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谁都不能碰我的季老师百度云:2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1课件:第三章 圆锥曲线与方程 1.2_图文

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阶 段 1

阶 段 3

1.2

椭圆的简单性质
学 业 分 层 测 评

阶 段 2

1.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念,理解椭圆的范围 和对称性.(重点) 2.掌握已知椭圆标准方程时a,b,c,e的几何意义及其相互关系.(重点) 3.用代数法研究曲线的几何性质,在熟练掌握椭圆的几何性质的过程中, 体会数形结合的思想.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 椭圆的几何性质 阅读教材P67~P68上半部分,完成下列问题.
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准方程 对称性 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 离心率

x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) 对称轴 x轴和y轴

y2 x2 a2+b2=1(a>b>0)

,对称中心

(0,0)

-a≤x≤a且-b≤y≤b

-b≤x≤b且-a≤y≤a
A1(0,-a)、A2(0,a), B1(-b,0)、B2(b,0)

A1(-a,0)、A2(a,0), B1(0,-b)、B2(0,b)

短轴长= 2b ,长轴长= 2a F1(-c,0)、F2(c,0) F1(0,-c)、F2(0,c)

c e=a(0<e<1)

|F1F2|= 2c

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) x2 y2 (1)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的长轴长等于a.( (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c.( (3)椭圆的离心率e越小,椭圆越圆.(
【解析】 (1)长轴长为2a. (2)、(3)正确.

) )

)

【答案】 (1)× (2)√ (3)√

x2 y2 2.已知点(x0,y0)在椭圆 a2 + b2 =1上,则下列点中不一定在椭圆上的点是 ( ) A.(-x0,y0) C.(-x0,-y0) B.(x0,-y0) D.(y0,x0)

【解析】 由椭圆的对称性可知,选项A,B,C中的点一定在椭圆上. 【答案】 D

x2 y2 3.椭圆 4 +16=1的离心率为________.
【解析】 a2=16,b2=4,∴c2=12, 3 c 2 3 ∴e=a= 4 = 2 .

【答案】

3 2

4.求焦点在x轴上,长轴、短轴的长分别是8和6的椭圆的标准方程.
x2 y2 由题意设椭圆的标准方程为 a2 + b2 =1(a>b>0),则2a=8,2b=6,

【解】

x2 y2 即a=4,b=3,故椭圆的标准方程为16+ 9 =1.

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 2:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 3:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________

[小组合作型]

椭圆的几何性质

x2 y2 x2 y2 (1)椭圆25+ 9 =1与 + =1(0<k<9)的( 9-k 25-k A.长轴长相等 C.离心率相等 B.短轴长相等 D.焦距相等

)

【自主解答】

x2 y2 椭圆25+ 9 =1中c2 1=25-9=16,

x2 y2 椭圆 + =1中c2 2=25-k-(9-k)=16, 9-k 25-k ∴两椭圆焦距相等.

【答案】 D

x2 y2 (2)已知椭圆的标准方程为 100 + 64 =1,则椭圆上的点P到椭圆中心|OP|的范 围为( ) B.[6,8] D.[16,20]

A.[6,10] C.[8,10]

【自主解答】

2 设P(x0,y0),则|OP|= x2 0+y0.

x2 y2 0 0 由椭圆的范围,知|x0|≤a=10,|y0|≤b=8,又∵P在椭圆上,∴ 100 + 64 = 1, 16 2 2 ∴y0=64- x0,∴|OP|= 25 ∵0≤x2 0≤100,∴64≤ 9 2 25x0+64.

9 2 25x0+64≤100,∴8≤|OP|≤10.

【答案】 C

(3)椭圆4x2+9y2=36的长轴长为________.短轴长为________. 【导学号:32550068】

【自主解答】 把已知方程化为椭圆的标准方程为: x 2 y2 9 + 4 =1,∴a=3,b=2, ∴长轴长为2a=6,短轴长为2b=4.
【答案】 6 4

由椭圆方程探究简单性质时,需先看所给方程是否为标准方程,这是依据 方程求参数a,b,c值的关键,进而可研究椭圆的性质.

由椭圆简单性质求方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程: 1 (1)焦点在y轴上,a=2,离心率e=2; (2)一焦点坐标为(-3,0),一顶点坐标为(0,5); 6 (3)过点(3,0),离心率e= 3 .

c 1 【精彩点拨】 (1)由a=2,e= a = 2 ,易得c,代入b2=a2-c2可求得b2,此时 可写出焦点在y轴上的椭圆方程;(2)由已知可以确定焦点在x轴上及c,b的值,从 而可写出椭圆的标准方程;(3)不能确定焦点所在的坐标轴,需分类讨论.
1 c 1 2 (1)由a=2,e= 2 ,可得a =4,且 2 = 2 ,即c=1,所以b2=a2

【自主解答】

2 2 y x -c2=4-1=3.已知椭圆的焦点在y轴上,所以所求的标准方程为 4 + 3 =1.

