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四川省成都石室中学2014届高三上学期“一诊”模拟数学(文)试题 Word版含答案

石室中学高 2014 届 2013—2014 学年度上期“一诊”模拟数学(文科)试题
1.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {a, a } 则使 M∩N=N 成立的 a 的值是(
2



A.1 2.复数 1 ?

B.0

C.-1

D.1 或-1 )

1 (i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( i3
B. (1, ?1) C. ( ?1,1) D. (?1, ?1) ) D.

A. (1,1)

3. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2 B. 1 C.

2 3

1 3


? x ? y ? 0, ? 4.若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 2x ? y 的最大值为( ?0 ? x ? 3, ?
A. 9 5.函数 y ? B. 3 C. 0 )

D. ?3

x ln | x | 的图像可能是( | x|

6.下列说法中正确的是(



A.“ x ? 5 ”是“ x ? 3 ”的必要条件 B.命题“对 ?x ? R , x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x 2 ? 1 ? 0 ” C. ?m ? R ,使函数 f ( x) ? x ? mx ( x ? R) 是奇函数
2

D.设 p , q 是简单命题,若 p ? q 是真命题,则 p ? q 也是真命题. 7.阅读程序框图,若输入 m ? 4 , n ? 6 ,则输出 a, i 分别是( A. a ? 12, i ? 3 B. a ? 12, i ? 4 C. a ? 8, i ? 3 ) 第 7 题图

D. a ? 8, i ? 4

8.设函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )(? ? 0,? A. f (x) 的图象过点 (0, ) C. f (x) 在 [

?
2

?? ?

?
2

) 的图像关于直线 x ?
5? ,0 ) 12

2? 对称,它的周期是 ? ,则 3

1 2

B. f (x) 的一个对称中心是 (

? 2?
, 3

12

] 上是减函数 D.将 f (x) 的图象向右平移 | ? | 个单位得到函数 y ? 3sin ?x 的图象
n ?1

9.设曲线 y ? 2014 x

(n ? N * ) 在点 (1, 2014) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an ? log 2014 xn ,
) A. 2014 B. 2013 C. 1 D. ?1

则 a1 ? a2 ? ? ? a2013 的值为(

10.定义在 R 上的函数 f ( x ) ? e|x| ? x 3 ,且 f ( x ? t )>f ( x ) 在 x ? ?? 1, ? ? 上恒成立,则关于 x 的方程 ?
4

f ( x) ? f (t ) ? e 的根的个数叙述正确的是(
A.有两个 B.有一个

) C.没有
? ?

D.上述情况都有可能 .

11.已知向量 a 、 b 满足 a ? (1,0), b ? (2, 4) ,则 | a ? b |?

?

?

?

?

? 1 2 ?x , x ? 0 12.已知函数 f ( x) ? ? , 则 f [ f (?4)] ? 1 ?( ) x , x ? 0 ? 2

.

13. 在数列 {an } 中, a1 ? 1, a 2 ? 5, a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ( n ? N ? ) ,则 a2014 ? 14.已知二次函数 f ( x ) ? ax ? 4 x ? c( x ? R ) 的值域为 [0, ?) ,则 ?
2

. .

1 9 ? 的最小值为 c a

15. 已 知 D 是 函 数 y ? f ( x ), x ? [a , b] 图 象 上 的 任 意 一 点 , A, B 该 图 象 的 两 个 端 点 , 点 C 满 足 (其中 0 ? ? ? 1, i 是 x 轴上的单位向量) | DC |? T ( T 为常数)在区间 [a , b] ,若 AC ? ? AB , ? i ? 0 , DC 上恒成立,则称 y ? f (x ) 在区间 [a , b] 上具有 “ T 性质”.现有函数: ① y ? 2x ? 1; ②y?
? ? ? ?
?

?

2 ?1; x

③y? x ;
2

④y ? x? .
2

1 . x

则在区间 [1,2] 上具有“

1 性质”的函数为 4

16.设 {an } 是公差大于零的等差数列,已知 a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 10 .(Ⅰ)求 {an } 的通项公式;
2 (Ⅱ)设 {bn } 是以 y ? 4sin ? x 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求数列 ?an ? bn ? 前 n 项和

17.如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,

A1

A

AB ? BC , D 为 AC 的中点, AA1 ? AB ? 2 .
D

(Ⅰ)求证: AB1 //平面 BC1 D ; (Ⅱ)设 BC ? 3 ,求四棱锥 B ? DAA1C1 的体积.
C1

B1 C

B

18. ?ABC 的角 A、 C 所对的边为 a, b, c , m ? (b sin A, a ? a cos B ) , n ? (2,0) , m 与 n 所成角为 B、 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin C 的取值范围.学科

??

