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高中文科数学立体几何知识点


立体几何知识点(文科)
一.平行关系
? l

方法二:用线面平行实现。

l // ?

1. 线线平行: 方法一:用线面平行实现。
? m

? ? m // ? ? ? ? // ? l , m ? ? 且相交? ?
二.垂直关系: 2. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。

β α

m

l

? ? l?? ? ? l // m ? ? ? ? m? ?
方法二:用面面平行实现。
l β γ α m

l // ?

l α


l ? AC

? // ? ? ? ? ? ? ? l ? ? l // m ? ? ? ? m? ?
方法三:用线面垂直实现。 若l

? ? l ? AB ? ??l ?? AC ? AB ? A? AC , AB ? ? ? ?
法二:用面面垂直实现。

A

C B

? ? , m ? ? ,则 l // m 。

方法四:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 共线且 l、m 不重合,则 l // m 。 2. 线面平行: 方法一:用线线平行实现。
l m α

? ?? ? ? ? ?? ? m ??l ?? l ? m, l ? ? ? ?
2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。

β

l m

α

β

l

l // m ? ? m ? ? ? ? l // ? l ?? ? ?
方法二:用面面平行实现。

l ??? ??? ? ? l ? ??
方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直:

α

l m α

? // ? ? ? ? l // ? l ? ??
方法三:用平面法向量实现。 若

β α

l

方法一:用线面垂直实现。

l ?? ? ??l ?m m ? ??
方法二:三垂线定理及其逆

n

为平面 ? 的一个法向量,

n

l
定理。

P A O

n ? l 且 l ? ? ,则 l // ? 。

α

3. 面面平行:方法一:用线线平行实现。

PO ? ? ? ? l ? OA ? ? l ? PA l ?? ? ?
三 夹角问题。
l

α

l

? ? m // m' ? ? ? ? // ? l , m ? ?且相交 ? l ' , m' ? ?且相交? ? l // l '

β α l' m'

m

(一) 异面直线所成的角: (1) 范围: (0?,90 ?] (2)求法:方法一:定义法。 1

步骤 1:平移,使它们相交,找到夹角。 步骤 2:解三角形求出角。(常用到余弦定理)

步骤 2:计算线段 PO 的长度。(直接解三角形;等体积法和等 面积法;换点法) 五、简单几何体 1 棱柱: (1) { 正方体 } ? { 正四棱柱 } ? { 长方体 } ? { 直平行六面 体} ? {直四棱柱} ? {四棱柱} ? {棱柱} {正方体} ? {正四棱柱} ? {长方体} ? {直平行六面 体} ? {平行六面体} ? {四棱柱} ? {棱柱} (2)棱柱的侧面积 S 侧

a2 ? b2 ? c2 余弦定理: cos? ? 2ab
(二) 线面角

(计算结果可能是其补角)

(1)定义:直线 l 上任取一点 P(交点除外) ,作 PO ?

? 于 O,

? C直l( 其中 C直 为直截面的周长, l ? C底 l ;
直棱柱的体积 V = S 底 h

连结 AO, 则 AO 为斜线 PA 在面 ? 内的射影,?PAO (图中 ? ) 为直线 l 与面 ? 所成的角。 (2)范围: [0?,90 ?] 当? 当?

为棱长 ) ; 棱柱的体积 V = S 底 h (3)直棱柱的侧面积 S 侧 (4)特殊棱柱长方体 A1B1C1D1-ABCD 的长、宽、高分别为 a 、b 、

P A θ

c



对角线长 l =

a2 ? b2 ? c2

? 0? 时, l ? ? 或 l // ? ? 90? 时, l ? ?

α

O

② ③

长方体外接球的直径 2R 等于对角线长 l ;

长方体的表面积 S=2 (ab ? bc ? bc) ; 长方体的体积

(3)求法:方法一:定义法。步骤 1:作出线面角,并证明。 步骤 2:解三角形,求出线面角。 (三) 二面角及其平面角 (1)定义: 在棱 l 上取一点 P, 两个半平面内分别作 l 的垂线 (射 线) m、 n, 则射线 m 和 n 的夹角 ? 为二面角 ? —l— ? 的平面角。 (2)范围: [0?,180 ?] (3)求法:方法一:定义法。 步骤 1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。 步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。 步骤 1:如图,若平面 POA 同时垂直于平面 ?和? ,则交线(射 线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。
β

V= abc ; ④ 正方体的内切球的直径等于棱长 1、 棱锥: (1) 棱锥的性质:若棱锥 P-ABC…被平行于底面 ABC 的截面 A1B1C1 所截,则 ① ② 多边形 ABC…∽多边形 A1B1C1…,设相似比为 ? ;

h截 h原
V=

? ?;

S截 S原

? ?2 ;

V截 V原

? ?3 。


? ? ? m P n l

1 S底 h 3
1 C底 h斜 ; 2 1 S底 h 3

⑵正棱锥(①底面是正多边形;②顶点在底面的射影是正多边 形的中心) ① S 正侧

?

②V=

3、多面体 ⑴正多面体只有五种:正四面体,正六面体,正八面体,正 十二面体,正二十面体。 其中正四面体、正八面体、正二十面体的面都是三角形, 正六面体的面是正方形, 正二十面体是五边形。

V ?F?E ?2

⑵简单多面体的顶点数 V 、面数 F 、棱数 E 之间的关系:

2、 球 ⑴球的截面有以下性质: ① 球心和截面圆心的连线垂直于截面 ② 球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有 以下的关系: r

步骤 2:解三角形,求出二面角。 四 距离问题。 1.点面距。 方法一:几何法。 步骤 1: 过点 P 作 PO ? 线段 PO 即为所求。
α

P θ O A

? R2 ? d 2 2 ⑵球的表面积: S ? 4?R ; 4 3 ⑶球的体积: V ? ?R 3

P

? 于 O,

? A

O

2


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