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高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第6讲二次函数与幂函数课件文新人教版_图文

第二章 函数、导数及其应用

? 第6讲 二次函数与幂函数

◆高考导航· 顺风启程◆
最新考纲 1.了解幂函数的概念. 2.结合函数y=x,y=x2,y=x3, 1 1 y= x,y=x2的图象,了解它们 的变化情况. 3.理解二次函数的图象和性质. 4.能用二次函数、方程、不等式 之间的关系解决简单问题. 常见题型 二次函数图象与性质与一元二 次方程,一元二次不等式等知 识交汇命题是高考的一个热 点,求解一元二次不等式,一 元二次不等式恒成立及根的分 布问题,多以选择、填空题形 式出现中、低档题,占5分左右.

[知识梳理] 1.幂函数 (1)幂函数的定义 形如 y=xα α 为 常数 . (α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是 自变量 ,

(2)五种幂函数的图象

(3)五种幂函数的性质

2.二次函数 (1)二次函数的图象和性质

(2)二次函数表达式的三种形式 ①一般式: y=ax2+bx+c(a≠0) .

②顶点式: y=a(x+h)2+k (其中 a≠0, 顶点坐标为(-h, k)). ③两根式:y= a(x-x1)(x-x2) (其中 a≠0,x1、x2 是二次函数 的图象与 x 轴的两个交点的横坐标).

[知识感悟] 1.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满 足a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情 况. 2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第 四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂 函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐 标轴相交,则交点一定是原点.

3.函数y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)=f(x2),那 x1+x2 么函数y=f(x)的图象关于x= 2 对称. (2)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x) 成立的充要条件是函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(a为常数).

4.与二次函数有关的不等式恒成立的两个条件 (1)ax
2

? ?a>0, +bx+c>0,a≠0恒成立的充要条件是? 2 ? ?b -4ac<0. ? ?a<0, +bx+c<0,a≠0恒成立的充要条件是? 2 ? ?b -4ac<0.

(2)ax

2

5.会用两种数学思想 (1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次 方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路. (2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比 如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,讨论二次方程根 的大小等.

[知识自测] 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1 (1)函数y=2x2是幂函数.( )

(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原 点.( ) )

(3)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( (4)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[m,n]的最值一定是 4ac-b2 4a .( )

(5)关于x的不等式ax2+bx+c>0恒成立的充要条件是
? ?a>0, ? 2 ? ?b -4ac<0.

(

)
(2)√ (3)× (4)× (5)×

[答案] (1)×

2.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它 的图象可能是( )

[解析] 由a+b+c=0和a>b>c知a>0,c<0, 由c<0,排除A,B,又a>0,排除C. [答案] D

3.若幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不经过原点,则 实数m的值为 ________ .

[解析]

2 ? ?m -3m+3=1 由? 2 ?m -m-2≤0 ?

,解得m=1或2.

经检验m=1或2都适合. [答案] 1或2

题型一 例1 是( )

幂函数的图象与性质(基础保分题,自主练透)

(1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象

(2)(2018· 江西临川模拟)已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N*)的图 象与x轴、y轴无交点且关于原点对称,则m= ________ .

1 1 (3)(2018· 安庆三模)若(a+1)- 3<(3-2a)- 3,则实数a的取值范 围是 ________ .

1 [解析] (1)∵幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),∴f(x)=x2. (2)由题意知:m2-2m-3<0,∴(m-3)(m+1)<0,∴-1<m <3,∵m∈N*,m=1时不符题意,∴m=0,2. 1 1 (3)不等式(a+1)-3<(3-2a)-3等价于a+1>3-2a>0或3-2a <a+1<0或a+1<0<3-2a. 2 3 解得a<-1或3<a<2. [答案] (1)C (2)0,2
?2 3? (3)(-∞,-1)∪?3,2? ? ?

