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广东省2013届高三最新理科试题精选(37套含13大市区的二模)分类汇编17:导数与积分(1)


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广东省 2013 届高三最新理科试题精选(37 套含 13 大市区的二模)分类汇 编 17:导数与积分(1)
一、选择题 1 . (广东省汕头市东厦中学 2013 届高三第三次质量检测数学(理)试题 ) f (x) 是定义在

(0,??) 上的非负可导函数,且满足 xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,对任意正数 a, b , 若 a ? b ,则必
有 A. af (b) ? bf (a) C. af (a) ? f (b)
【答案】A 2 . (广东省汕头市东山中学 2013 届高三下学期入学摸底考试数学(理)试题) 已知函数

( B. bf (a) ? af (b) D. bf (b) ? f (a)



?x ? 1 ? f ( x) ? ? ? 1 ? x2 ?
A. 1 ?

( ?1 ? x ? 0 ) (0 ? x ? 1)
B.

,则

?

1 ?1

f ( x)dx ?
C. 1 ?





?
2

1 ? ? 2 4

?
4

D.

1 ? ? 2 2

【答案】B 二、填空题 3 . 广 东 省 韶 关 市 2013 届 高 三 第 三 次 调 研 考 试 数 学 ( 理 科 ) 试 题 ( word 版 ) ) 计 算 (

? ? 2 x ? 1? dx ? ______
3 0

【答案】6 4 . 广 东 省 汕 头 市 东 厦 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) (

?

2 0

4 ? x 2 dx =______________

【答案】

?

5 . (广东省东莞市 2013 届高三第二次模拟数学理试题) 【答案】2

?

?

0

(sin x ? cos x)dx =________.

6 . (广东省珠海一中等六校 2013 届高三第一次联考数学(理)试题)若

?

a

0

xdx = 1 ,则实数 a

的值是_________.
【答案】 2 7 . 广 东 省 珠 海 一 中 等 六校 2013 届 高 三 第 二 次 联考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 对于三次函 数 (

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0), 给出定义 : 设f ?( x)是函数y ? f ( x)





数, f ??( x) 函数是 f ?( x) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 , 则称点( x0 , f ( x0 )) 为函 数 y ? f ( x) 的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何
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一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ,请你根据上面探究结果,解答以下问题: 3 2 12 1 3 1 2 5 (1)函数 f ( x) ? x ? x ? 3x ? 的对称中心坐标为_________________; 3 2 12 1 2 3 2012 (2)计算 f ( )? f( )? f( ) ? ?? f ( ) =__________________. 2003 2013 2013 2013 1 【答案】对称中心 ( , 1) ; 2012 2 f ( x) ?
8 . (广东省珠海一中等六校 2013 届高三第二次联考数学 (理) 试题) 已知函数 y ? x ? 3x ? c
3

的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c ? __________.
【答案】 c ? ?2

(答对一个不得分)

9 . (广东省中山市 2013 届高三上学期期末统一考试数学(理)试题)已知函数 f ? x ? 的导数

f ? ? x ? ? a ? x ? 1?? x ? a ? , 若f ? x ? 在x ? a 处 取 得 极 大 值 , 则 a 的 取 值 范 围 为
__________
【答案】 ?1 ? a ? 0 10.广东省中山市 2013 届高三上学期期末统一考试数学 ( (理) 试题) 曲线 C : y ? x 2 、 直线 l : x ? 2

与 x 轴所围成的图形面积为__________
【答案】

8 3

11 . 广 东 省 肇 庆 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 统 一 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 函 数 (

1 f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? 3x ? 2 在区间 [0, 2] 上最大值为____________ 3
【 答 案 】





:

?

2 3

2 4 f ?( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? x ? 1, x ? 3 , f (0) ? ?2, f (1) ? ? , f (2) ? ? 3 3
12. (广东省湛江一中等“十校”2013 届高三下学期联考数学(理)试题)设函数 y ? f ( x ) 在

( ?? ,+ ? )内有意义.对于给定的正数 K,已知函数 f k ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? K ,取函数 ? K , f ( x) ? K

f ( x) = 3 ? x ? e ? x . 若对任意的 x ? ( ?? ,+ ? ),恒有 f k ( x) = f ( x) ,则 K 的最小值为
_____________. 【答案】2
13.广东省汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评数学 ( (理) 试题) 若曲线 y ?

x 与直线 x=a,y=0

所围成封闭图形的面积为 a .则正实数 a=____

2

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【答案】 a ?

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4 9

14. (广东省汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评数学(理)试题)函数 y=lnx 在点 A(1,0)

处的切线方程为_______.
【答案】 y ? x ? 1 三、解答题 15. (广东省汕头市东厦中学 2013 届高三第三次质量检测数学(理)试题 )设函数

f ( x) ? x 4 ? ax3 ? 2 x 2 ? b( x ? R) ,其中 a,b?R .
(Ⅰ)当 a ? ?

10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(Ⅱ)若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围;

2 , (Ⅲ)若对于任意的 a ? ? ?2,? ,不等式 f ( x) ≤1 在 ? ?11? 上恒成立,求 b 的取值范围
【答案】解:(Ⅰ) f ?( x) ? 4 x ? 3ax ? 4 x ? x(4 x ? 3ax ? 4) .
3 2 2

10 2 时, f ?( x) ? x(4 x ? 10 x ? 4) ? 2 x(2 x ? 1)( x ? 2) . 3 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? , x3 ? 2 . 2
当a ? ? 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(?∞, 0)
?


0
0
极小 值

? 1? ? 0, ? ? 2?

1 2

?1 ? 2 ? ,? ?2 ?
?


2

(2, ∞) ?

?


