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中考数学专题复习 圆的有关概念及性质


中考数学专题复习圆的有关概念及性质
【基础知识回顾】 一、 圆的定义及性质: 1、 圆的定义: ⑴形成性定义:在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段 OA 叫做 ⑵描述性定义:圆是到定点的距离等于的点的集合 【名师提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆的半径决定圆的 2、直径是圆中的弦】 2、弦与弧: 弦:连接圆上任意两点的叫做弦 弧:圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类 3、圆的对称性: ⑴轴对称性:圆是轴对称图形,有条对称轴的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是 二、 垂径定理及推论: 1、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的 2、推论:平分弦()的直径,并且平分弦所对的 【名师提醒:1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分 弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注 意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线 3、在垂径定理的运用中,常涉及弦长 a、弦心距 d(圆心到弦的距离)、半 径 r 及弓形高 h(弦所对的弧的中点到弦中点的距离)这四者的关系,它们的关系为 三、圆心角、弧、弦之间的关系: 1、圆心角定义:顶点在的角叫做圆心角 2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒:注意:该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 四、 圆周角定理及其推论: 1、圆周角定义:顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角 2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的 推论 1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧 推论 2、半圆(或直弦)所对的圆周角是 900 的圆周角所对的弦是 【名师提醒:1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,它们的 关系是 2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 五、 圆内接四边形: 定义:如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做这个圆叫做 性质:圆内接四边形的对角 【名师提醒:圆内接平行四边形是圆内接梯形是】 考点一:垂径定理

例 1 (2012?绍兴)如图,AD 为⊙O 的直径,作⊙O 的内接正三角形 ABC,甲、乙两人的 作法分别是: 甲:1、作 OD 的中垂线,交⊙O 于 B,C 两点, 2、连接 AB,AC,△ABC 即为所求的三角形 乙:1、以 D 为圆心,OD 长为半径作圆弧,交⊙O 于 B,C 两点. 2、连接 AB,BC,CA.△ABC 即为所求的三角形. 对于甲、乙两人的作法,可判断( ) A.甲、乙均正确 B.甲、乙均错误 C.甲正确、乙错误 D.甲错误,乙正确

对应训练 1.(2012?哈尔滨)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠B=60° ,OP⊥AC 于点 P,OP=2 3 , 则⊙O 的半径为( ) D.12

A.4 3 B.6 3 C.8

考点二:圆周角定理 例 2 如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以 AC 为直径作⊙O,交 AB 于 D,E 为 BC 中点, 连 ED. (1)求证:ED 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 半径为 3,ED=4,求 AB 长?



对应训练 37.(2012?沈阳)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点, OD⊥AC,垂足为 E,连接 BD (1)求证:BD 平分∠ABC; (2)当∠ODB=30° 时,求证:BC=OD.

考点三:圆内接四边形的性质 例 3 (2012?深圳)如图,⊙C 过原点,且与两坐标轴分别交于点 A、点 B,点 A 的坐标为

? 上一点,∠BMO=120° (0,3),M 是第三象限内 OB ,则⊙C 的半径长为(
A.6 B.5 C.3 D.3 2



对应训练 3. (2011?肇庆) 如图, 四边形 ABCD 是圆内接四边形, E 是 BC 延长线上一点, 若∠BAD=105° , 则∠DCE 的大小是( ) A.115° B.l05° C.100° D.95°

【聚焦中考】 1.(2012?泰安)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 M,下列结论不成立的是 ( ) A.CM=DM

? ? DB ? B. CB

C.∠ACD=∠ADC

D.OM=MD

2.(2012?东营)某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架(如图 1),若不计木条 的厚度,其俯视图如图 2 所示,已知 AD 垂直平分 BC,AD=BC=48cm,则圆柱形饮水桶的 底面半径的最大值是 cm.

2.30

4.(2012?青岛)如图,点 A、B、C 在⊙O 上,∠AOC=60° ,则∠ABC 的度数是.