(2)由椭圆的一个焦点坐标为(-3,0),可知椭圆的焦点在x轴上,且c=3.又由 一顶点坐标为(0,5),可得b=5,所以a2=b2+c2=25+9=34.因此所求的标准方程 x2 y 2 为34+25=1.

6 (3)当椭圆的焦点在x轴上时,因为a=3,e= 3 ,所以c= 6 ,从而b2=a2-c2 x2 y2 =3,所以椭圆的标准方程为 9 + 3 =1; a2-b2 6 6 2 当椭圆的焦点在y轴上时,因为b=3,e= 3 ,所以 = ,所以 a = a 3 y2 x2 27,所以椭圆的标准方程为27+ 9 =1. x2 y2 y2 x2 综上,所求椭圆的标准方程为 9 + 3 =1或27+ 9 =1.

已知椭圆的简单性质求标准方程: (1)先审题,看题目的条件能否确定焦点所在的坐标轴:在椭圆的性质中,焦 点的位置、长轴(或短轴)的位置、长轴(或短轴)的端点坐标都可以确定焦点所在的 坐标轴;一个顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率等不能确定焦点所在的坐标 轴,此时需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论. c (2)然后依据关系式e=a,b2=a2-c2确定a,b(a2,b2)的值,从而求出椭圆的 标准方程.

[再练一题] 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦距为8,离心率为0.8; (2)长轴是短轴的3倍,且经过点(3,0).

【解】

(1)若焦点在x轴上,

x2 y2 设方程为a2+b2=1(a>b>0). 4 依题意得c=4,e=5,∴a=5,b=3. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为25+ 9 =1. x 2 y2 若焦点在y轴上,同理可求得方程为 9 +25=1. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为25+ 9 =1或 9 +25=1.

x2 y2 (2)若焦点在x轴上,设方程为a2+b2=1(a>b>0). ∵椭圆过点(3,0),∴a=3,又2a=3×2b,∴b=1. x2 2 ∴椭圆的标准方程为 9 +y =1. x2 y2 若焦点在y轴上,设方程为b2+a2=1(a>b>0). ∵椭圆过点(3,0),∴b=3.又2a=3×2b,∴a=9. x2 y2 ∵椭圆的标准方程为 9 +81=1. x2 2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 9 +y =1或 9 +81=1.

求椭圆的离心率

已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭 圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,求该椭圆的离心率.

【精彩点拨】 根据已知条件得出a、c的关系即可.

【自主解答】 不妨设椭圆的焦点在x轴上,因为AB⊥F1F2,且△ABF2为正 三角形,所以在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30° ,令|AF1|=x,则|AF2|=2x,所以 |F1F2|= |AF2|2-|AF1|2= 3x=2c, 再由椭圆的定义,可知|AF1|+|AF2|=2a=3x, 2c 3x 3 ∴e=2a= 3x = 3 .

求椭圆的离心率通常有两种方法: (1)若给定椭圆的方程,则根据焦点位置先求a2、b2,再求出a、c的值,利用 c 公式e=a直接求解; (2)若椭圆的方程未知,则根据条件建立a、b、c之间的关系式,化为关于a、 c的齐次方程,再将方程两边同除以a的最高次幂,得到e的方程,解方程求得e.

[再练一题] 2.将本例中条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点,且AF1的中点B恰好在椭圆上,若△ AF1F2为正三角形”.如何求椭圆的离心率?

【解】

如图,连接BF2.因为△AF1F2为正三角形,且B为线段AF1的中点,所

以F2B⊥BF1,又因为∠BF2F1=30° ,|F1F2|=2c,所以|BF1|=c,|BF2|= 3c.根据椭 c 圆定义得|BF1|+|BF2|=2a,即c+ 3 c=2a,所以 a = 3 -1.所以椭圆的离心率为e = 3-1.