方法感悟 幂函数y=xα的性质和图象由于α的取值不同而比较复杂,一般 可从三方面考查: 1.α的正负:α>0时图象经过(0,0)点和(1,1)点,在第一象限的 部分“上升”;α<0时图象不过(0,0)点,经过(1,1)点,在第一象限 的部分“下降”; 2.曲线在第一象限的凹凸性:α>1时曲线下凹,0<α<1时曲 线上凸,α<0时曲线下凹; 3.函数的奇偶性:一般先将函数式化为正指数幂或根式形式, 再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.

【针对补偿】 1.下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是 ( )

1 1 - A.①y=x3,②y=x2,③y=x2,④y=x 1 1 - B.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x 1
3 2

1 - C.①y=x2,②y=x3,③y=x2,④y=x 1 1 1 - D.①y=x3,②y=x3,③y=x2,④y=x 1

[解析] 图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1,排除A, D,图象②中幂函数是偶函数,幂指数必为正偶数,排除C.故选B. [答案] B

4 2 1 2.(2016· 全国Ⅲ卷)已知a=23,b=45,c=253,则( A.b<a<c C.b<c<a B.a<b<c D.c<a<b

)

4 2 2 1 2 2 [解析] 因为a=2 3 =4 3 >4 5 =b,c=25 3 =5 3 >4 3 =a,所以b <a<c,故选A. [答案] A

3.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对 称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为( A.-3 C.2 B.1 D.1或2 )

[解析] 由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n= -3,经检验只有n=1适合题意,故选B. [答案] B

题型二 例2

求二次函数的解析式(重点保分题,共同探讨)

已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最

大值是8,试确定此二次函数的解析式.
[解] 法一:(利用一般式):

设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

?4a+2b+c=-1, ?a-b+c=-1, 由题意得? 2 4 ac - b ? ? 4a =8,

a=-4, ? ? 解得?b=4, ? ?c=7.

∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.

法二:(利用顶点式): 设f(x)=a(x-m)2+n.∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 ∴抛物线的对称轴为x= =2. 2 1 ∴m=2.又根据题意函数有最大值8,∴n=8.
? 1?2 ? ∴y=f(x)=a x-2? +8. ? ? ? 1?2 ∵f(2)=-1,∴a?2-2? +8=-1,解得a=-4, ? ? ? 1?2 ? ∴f(x)=-4 x-2? +8=-4x2+4x+7. ? ?

法三:(利用零点式): 由已知f(x)+1=0两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 4a?-2a-1?-a2 又函数有最大值ymax=8,即 =8. 4a 解得a=-4或a=0(舍). ∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.

方法感悟 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但 所给条件不同选取的求解方法也不同,选择规律如下:

【针对补偿】 4.已知二次函数图象的对称轴为x=- 为4,且过点(0,-1),求函数的解析式. 2 ,截x轴所得的弦长

[解] 因为二次函数图象的对称轴为x=- 2, 所以可设所求函数的解析式为f(x)=a(x+ 2)2+b. 因为二次函数f(x)的图象截x轴所得的弦长为4, 所以f(x)过点(- 2+2,0)和(- 2-2,0). 又二次函数f(x)的图象过点(0,-1),
? ?4a+b=0, 所以? ?2a+b=-1, ?

1 ? ?a = , 解得? 2 ? ?b=-2.

1 1 2 2 所以f(x)=2(x+ 2) -2=2x + 2x-1.

题型三 考向一

二次函数的图象与性质(高频考点题,多角突破) 二次函数的图象与识别

1.(2018· 黄岛月考)两个二次函数f(x)=ax2+bx+c与g(x)=bx2+ ax+c的图象可能是( )

b [解析] 函数f(x)图象的对称轴为x=- 2a ,函数g(x)图象的对称 a b a 轴为x=-2b,显然-2a与-2b同号,故两个函数图象的对称轴应该 在y轴的同侧.只有D满足.
[答案] D

考向二

二次函数的单调性问题

2.若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+∞)上单调递增,则实数a的 取值范围是
[解析]