?

??

?

? . 3

19. (本小题满分 12 分)某小区在一次对 20 岁以上居民节能意识的问卷调查中, 随机抽取了 100 份问卷进行

统计,得到相关的数据如下表:

(Ⅰ)由表中数据直观分析,节能意识强弱是否与人的年龄有关? (Ⅱ)据了解到,全小区节能意识强的人共有 350 人,估计这 350 人中,年龄大于 50 岁的有多少人? (Ⅲ)按年龄分层抽样,从节能意识强的居民中抽 5 人,再从这 5 人中任取 2 人,求恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁的概率.

20.已知 f ( x) ? x | x ? a | ?b, x ? R .(Ⅰ)当 a ? 1, b ? 0 时,判断 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (Ⅱ)当 a ? 1, b ? 1 时,若 f (2 ) ?
x

5 ,求 x 的值; 4

(Ⅲ)若 b ? ?1 ,且对任何 x ? ? 0,1? 不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

21.已知函数 g ( x) ? x ln x (Ⅱ)求 f ( x ) ?

(Ⅰ)求 g (x ) 在 x ? 1 处的切线方程;

g ( x) 1 2 ? ax ? (a ? 1) x, ? ?1) 的单调区间; (a x 2

1 (Ⅲ)若 x1 , x 2 ? ( ,1), x1 ? x 2 ? 1 ,求证: x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 4 . e

石室中学高 2014 届一诊模拟考试(一)数学文科答案

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 A 5 B 6 B 7 A 8 B 9 D 10 A

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.

5

;12.

4

;13.

?1 ;14.

3

;15. ①③④

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,则

? a1 ? 2 ? ? 2 ?a1 ? 2d ? ? a1 ? d ? ? 10 ?
解得 d ? 2 或 d ? ?4 (舍)?????????????????????????5 分 所以 an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ????????????????????????6 分 (Ⅱ)? y ? 4sin 2 ? x ? 4 ? 其最小正周期为

2? ? 1 ,故首项为 1;????????????????????7 分 2?
???????????????????????8 分

1 ? cos 2? x ? ?2cos 2? x ? 2 2

因为公比为 3,从而 bn ? 3n ?1 所以 an ? bn ? 2n ? 3n ?1

0 1 n ?1 故 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? ? ? 2n ? 3

?

? ?

?

?

?

? 2 ? 2n ? n ? 1 ? 3n ?
2

1 1 ? n2 ? n ? ? ? 3n ??????????????????12 分 1? 3 2 2 A
1

A

17. (本小题满分 12 分)
E

解: (Ⅰ)连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1 B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点.
C1 B1

D

B

O C

∵ D 为 AC 的中点,∴ OD 为△ AB1C 的中位线, ∴ OD / / AB1 .

∵ OD ? 平面 BC1 D , AB1 ? 平面 BC1 D , ∴ AB1 / / 平面 BC1 D . ……… 6 分

(Ⅱ) ∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 AA1C1C , ∴ 平面 ABC ? 平面 AA1C1C ,且平面 ABC ? 平面 AA1C1C ? AC . 作 BE ? AC ,垂足为 E ,则 BE ? 平面 AA1C1C , ∵ AB ? BB1 ? 2 , BC ? 3 , 在 Rt△ ABC 中, AC ?

AB 2 ? BC 2 ? 4 ? 9 ? 13 , BE ?

AB?BC 6 , ? AC 13

∴四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积

1 3 6 1 1 ? 3 ………12 分 13 ? 2 ? V ? ? ? A1C1 ? AD ??AA1 ?BE ? ? 6 2 3 2 13
18. (本小题满分 12 分)科 解: (Ⅰ)? m ? (b sin A, a ? a cos B ) 与向量 n ? (2,0) 所成角为

??

?

1 ? cos B ? 1 ? 3 ? 3 sin A ? cos B ? 1 ,? sin(B ? ) ? sin B 6 2 ? ? 7? ? 5? 2? 又? 0 ? B ? ? ,? ? B ? ? …………6 分 ?B? ? ?B ? 6 6 6 6 6 3 2? ? (Ⅱ)由(1)知, B ? ,?A+C= 3 3 1 3 ? ? cos A = sin( ? A) ? sin A ? sin C = sin A ? sin( ? A) = sin A ? 2 2 3 3 ? ? ? 2? ? 0 ? A ? ,? ? A ? ? 3 3 3 3 3 ,1] . ……… …12 分 所以 sin A ? sin C 的范围为 ( 2

? , 3

?