[探究共研型]

椭圆的简单几何性质

x2 y 2 探究1 还有其他方法求出椭圆a2+b2=1(a>b>0)的范围吗?

x y 【提示】 有.可以利用三角换元,令 a =cos θ, b =sin θ,θ∈R,则x= acos θ,y=bsin θ,θ∈R,由余弦函数及正弦函数的有界性(|cos θ|≤1,|sin θ|≤1) 可得x,y的取值范围.

x2 y2 探究2 椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)上到中心和焦点距离最近和最远的点分别在 什么位置?
【提示】 (1)椭圆上到中心距离最近和最远的点:短轴端点B1和B2到中心O 的距离最近;长轴端点A1和A2到中心O的距离最远. (2)椭圆上的点与焦点距离的最值:点(a,0),(-a,0)与焦点F1(-c,0)的距离, 分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离.

x2 y2 探究3 利用椭圆方程如何判断点P(x0,y0)与椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)的位置 关系?
x2 y 2 【提示】 点P(x0,y0)与椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)的位置关系:点P在椭圆上
2 2 2 2 x2 y0 x0 y2 x0 y0 0 0 ?a2+b2=1;点P在椭圆内部?a2+b2<1;点P在椭圆外部?a2+b2>1.

探究4 椭圆的离心率如何刻画椭圆的扁平程度?椭圆的扁平程度与椭圆位 置有关吗?
【提示】 (1)椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度,e的大小决定了椭
2 2 2

b 圆的形状,反映了椭圆的圆扁程度.因为a =b +c ,所以a= 1-e2,因此,当e b b 越趋近于1时, a 越接近于0,椭圆越扁;当e越趋近于0时, a 越接近于1,椭圆越 接近于圆.当且仅当a=b时,c=0,两焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2=a2. 所以e越大椭圆越扁,e越小椭圆越圆. (2)椭圆的扁平程度由离心率的大小确定,与椭圆的焦点所在的坐标轴无关.

x2 y2 10 已知椭圆 5 + k =1的离心率e= 5 ,则实数k的值为( A.3 C. 5 25 B.3或 3 15 D. 15或 3

)

【精彩点拨】 由椭圆的标准方程确定焦点位置时,要看方程中分母的大 小.当分母的大小不确定时,要对分母的大小进行讨论.

【自主解答】

x2 y2 (1)当焦点在x轴上时,由椭圆方程 5 + k =1,可知a2=5,b2

2 ? 5-k ? c ? 10?2 2 2 2 2 =k>0,则c =a -b =5-k,而e =a2= 5 =? ? .解之得k=3. 5 ? ?

x2 y2 (2)当焦点在y轴上时,由椭圆方程 5 + k =1,可知a2=k>0,b2=5,则c2=a2
2 ? k-5 ? c ? 10?2 2 2 -b =k-5,而e =a2= k =? ? . 5 ? ?

25 解之得k= 3 , 25 综上,符合条件的实数k值为3或 3 ,因此选B. 【答案】 B

[构建· 体系]

1.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值是 ( ) 【导学号:32550069】 1 A.4 C.2 1 B.2 D.4

2 2 x y 【解析】 椭圆x2+my2=1可化为 1 + 1 =1, m

1 1 ∵长轴长是短轴长的2倍,∴m=4,∴m=4.
【答案】 A

x2 y2 2.已知椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦 点坐标是( ) B.(0,± 3) D.(0,± 5)

A.(± 3,0) C.(± 5,0)

【解析】 直线x+2y=2与坐标轴的交点(2,0)与(0,1)为椭圆的顶点,∴a= 2,b=1, ∴c= a2-b2= 3.∴椭圆的焦点坐标是(± 3,0).
【答案】 A

3.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P, 若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( 2 A. 2 C.2- 2 2-1 B. 2 D. 2-1 )

【解析】 由平面几何知识和椭圆的定义知,|PF1|2=2|F1F2|2,即(2a-2c)2= 2(2c)2,整理得a2-2ac-c2=0,两边同除以a2得e2+2e-1=0, ∴e= 2-1
【答案】 D

4.已知正方形ABCD,则以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的离心率为 ________. 【导学号:32550070】

【解析】 建立如图所示的直角坐标系,不妨设正方形的边长为2,则A(- 1,0),B(1,0),C(1,2),|AC|=2 2. 依椭圆的定义知2a=|AC|+|BC|=2 2+2,a= 2+1, 1 c 又c=1,则e=a= = 2-1. 2+1
【答案】 2-1

3 5.已知椭圆的中心在原点,对称轴是坐标轴,离心率e= 2 ,且过P(2,3), 求此椭圆的标准方程. 【解】 (1)当焦点在x轴上时,
x2 y2 设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 3 ?c = ?a 2 , ? 由题意知? 4 9 ?a2+b2=1, ? 2 2 2 a = b + c , ?

解得b2=10,a2=40.

x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为40+10=1.

y2 x2 (2)当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 3 ?c ?a= 2 , ? 由题意得? 9 4 ?a2+b2=1, ? 2 2 2 a = b + c , ?

25 解得b = 4 ,a2=25.
2

y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为25+25=1. 4 x2 y2 y2 x2 综上,所求椭圆的标准方程为40+10=1或25+25=1. 4

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

学业分层测评(十四)

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