0
极大 值

0
极小 值

?


f ( x)

所以 f ( x) 在 ? 0, ? , (2, ∞) 内是增函数,在 (?∞, , ? ,? 内是减函数. 2 ? 0) (Ⅱ)解: f ?( x) ? x(4 x ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根.
2

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

为 使 f ( x) 仅 在 x ? 0 处 有 极 值 , 必 须 4 x 2 ? 3a ? ≥ x 4

恒 成 立 , 即 有 0

? ?9a 2

? ≤ .0 64

解此不等式,得 ? ≤ a ≤ .这时, f (0) ? b 是唯一极值.

8 3

8 3

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? 8 8? ? ?

因此满足条件的 a 的取值范围是 ? ? , ? . 3 3

2 (Ⅲ)解:由条件 a ? ? ?2,? 可知 ? ? 9a 2 ? 64 ? 0 ,从而 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立.
当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 .

, 因此函数 f ( x) 在 ? ?11? 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者.

2 , 为使对任意的 a ? ? ?2,? ,不等式 f ( x) ≤1 在 ? ?11? 上恒成立,当且仅当
? f (1) ≤ 1, ? ? f (?1) ≤ 1,
即?

?b ≤ ?2 ? a, ?b ≤ ?2 ? a

2 在 a ? ? ?2,? 上恒成立.所以 b ≤ ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是
16. (广东省东莞市 2013 届高三第二次模拟数学理试题)已知函数 g ( x) ?

1 3 ax ? 2 x 2 ? 2 x , 3

函数 f (x) 是函数 g (x) 的导函数. (1)若 a ? 1 ,求 g (x) 的单调减区间; (2)若对任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,都有 f ( 范围; (3)在第(2)问求出的实数 a 的范围内,若存在一个与 a 有关的负数 M,使得对任意

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求实数 a 的取值 )? 2 2

x ? [M ,0] 时 f ( x) ? 4 恒成立,求 M 的最小值及相应的 a 的值.

【答案】解:(1)当 a

1 ? 1 时, g ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 2 x , g '( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 3

由 g '( x) ? 0 ,解得 ?2 ? 6 ? x ? ?2 ? 6

? 当 a ? 1 时,函数 g ( x) 的单调减区间为 (?2 ? 6, ?2 ? 6)
(2)易知 f ( x) ? g '( x) ? ax ? 4 x ? 2 .
2

依题意知 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2

2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 ax12 ? 4 x1 ? 2 ? ax2 ? 4 x2 ? 2 ? a( ) ? 4( )?2? 2 2 2

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a ? ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 0 4

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因为 x1 ? x2 ,所以 a ? 0 ,即实数 a 的取值范围是 (0, ??) (3)解法一

4 ,a ? 0. a 2 显然 f (0) ? ?2 ,由(2)知抛物线的对称轴 x ? ? ? 0 a 4 2 ①当 ?2 ? ? ?4 ,即 0 ? a ? 2 时, M ? (? , 0) 且 f ( M ) ? ?4 . a a
易知 f ( x) ? ax 2 ? 4 x ? 2 ? a ( x ? ) 2 ? 2 ? 令 ax 2 ? 4 x ? 2 ? ?4 ,解得 x ?

2 a

?2 ? 4 ? 2a , a

此时 M 取较大的根,即 M ?

?2 ? 4 ? 2a ?2 ? a 4 ? 2a ? 2

?0?a?2, ?M ?
②当 ?2 ?

?2 ? ?1 4 ? 2a ? 2

4 2 ? ?4 ,即 a ? 2 时, M ? ? 且 f ? M ? ? 4 . a a

令 ax 2 ? 4 x ? 2 ? 4 ,解得 x ?

?2 ? 4 ? 6a a

此时 M 取较小的根,即 M ?

?2 ? 4 ? 6a ?6 ? a 4 ? 6a ? 2

? a ? 2 ,? M ?

?6 ? ?3 ,当且仅当 a ? 2 时取等号 4 ? 6a ? 2

由于 ?3 ? ?1 ,所以当 a ? 2 时, M 取得最小值 ?3 解法二 对任意 x ? [ M , 0] 时,“ | f ( x ) |? 4 恒成立”等价于“ f ( x )max ? 4 且 f ( x )min ? ?4 ”. 由(2)可知实数 a 的取值范围是 (0, ??) ,故 f ( x) ? ax ? 4 x ? 2 的图象是开口向上,对
2

称轴 x ? ? ①当 ?

2 ? 0 的抛物线 a

2 ? M ? 0 时, f ( x) 在区间 [ M , 0] 上单调递增, a

∴ f ( x )max ? f (0) ? ?2 ? 4 , 要使 M 最小,只需要
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f ( x )min ? f ( M ) ? aM 2 ? 4M ? 2 ? ?4
若 ? ? 16 ? 8a ? 0 ,即 a ? 2 时,无解; 若 ? ? 16 ? 8a ? 0 ,即 0 ? a ? 2 时, 解得 M ?

?2 ? 4 ? 2a 2 ?2 ? 4 ? 2a ? ? (舍去) 或 M ? ? ?1 , a a a
2 2 2 时 , f ( x) 在 区 间 [ M , ? ] 上 单 调 递 减 , 在 (? , 0] 递 a a a

故 M ? ?1 (当且仅当 a ? 2 时取等号) ②当 M ? ?

增, f (0) ? ?2 ? 4,

2 4 f (? ) ? ?2 ? ? ?4 ,则 a ? 2 a a
要使 M 最小,则 f ( M ) ? aM ? 4 M ? 2 ? 4 ,
2

即 aM 2 ? 4 M ? 6 ? 0 , 解得 M ?

?2 ? 4 ? 6a 2 ? ? (舍去), a a

或M ?

