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2015高中数学选修2-2导学案:《导数的概念及几何意义》


致远中学高二数学学案第 2 课时 导数的概念及几何意义

1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系. 2.会计算函数在某点处的导数,理解导数的实际意义. 3.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.

如图,当点 Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近点 P(x0,f(x0))时,割线 PPn 的变化趋势是什么?

问题 1:根据创设的情境,割线 PPn 的变化趋势是 问题 2:导数的概念与求法: 我们将函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率

.

称为 f(x)在 x=x0 处的导数,即有

f'(x0)=

=

,所以求导数的步骤为:

(1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)算比值: = (3)求极限:y' ;

=

.

问题 3:函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,就是曲线 y=f(x)在 x=x0 处的切线的斜率

k=f'(x0)=

. 相应的切线方程是:

.

问题 4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的 情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点

.

1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f'(x0)的几何意义是( A.在点 x0 处的函数值 B.在点(x0,f(x0))处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值 C.曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率 D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率

).

2.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1

). D.a=-1,b=-1

3.设 P0 为曲线 f(x)=x3+x-2 上的点,且曲线在 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P0 点的坐标为 4.函数 y=3x+2 上有一点(x0,y0),求该点处的导数 f'(x0).

.

导数概念的理解 已知 f'(x0)=2,求

.

求切线方程 已知曲线 y= 上两点 P(2,-1),Q(-1, ). (1)求曲线在点 P,Q 处的切线的斜率; (2)求曲线在 P,Q 处的切线方程.

导数几何意义的综合应用 抛物线 y=x2 在点 P 处的切线与直线 4x-y+2=0 平行,求 P 点的坐标及切线方程.

已知 f(x)=x3-8x,则

=

;

=

;

=

.

过曲线 y=f(x)=x3 上两点 P(1,1)和 Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当 Δx=0.1 时割线的斜率,并求曲线在点

P 处的切线的斜率.

已知曲线 C:y=x3. (1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线方程; (2)上述切线与曲线 C 是否还有其他公共点?

1.已知函数 y=f(x)的图像如图,则 f'(xA)与 f'(xB)的大小关系是( A.f'(xA)>f'(xB) C.f'(xA)=f'(xB) 2.已知 y= A. C.2 B.f'(xA)<f'(xB) D.不能确定 ).

).

,则 y'的值是( B. D.

3.已知 y=ax2+b 在点(1,3)处的切线斜率为 2,则 = 4.求 y=x2 在点 A(1,1)处的切线方程.

.

已知函数 y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程是 x-2y+1=0,则 f(1)+2f'(1)的值是( A. B.1 C. D.2

).

考题变式(我来改编):

答案

第 2 课时
知识体系梳理

导数的概念及几何意义

问题 1:点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于确定的位置 PT,PT 为曲线的切线 问题 3:

=
不止一个

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)

问题 4:瞬时变化 基础学习交流 1 .C 2.A 由题意知 k=1,∴ 3.(1,0)或(-1,-4)

=a=1,又点(0,b)切线上,∴b=1.

f'(x)= = =3x2+1,由于曲线 f(x)=x3+x-2 在 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1,所以 f(x)在 P0 +1=4,解得 x0=±1,这时 P0 点的坐标为(1,0)或(-1,-4).

处的导数值等于 4,设 P0(x0,y0),有 f'(x0)=3 4.解:f'(x0)=

=
重点难点探究

=3 .

探究一:【解析】由已知得: 当 h→0,2h→0,-4h→0,

=2,

=

=2 .

[问题]上面的解答遵循导数的定义吗? [结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δx 的形式多种多样,但是无论增量 Δx 选择哪种形式,Δy 必须保持 相应的形式.即:f'(x0)= 于是,正确解答为:

=

=

(其中 a 为非零常数).

=-4

=-4

=-4f'(x0)=-8.

【小结】 对极限的理解和计算,也是对导数概念的准确理解.通过此题可以看出学生是否掌握了导数的概 念. 探究二:【解析】将 P(2,-1)代入 y= ,得 t=1,

∴y= ∴ =

.

=

=

. =1,曲线在点 Q 处的切线斜率为 y'|x=-1= .

(1)曲线在点 P 处的切线斜率为 y'|x=2=

(2)曲线在点 P 处的切线方程为 y-(-1)=x-2,即 x-y-3=0,曲线在点 Q 处的切线方程为 y- = [x-(-1)],即

x-4y+3=0.
【小结】1.因为“在某点处”和“过某点的”切线方程求法不同,所以解答这类问题需判断点是否在曲线上. 2.求曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线方程. (1)函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f'(x0)即为切线的斜率. (2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). (3)若曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的导数 f'(x0)不存在,则切线与 x 轴垂直;若 f'(x0)>0,则切线与 x 轴正向 夹角为锐角;若 f'(x0)<0,则切线与 x 轴正向夹角为钝角;若 f'(x0)=0,则切线与 y 轴垂直. 探究三:【解析】设 P 点坐标为(x0,y0),

y'= ∴y'

=

=

=

(2x+Δx)=2x.

=2x0,又由切线与直线 4x-y+2=0 平行,

∴2x0=4,∴x0=2. ∵P(2,y0)在抛物线 y=x2 上,∴y0=4, ∴点 P 的坐标为(2,4), ∴切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. 【小结】1.解决本题应用了方程的思想,这其实是已知切点求切线方程的逆应用过程. 2.根据斜率求切点坐标的方法步骤为: (1)先设切点坐标(x0,y0); (2)求导函数 f'(x); (3)求切线的斜率 f'(x0); (4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程,解方程求 x0; (5)点(x0,y0)在曲线 f(x)上,将(x0,y0)代入求 y0,得切点坐标.
思维拓展应用 应用一:4 4 -2

f'(x)=

=

= =
(3x2+3x·Δx+Δx2-8)

=3x2-8, ∴f'(2)=4. =f'(2)=4. = ==- f'(2)=-2. =f'(2)=4.

应用二:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1=3Δx+3(Δx)2+(Δx)3,

=

=(Δx)2+3Δx+3.

当 Δx=0.1 时,割线 PQ 的斜率为

k1= =(0.1)2+3×0.1+3=3.31.
曲线在点 P 处的切线的斜率为 k2=

=3 .

应用三:(1)将 x=1 代入 y=x3 得 y=1,∴切点 P(1,1),

y'= =

= =3x2.

∴y'|x=1=3, ∴点 P 处的切线方程为 y=3x-2.
(2)由 得(x-1)(x2+x-2)=0,∴x=1 或-2.

∴公共点为(1,1)或(-2,-8), ∴还有其他公共点(-2,-8).
基础智能检测 1.B f'(xA)与 f'(xB)分别表示函数图像在点 A, B 处的切线斜率,故 f'(xA)<f'(xB). 2 .B Δy= 3 .2 由题意

-

, =

,

=

=

=

’∴y'=

.

= = = =

(aΔx+2a)=2a=2,∴a=1,又 3=a×12+b,∴b=2,∴ =2.

4.解:f'(1)=

=

(Δx+2)=2,

即切线的斜率 k=2, 所以 y=x2 在点 A(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 全新视角拓展 D ∵点(1,f(1))在切线 x-2y+1=0 上,

∴f(1)=1,又 f'(1)= , ∴f(1)+2f'(1)=1+2× =2.


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