【备考真题过关】 一、选择题

2.(2012?陕西)如图,在半径为 5 的⊙O 中,AB、CD 是互相垂直的两条弦,垂足为 P, 且 AB=CD=8,则 OP 的长为( ) A.3 B.4 C.3 2 D.4 2

3.(2012?黄冈)如图,AB 为⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于 E,已知 CD=12,BE=2,则⊙O 的直径为( ) A.8 B.10 C.16 D.20

5.(2012?重庆)已知:如图,OA,OB 是⊙O 的两条半径,且 OA⊥OB,点 C 在⊙O 上, 则∠ACB 的度数为( ) A.45° B.35° C.25° D.20°

6. (2012?云南)如图,AB、CD 是⊙O 的两条弦,连接 AD、BC.若∠BAD=60° ,则∠BCD 的度数为( ) A.40° B.50° C.60° D.70°



7. (2012?襄阳)△ABC 为⊙O 的内接三角形,若∠AOC=160° ,则∠ABC 的度数是( A.80° B.160° C.100° D.80° 或 100°



8.(2012?泸州)如图,在△ABC 中,AB 为⊙O 的直径,∠B=60° ,∠BOD=100° ,则∠C 的度数为( ) A.50° B.60° C.70° D.80°

二、填空题 9.(2012?朝阳)如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为⊙O 的一条弦,CD⊥AB,垂足为 E,已 知 CD=6,AE=1,则⊙0 的半径为.

10.(2012?成都)如图,AB 是⊙O 的弦,OC⊥AB 于 C.若 AB=2 3 ,0C=1,则半径 OB 的长为.

11.(2012?嘉兴)如图,在⊙O 中,直径 AB 丄弦 CD 于点 M,AM=18,BM=8,则 CD 的 长为.

12.(2012?株洲)已知:如图,在⊙O 中,C 在圆周上,∠ACB=45° ,则∠AOB=.

13.(2012?玉林)如图,矩形 OABC 内接于扇形 MON,当 CN=CO 时,∠NMB 的度数是.

14.(2012?义乌市)如图,已知点 A(0,2)、B(2 3 ,2)、C(0,4),过点 C 向右 作平行于 x 轴的射线,点 P 是射线上的动点,连接 AP,以 AP 为边在其左侧作等边△APQ, 连接 PB、BA.若四边形 ABPQ 为梯形,则: (1)当 AB 为梯形的底时,点 P 的横坐标是; (2)当 AB 为梯形的腰时,点 P 的横坐标是.

三、解答题

16. (2012?荆门) 如图所示为圆柱形大型储油罐固定在 U 型槽上的横截面图. 已知图中 ABCD 为等腰梯形(AB∥DC),支点 A 与 B 相距 8m,罐底最低点到地面 CD 距离为 1m.设油 罐横截面圆心为 O,半径为 5m,∠D=56° ,求:U 型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参 考数据:sin53°≈0.8,tan56°≈1.5,π≈3,结果保留整数)

17.(2012?南通)如图,⊙O 的半径为 17cm,弦 AB∥CD,AB=30cm,CD=16cm,圆心 O 位于 AB,CD 的上方,求 AB 和 CD 的距离.

18. (2012?宁夏) 在⊙O 中, 直径 AB⊥CD 于点 E, 连接 CO 并延长交 AD 于点 F, 且 CF⊥AD. 求 ∠D 的度数.

19. (2012?长沙) 如图, A, P, B, C 是半径为 8 的⊙O 上的四点, 且满足∠BAC=∠APC=60° , (1)求证:△ABC 是等边三角形; (2)求圆心 O 到 BC 的距离 OD.

20.(2012?大庆)如图△ABC 中,BC=3,以 BC 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,若 D 是 AC 中点,∠ABC=120° . (1)求∠ACB 的大小; (2)求点 A 到直线 BC 的距离.



21.(2012?怀化)如图,已知 AB 是⊙O 的弦,OB=4,∠OBC=30° ,点 C 是弦 AB 上任意 一点(不与点 A、B 重合),连接 CO 并延长 CO 交⊙O 于点 D,连接 AD、DB. (1)当∠ADC=18° 时,求∠DOB 的度数; (2)若 AC=2 3 ,求证:△ACD∽△OCB.


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