?2 ? 4 ? 6a ?6 ? ? ?3 (当且仅当 a ? 2 时取等号) a 4 ? 6a ? 2

综上所述,当 a ? 2 时, M 的最小值为 ?3
17 . 广 东 省 珠 海 一 中 等 六 校 2013 届 高 三 第 一 次 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? x 2 ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处的切线为

l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l 2 , 并且 l1 与 l 2 平行.
(1)求 f (2) 的值; (2)已知实数 t∈R,求函数 y ? f [ xg ( x)+t ], x ? ?1, e ? 的最小值; (3) 令 F ( x) ? g ( x) ? g '( x) , 给 定 x 1 , x2 ? (1,?? ),x 1 ? x2 , 对于 两个 大于 1 的 正数

?, ? ,
存在实数 m 满足: ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx 2 ,并且使得不等式

| F (? ) ? F ( ? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.
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【答案】解: y ? f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M (a, 0) , f '( x) ? 2 x ? a

y ? g ( x ? 1) ? ln( x ? 1) 图象与 x 轴的交点 N (2, 0) , g '( x ? 1) ?
由题意可得 kl1 ? kl2 ,即 a ? 1 , ∴ f ( x) ? x ? x, , f (2) ? 2 ? 2 ? 2
2 2

1 x ?1

y ? f [ xg ( x)+t ] ? [ x ln x+t ]2 ? ( x ln x+t ) = ( x ln x)2 ? (2t ? 1)( x ln x) ? t 2 ? t
令 u ? x ln x ,在 x ? ?1, e ? 时, u ' ? ln x ? 1 ? 0 , ∴ u ? x ln x 在 ?1, e ? 单调递增, 0 ? u ? e,

y ? u 2 ? (2t ? 1)u ? t 2 ? t 图象的对称轴 u ?
①当 u ?

1 ? 2t 1 ? 0 即 t ? 时, ymin ? y |u ?0 ? t 2 ? t 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 2 2 ②当 u ? 时, ymin ? y |u ?e ? e ? (2t ? 1)e ? t ? t ? e 即t ? 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 1 ③当 0 ? ? e即 ? t ? 时, 2 2 2
ymin ? y |
u? 1? 2 t 2

1 ? 2t ,抛物线开口向上 2

1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 1 ?( ) ? (2t ? 1) ?t ?t ? ? 2 2 4

(3) F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ? ln x ?

1 1 1 x ?1 F '( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 , 得x ? 1 x x x x

所以 F ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增 ∴ 当x ? 1 时, F(x) F(1) 0 ? ? ①当 m? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,
得 ? ? ( x1 , x2 ) ,同理 ? ? ( x1 , x2 ) , ∴ 由 f (x) 的单调性知

0 ? F ( x1 ) ? F (? ) 、 F ( ? ) ? F ( x2 )

从而有 | F (? ) ? F ( ? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,符合题设 ②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,

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? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 ,
由 f (x) 的单调性知 0 ? F ( ? ) ? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (? ) , ∴ | F (? ) ? F ( ? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符 ③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 , 得 | F (? ) ? F ( ? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符 ∴综合①、②、③得 m? (0,1) 说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分.
18. (广东省珠海一中等六校 2013 届高三第二次联考数学(理)试题)已知三次函数

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a、b、c、d ? R) 为奇函数,且在点 (1, f (1)) 的切线方程
为 y ? 2x ? 2 . (1) 求函数 f ( x) 的表达式. (2) 求曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x0,f ( x0 )) 处的切线方程,并求曲线 y ? f ( x) 在点

M ( x0,f ( x0 )) 处的切线与曲线 y ? f ( x) 围成封闭图形的面积.
(3) 如果过点 (2,t ) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 t 的取值范围;

【答案】(1)解: f (? x) ? f ( x) ? 0 ? bx ? d ? 0 恒成立? b ? d ? 0 ? f ( x) ? ax ? cx
2 3

又 f ?( x) ? 3ax ? c ?在点 (1, f (1)) 的切线方程为 y ? (3a ? c)( x ? 1) ? a ? c ,即
2

?3a ? c ? 2 ?a ? 1 y ? (3a ? c) x ? 2a ? ? ?? ? f ( x) ? x 3 ? x ??2a ? ?2 ?c ? ?1
(2)解:设切点为 ( x0 , f ( x0 )) , f ?( x) ? 3x ? 1 则切线方程是:
2
3 y ? (3x0 2 ? 1)( x ? x0 ) ?( x0 ? x0 ) ,

3 令 x ? x ? (3x0 ? 1)( x ? x0 ) ?( x0 ? x0 ) 得 x ? 3x0 x ? 2 x0 ? 0
2
3

3

2

3

? ( x ? x0 ) 2 ( x ? 2 x0 ) ? 0 所以曲线与切线的另一公共点的横坐标是 ?2x0

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x0 ? 0 时 S ? ?
x0

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x0 ?2 x0

27 4 x0 4 ?2 x0 x0 27 4 2 3 2 3 x0 ? 0 时 S ? ?? ( x3 ? 3x0 x ? 2 x0 )dx ? ? ( x3 ? 3x0 x ? 2 x0 )dx ? x0 x0 ?2 x0 4 27 4 x0 ? 0 时 , 切 线 与 曲 线 恰 有 一 个 公 共 点 , S ? 0 ? x0 ( 此 步 不 扣 分 ) 综 上 : 曲 线 4 ?
y ? f ( x) 在点 M ( x0,f ( x0 )) 处的切线与曲线 y ? f ( x) 围成封闭图形的面积

1 3 2 2 3 3 ( x3 ? 3x0 x ? 2 x0 )dx ? ( x 4 ? x0 x 2 ? 2 x0 x) ?2 x0 4 2

S?