19. (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)因为 20 至 50 岁的 54 人有 9 人节能意识强,大于 50 岁的 46 人有 36 人节能意识强, 差较大??1 分,所以节能意识强弱与年龄有关??2 分 (Ⅱ)年龄大于 50 岁的有

9 36 与 相 54 46

36 ? 350 ? 280 (人)??5 分(列式 2 分,结果 1 分) 45 9 ? 1 (人)??8 分, 45

(Ⅲ)抽取节能意识强的 5 人中,年龄在 20 至 50 岁的 5 ?

年龄大于 50 岁的 4 人??8 分,记这 5 人分别为 A,B1,B2,B3,B4。 从这 5 人中任取 2 人,共有 10 种不同取法?9 分,完全正确列举?10 分,设 A 表示随机事件“这 5 人中任取 2 人,恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁” ,则 A 中的基本事件有 4 种:完全正确列举?11 分,故所求 概率为 P( A) ?

4 2 ? ??12 分 10 5

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)当 a ? 1, b ? 0 时, f ( x) ? x | x ? 1| 既不是奇函数也不是偶函数 ∵ f (?1) ? ?2, f (1) ? 0 ,∴ f (?1) ? f (1), f (?1) ? ? f (1) 所以 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数 ??????????????????3 分 (Ⅱ)当 a ? 1, b ? 1 时, f ( x) ? x | x ? 1| ?1 ,

5 5 x x 得 2 | 2 ? 1| ?1 ? 4 4 x ? ? 2 ?1 2x ? 1 ? ? 即? x 2 或? x 2 1 1 x x ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ? 4 ? 4
由 f (2 ) ?
x

1? 2 1? 2 1 或2 x ? (舍),或2 x ? 2 2 2 1? 2 ? log 2 (1 ? 2) ? 1 或 x ? ?1 ??????????????????8 分 所以 x ? log 2 2 (Ⅲ)当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式 f ( x) ? 0 恒成立, ?b 故只需考虑 x ? ? 0,1? ,此时原不等式变为 | x ? a |? x b b 即x? ? a ? x? x x b b 故 ( x ? )max ? a ? ( x ? )min , x ? ? 0,1? x x b b 又函数 g ( x ) ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,所以 ( x ? ) max ? g (1) ? 1 ? b ; x x b 对于函数 h( x) ? x ? , x ? ? 0,1? x b 当 b ? ?1 时,在 ? 0,1? 上 h( x ) 单调递减, ( x ? ) min ? h(1) ? 1 ? b ,又 1 ? b ? 1 ? b , x 所以,此时 a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b) ??????????????????13 分
解得 2 ?
x

21.解(Ⅰ) y ? x ? 1 ??3分 (Ⅱ) f ( x ) ? ln x ?

1 2 ax ? (a ? 1) x, ? ?1) , (a 2 1 a ( x ? 1)( x ? ) 1 a , ? 0) f ?( x ) ? ? ax ? (a ? 1) ? ? (x ,??4分 x x 1 f ?( x) ? 0 , x1 ? 1, x2 ? ? ,??5分 a

当 a ? ?1 , y ? f (x ) 的单调增区间 (0, ??) ;?6分

当 a ? ?1 时,函数 y ? f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ? ),(1, ??) ,单调递减区间是 ( ? (Ⅲ) g ?( x ) ? 1 ? ln x ? 0, x ? 因为

1 a

1 ,1) .?8 分 a

1 1 1 ,所以在 ( , ?? ) 上 g ( x ) 是增函数, (0, ) 上是减函数 e e e

1 ? x1 ? x1 ? x 2 ? 1 ,所以 g ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ln( x1 ? x 2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln x1 e
x1 ? x 2 x ? x2 ln( x1 ? x 2 ) 同理 ln x 2 ? 1 ln( x1 ? x 2 ) . x1 x2 ,
x1 ? x 2 x1 ? x 2 x x ? ) ln( x1 ? x 2 ) ? (2 ? 1 ? 2 ) ln( x1 ? x 2 ) x2 x1 x 2 x1

即 ln x1 ?

所以 ln x1 ? ln x 2 ? (

又因为 2 ?

x1 x 2 ? ? 4, 当且仅当“ x 1 ? x 2 ”时,取等号. x 2 x1

1 又 x1 , x 2 ? ( ,1), x1 ? x 2 ? 1 , ln( x1 ?x 2 ) ? 0 , e
所以 ( 2 ?

x1 x 2 ? ) ln( x1 ? x 2 ) ? 4 ln( x1 ? x 2 ) 所以 ln x1 ? ln x 2 ? 4 ln( x1 ? x 2 ) , x 2 x1 ,

4 所以: x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) .