x-y-2=0 sin α+sin β α+β (15) =tan cos α+cos β 2 三、解答题: (17)解: DB AD (14)x2 +(y-2)2 =3 3 (16) 2 BDsin 60? 3 (Ⅰ)在△BDE 中,由正弦定理得 DE = = , sin(120?-θ) 2sin(60?+θ) ADsin 60? 3 在△ADF 中,由正弦定理得 DF = = . ?4 分 sin(30?+θ) 2sin(30?+θ) sin(60?+θ) 3 3 由 tan ∠DEF = ,得 = ,整理得 tan θ= 3, 2 sin(30?+θ) 2 所以 θ=60?. ?6 分 1 3 3 (Ⅱ)S= DE ·DF = = 2 8sin(60?+θ)sin(30?+θ) 2( 3cos θ+sin θ)(cos θ+ 3sin θ) 3 3 = = . ?10 分 2 2 2[ 3(cos θ+sin θ)+4sin θcos θ] 2( 3+2sin 2θ) 6-3 3 3 当 θ=45?时,S 取最小值 = . ?12 分 2 2( 3+2) (18)解: (Ⅰ)因为平面 A 1ACC1 ⊥平面 ABC,AC⊥BC,所以 BC⊥平面 A 1ACC1 , 所以 A 1A ⊥BC. 因为 A 1B ⊥C1 C,A 1A ∥C1 C,所以 A 1A ⊥A1 B , 所以 A 1A ⊥平面 A 1 BC,所以 A 1A ⊥A1 C. ?5 分 z A1 B1 C1 x A y B C (Ⅱ)建立如图所示的坐标系 C-xyz. 设 AC=BC=2,因为 A 1 A =A 1 C, 则 A (2,0,0),B (0,2,0),A 1 (1,0,1),C (0,0,0). → → CB =(0,2,0),→ CA =(1,0,1),A B =→ AB =(-2,2,0). 1 1 1 设 n1 =(a,b,c)为面 BA 1 C 的一个法向量,则 n1 ·→ CB =n1 ·→ CA 1 =0, ?2b=0, 则? 取 n1 =(1,0,-1). ?a+c=0, 同理,面 A 1 CB 1 的一个法向量为 n2 =(1,1,-1). ?9 分 n 1 ·n 2 6 所以 cos ?n1 ,n2 ?= = , |n1 ||n2 | 3 6 故二面角 B -A1 C-B 1 的余弦值为 . ?12 分 3 (19)解: (Ⅰ)记事件: “一顾客购买一件饮品获得 i 等奖”为 A i ,i=1,2,则 3 6 1 4A 4 P (A 1 )= 3 = ,P (A 2 )= 3 3 = , 6 36 6 36 则一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率为 5 P (A 1 +A2 )=P (A 1 )+P (A 2 )= . ?4 分 36 故一顾客一次购买两件饮品,至少有一件获得奖励的概率 5 2 335 p=1- 1- = . ?6 分 36 1296 ( ) x (Ⅱ)设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为 X 元,则 X 的可能取值为 x, ,0. 2 1 x 4 x 2x x 由(Ⅰ)得 P (X =x)= ,P X = = ,E (x)= + = . ?9 分 36 2 36 36 36 12 该商场每天销售这种饮品所得平均利润 x x 1 Y=y[(36-20)-E (x)]= +24 16- =- (x-48)2 +432. 4 12 48 当 x=48 时,Y 最大.故 x 设定为 48(元)为最佳. ?12 分 (20)解: p p (Ⅰ)抛物线 C 的准线 x=- ,依题意 M 4- ,4 , 2 2 p 2 则 4 =2p 4- ,解得 p=4. 2 2 故抛物线 C 的方程为 y =8x,点 M 的坐标为(2,4), ?3 分 2 y1 y2 (Ⅱ)设 A ,y1 ,B 2 ,y2 . 8 8 y1 -4 8 8 直线 MA 的斜率 k 1 = 2 = ,同理直线 MB 的斜率 k2 = . y1 y1 +4 y2 +4 -2 8 8 8 由题设有 + =0,整理得 y1 +y2 =-8. y1 +4 y2 +4 y1 -y2 8 直线 AB 的斜率 k = 2 2 = =-1. ?6 分 y1 y2 y1 +y2 - 8 8 设直线 AB 的方程为 y=-x+b. 由点 M 在直线 AB 的上方得 4>-2+b,则 b<6. 2 ?y =8x, 由? 得 y2 +8y-8b=0. ?y=-x+b 由 Δ=64+32b>0,得 b>-2.于是-2<b<6. ?9 分 2 |y1 -y2 |= (y1 +y2 ) -4y1 y2=4 2b+4, ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 于是|AB |= 2|y1 -y2 |=8 b+2. 6-b 点 M 到直线 AB 的距离 d= ,则△MAB 的面积 2 1 S= |AB |·d=2 2(b+2)(6-b)2 . 2 设 f (b)=(b+2)(6-b)2 ,则 f ? (b)=(6-b)(2-3b). 2 2 当 b∈ -2, 时,f ?(x)>0;当 b∈ ,6 时,f ?(x)<0. 3 3 ( ) ( ) 当 b= 2 128 3 时,f (b)最大,从而 S 取得最大值 . 3 9 ?12 分 (21)解: (Ⅰ)h (x)=f (x)-g (x)=ex-1-x,h ? (x)=ex-1. 当 x∈(-∞,0)时,h ? (x)<0,h (x)单调递减; 当 x∈(0,+∞)时,h ? (x)>0,h (x)单调递增. 当 x=0 时,h (x)取最小值 h (0)=

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