27 4 x0 ( x0 ? R) 4

(3)解: 令切线过 (2, t ) ,代入整理得:
3 2 2 x0 ? 6 x0 ? t ? 2 ? 0
3 2

关于 x0 有三个不同的解;

设 g ( x) ? 2 x ? 6 x ? t ? 2 即 g ( x) 有三个不同的零点; 又 g ?( x) ? 6 x( x ? 2) ? x ? (0, 2) 时 g ?( x) ? 0 ? g ( x) 递减; x ? (??, 0) ? (2, ? ?)

? g (0) ? t ? 2 ? 0 g ?( x) ? 0, g ( x) 在区间 (??, 0)、 ? ?) 上分别递增,故 ? (2, ? g (2) ? t ? 6 ? 0

??2 ? t ? 6
19 . 广 东 省 中 山 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 统 一 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? a x?

b , ? 2 l n x f (1) ? 0 . x

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在其定义域内为单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线的斜率为 0 ,且

an ?1 ? f ?(

1 ) ? n 2 ? 1 ,已知 a1 ? 4 ,求证: an ? 2n ? 2 ; an ? n ? 1
1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? 与 的大小,并说明你 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a3 1 ? an 5

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试比较 的理由.
【答案】

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20 . 广 东 省 中 山 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 统 一 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

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f ?x ? ?

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1 3 x ? ax ? b ,其中实数 a, b 是常数. 3

(Ⅰ)已知 a ? ?0,1,2?, b ? ?0,1,2?,求事件 A :“ f ?1? ? 0 ”发生的概率; (Ⅱ)若 f ? x ? 是 R 上的奇函数, g ?a ? 是 f ? x ? 在区间 ?? 1,1? 上的最小值,求当 a ? 1 时

g ?a ? 的解析式;
(Ⅲ)记 y ? f ?x ? 的导函数为 f ?? x ? ,则当 a ? 1 时,对任意 x1 ? ?0,2? ,总存在 x2 ? ?0,2? 使得 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.

【答案】

① 当 a ? 1 时,因为 ?1 ? x ? 1 ,所以 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上单调递减,从而

1 g ( a) ? f (1) ? ? a ; 3
② 当 a ? ?1 时,因为 ?1 ? x ? 1 ,所以 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上单调递增,从 而 g (a) ? f (?1) ? ?

1 ?a, 3

? 1 ?a ? 3 , a ? ?1 ? . 综上,知 g (a ) ? ? 1 ??a ? , a ? 1 ? 3 ?

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21 . 广 东 省 肇 庆 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 统 一 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (
2 f ( x) ? (a x ? x) xe ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .

(1)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)当 a ? 0 时,求整数的所有值,使方程 f ( x) ? x ? 2 在 [t , t ? 1] 上有解; (3)若 f ( x) 在 [?1,1] 上是单调增函数,求 a 的取值范围.

【答案】 解:(1)因为 e x ? 0 ,所以不等式 f ( x) ? 0 即为 ax2 ? x ? 0 ,又因为 a ? 0 ,所以不等

1 ? 1 ? 式 可 化 为 x ( x ? ) ? 0 , 所 以 不 等 式 f ( x) ? 0 的 解 集 为 ? ? , 0 ? . a ? a ? (4 分)

(2)当 a ? 0 时, 方程即为 xex ? x ? 2 ,由于 e x ? 0 ,所以 x ? 0 不是方程的解,所以原方程 2 2 2 等 价 于 e x ? ? 1 ? 0 , 令 h( x) ? e x ? ? 1 , 因 为 h?( x ? x ? 2 ? 对 于 ) e 0 x x x
x ? ? ? , ?? ? ?0 0 ? ,恒成立, ? ?





h( x)



? ??,0?



? 0, ?? ?















,



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1 h(1) ? e ? 3 ? 0 , h(2) ? e2 ? 2 ? 0 , h(?3) ? e?3 ? ? 0 , h(?2) ? e?2 ? 0 , 所 以 方 程 3
2 ? f ( x) ? x ? 2 有且只有两个实数根,且分别在区间 ?1,? 和 ? ?3, 2? 上,所以整数的所有值

为 ??3,1? . (3) f ?( x) ? (2ax ? 1)e x ? (ax2 ? x)e x ? [ax2 ? (2a ? 1) x ? 1]e x ,
x ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? ( x ? 1)e , f ?( x) ≥ 0 在 [?1, 上恒成立,当且仅当 x ? ?1 时取等号, 1]

故 a ? 0 符合要求; 分) ②当 a ? 0 时,令 g ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 ,因为 ? ? (2a ? 1)2 ? 4a ? 4a 2 ? 1 ? 0 ,

(10

所以 g ( x ) ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 ,因此 f ( x) 有极大值又有极 小值. 若 a ? 0 ,因为 g (?1) ? g(0) ? ?a ? 0 ,所以 f ( x) 在 (?1, 内有极值点, 1)
1? 故 f ( x) 在 ? ?1, 上不单调.

若 a ? 0 ,可知 x1 ? 0 ? x2 , 因 为 g ( x) 的 图象 开口 向下 ,要使 f ( x) 在 [?1, 上 单调 , 因为 g (0) ? 1? 0, 必 须满 足 1]
? g (1) ≥ 0, ?3a ? 2 ≥ 0, 2 即? 所以 ? ≤ a ? 0 . ? 3 ? g (?1) ≥ 0. ?? a ≥ 0.

? 2 ? 综上可知, a 的取值范围是 ? ? ,0? . ? 3 ?
22. (广东省深圳市南山区 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)

设函数 f ( x) ?