________ .
2 ? x +ax-2a,x≥2, ? 2 ∵f(x)=x +a|x-2|,∴f(x)=? 2 ? ?x -ax+2a,x<2.

?-a≤2, ? 2 又∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴? ?a≤0, ?2
解得-4≤a≤0,即实数a的取值范围是[-4,0]. [答案] [-4,0]

考向三

二次函数的最值

3.已知函数f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求函数f(x)的最小值.
[解] (1)当a=0时,f(x)=-2x在[0,1]上单调递减,

∴f(x)min=f(1)=-2. 1 (2)当a>0时,f(x)=ax -2x的图象开口向上且对称轴为x=a.
2

1 ①当0<a≤1,即a≥1时,f(x)=ax2-2x的对称轴在[0,1]内,
? ?1 ? 1? ? ? ? ∴f(x)在 0,a 上单调递减,在 a,1?上单调递增. ? ? ? ? ?1? 1 2 1 ∴f(x)min=f?a?=a-a=-a. ? ?

1 ②当a>1,即0<a<1时,f(x)=ax2-2x的 对称轴在[0,1]的右侧,∴f(x)在[0,1]上单调递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2. 1 (3)当a<0时,f(x)=ax -2x的图象开口向下且对称轴x=a<0,
2

在y轴的左侧,∴f(x)=ax2-2x在[0,1]上单调递减, ∴f(x)min=f(1)=a-2.

? ?a-2,a<1, 综上所述,f(x)min=? 1 ? ?-a,a≥1.

考向四

二次函数中恒成立问题

4.已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+ m恒成立,则实数m的取值范围是 ________ .

[解析] f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m, 即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-m, 要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立, 只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1] 上的最小值大于0即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1. 由-m-1>0,得m<-1. [答案] m<-1

考向五

二次函数的零点问题

5.已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t. (1)求证:对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根;
? 1? 1 3 (2)若 2<t< 4 ,求证:函数f(x)在区间(-1,0)及?0,2?上各有一个 ? ?

零点.

[证明] (1)∵f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t, ∴f(x)=1?(x+2t)(x-1)=0,(*) ∴x=1是方程(*)的根,即f(1)=1. 因此x=1是f(x)=1的实根,即f(x)=1必有实根.
?1 ? 1 3 ? (2)当2<t<4时,f(-1)=3-4t>0,f(0)=1-2t=2 2-t?<0, ? ? ?1? 1 1 3 f?2?=4+2(2t-1)+1-2t=4-t>0. ? ?

又函数f(x)的图象连续不间断.
? 1? 因此f(x)在区间(-1,0)及?0,2?上各有一个零点. ? ?

方法感悟 1.识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应 的函数值这几个方面入手. 2.而用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时,要尽量 规范作图,尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的 交点要标清楚,这样在解题时才不易出错. 3.当二次函数的对称轴不确定时,应分类讨论,分类讨论的标 准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况. 求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此 要检验结果是否符合要求.

【针对补偿】 5.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( )

[解析] (1)由A,C,D知,f(0)=c<0. b ∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴x=-2a>0, 知A,C错误,D符合要求. b 由B知f(0)=c>0,∴ab>0,∴x=-2a<0,B错误. [答案] D

6.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有 f(x)<0成立,则实数m的取值范围是 ________ .

[解析] 作出二次函数f(x)的草图,对于任意x∈[m,m+1],
? ?f?m?<0, 都有f(x)<0,则有? ?f?m+1?<0, ?
2 2 ? ?m +m -1<0, 即? 2 ? ??m+1? +m?m+1?-1<0,

2 解得- 2 <m<0.

[答案]

? ?- ?

? 2 ? 2 ,0?

7.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于 零,求实数a的取值范围.
[解] 2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立. 3?1 1?2 1 当x=0时,适合;当x≠0时,a<2?x -3? -6, ? ? 1 1 因为x ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当x=1时,右边取最小值2,
? 1? 1 ? 所以a<2.综上,实数a的取值范围是 -∞,2?. ? ?


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