1 ( x ? 0且x ? 1) x ln x

(1)若 f ??x0 ? ? 0 ,求 x 0 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间;
a (3)已知 2 ? x 对任意 x ? (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围. 1 x

【答案】

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23. 广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学 ( (理) 试题) 已知函数 f ( x) ? e x ,

曲线 y ? f (x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 y ? g (x) (1)证明:对 ?x? R , f ( x) ? g ( x) ; (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ?

ax 恒成立,求实数 a 的取值范围 1? x

【答案】解:(1)由

f ( x) ? e x 得 f ?( x) ? e x

x0 x0 由题意知 g ( x) ? e ( x ? x0 ) ? e x0 x0 x0 x x 令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e ? e ( x ? x0 ) ? e ? e ? e ( x ? x0 ? 1)

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x0 x ? 则 h ( x) ? e ? e

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? 当 x ? x0 时, h ( x) ? 0 ,故 h(x ) 在 (??, x0 ) 单调递减 ? 当 x ? x0 时, h ( x) ? 0 ,故 h(x ) 在 ( x0 ,??) 单调递增
所以 h( x) ? h( x0 ) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x)
x (2)ⅰ)当 a ? 1 时,由(1)知,当 x0 ? 0 得 e ? x ? 1



f ( x) ? 1 ?

ax ax ax x( x ? 1 ? a ) ? ex ?1 ? ?x? ? ?0 1? x 1? x 1? x 1? x

x ⅱ)当 a ? 1 时,令 H ( x) ? ( f ( x) ? 1)( x ? 1) ? ax ? (e ? 1)( x ? 1) ? ax x ? 则 H ( x) ? e ( 2 ? x) ? 1 ? a x x ? ? 令 M ( x) ? H ( x) ? e (2 ? x) ? 1 ? a ,则 M ( x) ? e (3 ? x) ? 0 , 0 ? ? 故 H (x) 在 [0,??) 上单调递增,而 H (0) ? e (2 ? 0) ? 1 ? a ? 1 ? a ? 0

? 故存在区间 (0, x0 ) 使得 H ( x) ? 0 ,即存在区间 (0, x0 ) 使 H (x) 单调递减,

所以存在区间 (0, x0 ) 使得 H ( x) ? H (0) ? 0 ,即

f ( x) ? 1 ?

ax 1? x

这与

f ( x) ? 1 ?

ax 1 ? x 在 [0,??) 上恒成立矛盾

综上可得 a ? 1
24. (广东省汕头市第四中学 2013 届高三阶段性联合考试数学(理)试题)

1 3 1 2 x ? ax ? x ? b(a ? 0) , f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 3 2 (1)设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 y ? 3x ? 3 , 求 a, b 的值; ? ax (2)若函数 g ( x) ? e ? f '( x) ,求函数 g ( x) 的单调区间.
已知函数 f ( x) ?
【答案】

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②当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? (ⅰ)当

2 ?a a

2 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 2 时, a

g ( x) 的单调递增区间为 (0,
(ⅱ)当

2 ? a2 2 ? a2 ) ,单调递减区间为 (??,0) , ( , ??) ; a a

2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, g '( x) ? ? ?2 x2e?2 x ? 0 , a

故 g ( x) 在 (??, ??) 单调递减; (ⅲ)当

2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, a

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g ( x) 在 (

2 ? a2 2 ? a2 ) 上单调递减 , 0) 上单调递增,在 (0, ??) , (??, a a

综上所述,当 a ? 0 时, g ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??,0) ;

25 . 广 东 省 汕 头 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 统 一 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 集 合 (

A={ x ? R | y ? lg x },B={ x ? R | 2 x ? 2(1 ? a) x ? a(1 ? a) ? 0 },D=A∩B.
2

(I)当 a=2 时,求集合 D(用区间表示); (II)当 0 ? a ?

1 时,求集合 D(用区间表示); 2
3 2

(III)在(II)的条件下,求函数 f ( x) ? 4 x ? 3(1 ? 2a) x ? 6ax 在 D 内的极值点.
【答案】解:(1) A= x x ? 0

?

?

当 a=2 时 B= x ? R x 2 ? x ? 1 ? 0

?

?

解不等式 x 2 ? x ? 1 ? 0 得 x ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 或 x? 2 2

? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? ? ? ? B ? ?x x ? , 或x ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ?1 ? 5 ? ? A? B ? ? , ?? ? ? ? 2 ? ?
(2)不等式 2 x ? 2 ?1 ? a ? x ? a ?1 ? a ? ? 0 令 h ? x ? ? 2 x ? 2 ?1 ? a ? x ? a ?1 ? a ?
2 2

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2

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? ? ? ?2 ?1 ? a ? ? ? 4 ? 2 ? ?1 ? ? a a ? a a) ? ?
= 4 ?1 ? a ? ? 8 ?1 ? a ? a
2

= 4 ?1 ? a ??1 ? a ? 2a ? = 4 ?1 ? a ??1 ? 3a ? = 4 ? a ? 1?? 3a ? 1? ① 当0 ? a ?

1 时? ? 0 此时方程h ? x ? ? 0有两个不同的解 3

x1 ?

2 ?1 ? a ? ? 4 ? 3a ? 1?? a ? 1? 4 2 ?1 ? a ? ? 4 ? 3a ? 1?? a ? 1? 4

?

?1 ? a ? ? ? 3a ? 1?? a ? 1?
2

x2 ?

?

?1 ? a ? ? ? 3a ? 1?? a ? 1?
2

? B ? ? x x ? x1 , 或x ? x2 ?
?

x1 ? x2 ? 1 ? a
2

?0 ? a ?

1 3

? x1 ? x2 ? 1 ? a ? 0

x1 ? x2

?1 ? a ? ? ? 3a ? 1?? a ? 1? ? ? a ? 1?? a ? 1 ? 3a ? 1? ? ? a ? 1?? ?2a ? ? a ?1 ? a ? ? 0 ?
4 4 4 2

? x1 ? 0且x2 ? 0

? D ? A ? B ? ? 0, x ? ? ? x2 ? ? ?
? ?1 ? a ? ? ? 3a ? 1?? a ? 1? ? ? ?1 ? a ? ? ? 3a ? 1?? a ? 1? ? ??? ? ? 0, , ?? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 1 ② 当 a ? 时 ? =0此时方程h ? x ? ? 0有唯一解 3
x1 =x2 ?
③ 当

1 3

1? ?1 ? ? ? 1? ?1 ? 此时B ? ? ??, ? ? ? , ? ? 于是D ? A ? B ? ? 0, ? ? ? , ?? ? ? 3? ?3 ? ? ? 3? ? 3 ?
? ? 0对?x ? R h ? x ? ? 0
?B ? R

1 1 ?a? 时 3 2

? D ? A ? B ? A ? ? 0, ? ? ?
(3) ? f ? ? x ? ? 12 x ? 6 ?1 ? 2a ? x ? 6a
2

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? 6 ? 2 x 2 ? ?1 ? 2a ? x ? a ? ? ? ? 6 ? 2 x ? 1?? x ? a ?
令 f ?( x) ? 0得x1 ?

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1 , x2 ? a 2

?0 ? a ?

1 2

?当x ? a时f ?( x) ? 0 ? f ( x)在 ? ??, a ? 上单调递增
当a ? x ?

1 ? 1? 时f ?( x) ? 0 ? f ( x)在 ? a, ? 上单调递减 2 ? 2?

当x?

1 时f ?( x) ? 0 2 1 1 ?a? 时 3 2

?1 ? ? f ( x)在 ? ,? ? 上单调递增 + ?2 ?

① 当

D ? ? 0, ? ? ?

当 0 ? x ? a时f ? ? x ? ? 0 ? f ? x ? 在 ? 0, a ? 单调递增 当a ? x ?

1 时f ? ? x ? ? 0 2

?1 ? ? f ? x ? 在 ? ,? ? 上单调递增 + ?2 ?

当x?

1 时f ? ? x ? ? 0 2

?1 ? ? f ? x ? 在 ? ,? ? 上单调递增 + ?2 ?

1 ? f ? x ? 有极小值点为 ,极大值点为a 2
② 当a ?

1 ? 1 ? ?1 ? ? 时 D ? ? 0, ? ? ? , ? ? 3 ? ? ,3 ? ? 3 1 2

此时 f ? x ? 在D上有极小值点 ③ 0?a?

1 时 D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ? 3

x1

?1 ? a ? ? ? 3a ? 1?? a ? 1? ?1 ? a ? ? ? ?
2

3a 2 ? 4a ? 1 2

? 3a 2 ? 4a ? 1 ? ? 9a 2 ? 6a ? 1? ? ?6a 2 ? 2a ? ?2a ? 3a ? 1? ? 2a ?1 ? 3a ? ? 0

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? x1

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? 1 ? a ? ? 3a ? 1? 2 ? 1 ? a ? ?1 ? 3a ? 2
2a ?a 2

?1 ? a ? ? ?

9a 2 ? 6a ? 1 2

?

当1 ? 此时

?1 ? a ? ? 2 1 ? a ? 时 x2 ? 2 3
1 ? ? x2 , ?? ? 2

? 3a ? 1?? a ? 1?
2

?

1? a ? a 1 ? 2 2

又 ? x2 ?

?1 ? a ? ? ? 3a ? 1?? a ? 1?
2

?

1 ? a ? 9a 2 ? 6a ? 1 2 ? 4a ? ? 1 ? 2a 2 2

又? ?1 ? 2a ? ? a ? 1 ? 3a ? 0

? x2 ? 1 ? 2a ? a

? a ? ? x2 , ?? ? ,此时 f ? x ? 在D上有极小值点
当 0 ? a ? 1?

1 2

1? a ? 2 时 x2 ? 2

? 3a ? 1?? a ? 1?
2

?

1? a ? a 1 ? 2 2

此时f ? x ? 在D上没有极值点
综上所述:

1 1 1 时, f ? x ? 有极小值点为 ,极大值点为a ; ?a? 3 2 2 1 1 当 a ? 时 ,时 f ? x ? 在D上有极小值点 ; 3 2
当 当 0 ? a ? 1?

2 时 , f ? x ? 在D上没有极值点 ; 2

当1 ?

2 1 1 ? a ? 时 , f ? x ? 在D上有极小值点 ﹒ 2 3 2

26 . 广 东 省 汕 头 市 2013 届 高 三 3 月 教 学 质 量 测 评 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

f1 ( x) ? e| x ? a| , f 2 ( x) ? ebx .
(I)若 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? bf 2 ( ? x) ,是否存在 a,b ? R,y=f(x)为偶函数.如果存在.请 举例并证明你的结论,如果不存在,请说明理由; 〔II)若 a=2,b=1.求函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 在 R 上的单调区间;
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(III )对于给定的实数 a 的取值范围.

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成立.求

【答案】解:(Ⅰ)存在 a ? 0, b ? ?1 使 y ? f (x) 为偶函数,

证明如下:此时: f ( x) ? e ? e
x

?x

? ex , x ? R

? f (? x) ? e

?x

? e x ? e ? x ? f ( x) ,? y ? f (x) 为偶函数.

(注: a ? 0, b ? 0) 也可以) (Ⅱ)? g ( x) ? e
x ?2

?e x ? 2 ? e x ? ? e = ? 2? x ?e ? e x ?
x
x ?2

( x ? 2) ( x ? 2)

,

①当 x ? 2 时 g ( x) ? e

? e x ,? g ' ( x) ? e x ? 2 ? e x ? 0

? y ? g (x) 在 ?2,?? ? 上为增函数.
②当 x ? 2 时 g ( x) ? e 则 g ( x ) ? ?e
' 2? x 2? x

? ex ,

? e x ,令 g ' ( x) ? 0 得到 x ? 1 ,
'

(ⅰ)当 x ? 1 时 g ( x) ? 0 ,? y ? g (x) 在 ?? ?,1? 上为减函数. (ⅱ) 当 1 ? x ? 2 时 g ( x) ? 0 ,? y ? g (x) 在 ?1,2 ? 上为增函数.
'

综上所述: y ? g (x) 的增区间为 ?1,?? ? ,减区间为 ?? ?,1? . (Ⅲ)? f1 ( x) ? f 2 ( x0 ) ? 1 ,? f 2 ( x0 ) ? 1 ? f1 ( x) ? f 2 ( x0 ) ? 1

? ?x0 ? ?0,1?对?x ? ?0,1? , f 2 ( x0 ) ? 1 ? f1 ( x) ? f 2 ( x0 ) ? 1 成立.
即: ?

? f 2 ( x) min ? 1 ? f1 ( x) min ? f 2 ( x) max ? 1 ? f1 ( x) max

①当 b ? 0 时, f 2 ( x) 为增函数或常数函数,? 当 x ? [0,1] 时

? f 2 ( x) min ? f 2 (0) ? 1,

f 2 ( x) max ? f 2 (1) ? e b

? f1 ( x) ? e

x ?a

?0

? f 2 ( x) min ? 1 ? f 2 (0) ? 1 ? 0 ? f1 ( x) min 恒成立.

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? e b ? 1 ? e1? a

1 当a ? 时 f1 ( x) max ? f1 (1) ? e1? a 2 1 ? ln(e b ? 1) ? ln 2 ? ln e ? 2

? a ? 1 ? ln(eb ? 1)
1 2

?1 ? ln(e b ? 1) ?

1? ? ? a ? ?1 ? ln(e b ? 1), ? 2? ?
1 当a ? 时 f1 ( x) max ? f1 (0) ? e a 2 1 ? ln(e b ? 1) ? ln 2 ? ln e ? 2
? eb ? 1 ? e a

? a ? ln(eb ? 1)

?1 ? ? a ? ? , ln(e b ? 1) ? ?2 ?
综上所述:? a ? 1 ? ln(e ? 1), ln(e ? 1)
b b

?

?
在 [0, 1] 上 为 减 函





b?0



,

f 2 ( x)

数,? f 2 ( x) max ? f 2 (0) ? 1,

f 2 ( x) min ? f 2 (1) ? e b

? f1 ( x) ? e

x?a

? 0,

eb ? 1 ? e0 ? 1 ? 0

? f 2 ( x) min ? 1 ? f1 ( x) min 恒成立.

1 当a ? 时 f1 ( x) max ? f1 (1) ? e1? a 2

? f 2 ( x) max ? 1 ? 2 ? e1? a

?a ? 1? ln 2

1? ? ? a ? ?1 ? ln 2, ? 2? ?
1 当a ? 时 f1 ( x) max ? f1 (0) ? e a 2
?2 ? e a

?a ? ln 2

?1 ? ? a ? ? , ln 2 ? ?2 ?
综上所述:?a ? ?1? ln 2, ln 2 ? (13 分) 由①②得当 b ? 0 时, a ? 1 ? ln(e ? 1), ln(e ? 1) ;
b b

?

?

当 b ? 0 时, a ? ?1? ln 2, ln 2 ? .

27 . 广 东 省 梅 州 市 2013 届 高 三 3 月 总 复 习 质 检 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

1 f ( x) ? (a ? ) x 2 ? ln x( x ? R) . 2
(1)当 a=1 时, ?x0 ? [1, e] 使不等式 f ( x0 ) ? m ,求实数 m 的取值范围;
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【答案】

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(2)若在区间(1,+ ? )上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 的下方,求实数 a 的取值范围.

28. (广东省茂名市实验中学 2013 届高三下学期模拟(二)测试数学(理)试题(详解) 已知 )

函数 f(x)= e -1, g ( x) ?
x

x ? x ,其中 e 是自然对数的底,e=2.71828.

(1)证明:函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点; (2)求方程 f(x)=g(x)根的个数,并说明理由; (3)若数列{ an }( n ? N * )满足 a1 ? a(a ? 0)(a 为常数), f (an ?1 ) ? g (an ) , 证明:存在常数 M,使得对于任意 n ? N * ,都有 an ? M

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【答案】解:

(1)由 h(x)=f(x)-g(x)= e x -1- x ? x ,得: h(1)=e-3<0,h(2)=e -2- 2 >0,所以函数 h(x)在区间(1,2)上有零点. (2)由(1)得:h(x)= e x -1- x ? x 由 g ( x) ?
2

x ? x 知, x ? [0, ??) ,而 h(0) ? 0 ,则 x ? 0 为 h( x) 的一个零点,且 h( x) 在

( , 内有零点,因此 h( x) 至少有两个零点. 1 2)
解法 1: h'( x) ? e ?
x

1 ?1 1 ?1 1 ?3 x 2 -1,记 ? ( x) ? e x ? x 2 -1,则 ? '( x) ? e x ? x 2 . 2 4 2

当 x ? (0, ??) 时, ? '( x) ? 0 ,因此 ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,则 ? ( x) 在 (0, ??) 内至 多只有一个零点. h( x ) 有且只有两个零点. 所以,方程 f(x)=g(x)根的个数为 2. (3)记 h( x ) 的正零点为 x0 ,即 e 0 ? 1 ? x0 ?
x

x0 .
3

(1) 当 a ? x0 时 , 由 a1 ? a , 即 a1 ? x0 . 而 a2 ? a1 ? a1 ? x0 ?

x0 ? e x0 ? 1 , 因 此

a2 ? x0 ,由此猜测: an ? x0 .下面用数学归纳法证明:
①当 n ? 1 时, a1 ? x0 显然成立; ②假设当 n ? k (k ? 1) 时,有 ak ? x0 成立,则当 n ? k ? 1 时,由

ak ?13 ? ak ? ak ? x0 ? x0 ? e x0 ? 1 知, ak ?1 ? x0 ,因此,当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? x0 成
立. 故对任意的 n ? N , an ? x0 成立.
*

(2) 当 a ? x0 时 , 由 (1) 知 , h( x ) 在 ( x0 , ??) 上 单 调 递 增 . 则 h(a) ? h( x0 ) ? 0 , 即

a3 ? a ? a .从而 a23 ? a1 ? a1 ? a ? a ? a 3 ,即 a2 ? a ,由此猜测: an ? a .下面用
数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时, a1 ? a 显然成立;
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②假设当 n ? k (k ? 1) 时,有 ak ? a 成立,则当 n ? k ? 1 时,由

ak ?13 ? ak ? ak ? a ? a ? a 3 知, ak ?1 ? a ,因此,当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? a 成立.
故对任意的 n ? N , an ? a 成立.
*

综上所述,存在常数 M ? max{x0 , a} ,使得对于任意的 n ? N ,都有 an ? M .
*

29 . 广 东 省 茂 名 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

1 g ( x) ? ax3 ? 2 x 2 ? 2 x ,函数 f ( x) 是函数 g ( x) 的导函数. 3 (1)若 a ? 1 ,求 g ( x) 的单调减区间; x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (2)若对任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,都有 f ( 1 ,求实数 a 的取值 )? 2 2
范围; (3)在第(2)问求出的实数 a 的范围内,若存在一个与 a 有关的负数 M ,使得对任意 x ?[M ,0] 时 | f ( x) |? 4 恒成立,求 M 的最小值及相应的 a 值.

茂名市 2013 年第一次高考模拟考试数学试卷(理科
【答案】解:(1)当 a ? 1 时, g ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 2 x , g '( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 3

由 g '( x) ? 0 解得 ?2 ? 6 ? x ? ?2 ? 6

?当 a ? 1 时函数 g ( x) 的单调减区间为 (?2 ? 6, ?2 ? 6) ;
(2)易知 f ( x) ? g '( x) ? ax ? 4 x ? 2
2

依题意知

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2

2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 ax12 ? 4 x1 ? 2 ? ax2 ? 4 x2 ? 2 ? a( ) ? 4( )?2? 2 2 2

a ? ? ( x1 ? x2 )2 ? 0 4
因为 x1 ? x2 ,所以 a ? 0 ,即实数 a 的取值范围是 (0, ??) ; (3)解法一:易知 f ( x) ? ax ? 4 x ? 2 ? a( x ? ) ? 2 ?
2 2

2 a

4 ,a ? 0. a

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2 ?0 a

显然 f (0) ? ?2 ,由(2)知抛物线的对称轴 x ? ? ①当 ?2 ?

4 2 ? ?4 即 0 ? a ? 2 时, M ? (? , 0) 且 f ( M ) ? ?4 a a
?2 ? 4 ? 2a a

令 ax ? 4 x ? 2 ? ?4 解得 x ?
2

此时 M 取较大的根,即 M ?

?2 ? 4 ? 2a ?2 ? a 4 ? 2a ? 2

?0?a?2, ?M ?
②当 ?2 ?

?2 ? ?1 4 ? 2a ? 2

4 2 ? ?4 即 a ? 2 时, M ? ? 且 f ? M ? ? 4 a a
?2 ? 4 ? 6a a
?2 ? 4 ? 6a ?6 ? a 4 ? 6a ? 2

令 ax ? 4 x ? 2 ? 4 解得 x ?
2

此时 M 取较小的根,即 M ?

? a ? 2, ? M ?

?6 ? ?3 当且仅当 a ? 2 时取等号 4 ? 6a ? 2

由于 ?3 ? ?1,所以当 a ? 2 时, M 取得最小值 ?3 解 法 二 : 对 任 意 x ?[M ,0] 时 ,“ | f ( x) |? 4 恒 成 立 ” 等 价 于 “ f ( x )max ? 4 且

f ( x)min ? ?4 ”
由(2)可知实数 a 的取值范围是 (0, ??) 故 f ( x) ? ax ? 4 x ? 2 的图象是开口向上,对称轴 x ? ?
2

2 ? 0 的抛物线 a

①当 ?

2 ? M ? 0 时, f ( x) 在区间 [M ,0] 上单调递增, a

∴ f ( x)max ? f (0) ? ?2 ? 4 , 要使 M 最小,只需要

f ( x)min ? f ( M ) ? aM 2 ? 4M ? 2 ? ?4
若 ? ? 16 ? 8a ? 0 即 a ? 2 时,无解 若 ? ? 16 ? 8a ? 0 即 0 ? a ? 2 时,

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解得 M ?

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?2 ? 4 ? 2a 2 ?2 ? 4 ? 2a ? ? (舍去) 或 M ? ? ?1 a a a

故 M ? ?1(当且仅当 a ? 2 时取等号) ②当 M ??

2 2 时 , f ( x) 在 区 间 [ M ,? ]上 单 调 递 减 , 在 a a

2 (? , 0] 递增, f (0) ? ?2 ? 4, a 2 4 f (? ) ? ?2 ? ? ?4 则 a ? 2 , a a
要使 M 最小,则 f ( M ) ? aM ? 4M ? 2 ? 4 即
2

aM 2 ? 4M ? 6 ? 0
解得 M ?

?2 ? 4 ? 6a 2 ? ? (舍去) a a

或M ?

?2 ? 4 ? 6a ?6 ? ? ?3 (当且仅当 a ? 2 时取等号) a 4 ? 6a ? 2

综上所述,当 a ? 2 时, M 的最小值为 ?3

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