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精编2018高考数学(文科)习题第七章不等式提分训练74和答案

……………………………………………… ……………………………………………… 时间:45 分钟 基础组 1.下列命题正确的是( ) 1 ≥4 sin2x A.若 x≠kπ,k∈Z,则 sin2x+ 4 B.若 a<0,则 a+ ≥-4 a C.若 a>0,b>0,则 lga+lgb≥2 lga·lgb D.若 a<0,b<0,则 + ≥2 答案 解析 D 4 当 sin2x=1 时,1+1=2<4,所以 A 错;若 a<0,则 a+ ≤-4,B 错; a a b b a 因为 lg a,lg b 可以小于零,C 错;由 a<0,b<0,所以 , 都大于零,D 正确. b a a b t t+2 2.若不等式 2 ≤a≤ 2 在 t∈(0,2]上恒成立,则 a 的取值范围是( t +9 t ?1 ? A.? ,1? ?6 ? ?1 4 ? C.? , ? ?6 13? 答案 解析 D ?1 ? B.? ,2 2? ?6 ? ?2 ? D.? ,1? ?13 ? ) t t2+9 = 9 9 9 13 t 1 , 而 t+ 在(0,2]上单调递减, 故 t+ ≥2+ = , = 9 t t 2 2 t2+9 9 t+ t+ 1 t t 2 t+2 1 2 ?1 1? 1 1 1 t+2 ≤ (当且仅当 t=2 时等号成立), 2 = + 2=2? + ?2- ,因为 ≥ ,所以 2 13 t t t t 2 t ? t 4? 8 1 2 ? 1 1? 1 ?2 ? = + 2=2? + ?2- ≥1(当且仅当 t=2 时等号成立),故 a 的取值范围为? ,1?. t t ? t 4? 8 ?13 ? 1 3.设 a>b>c>0,则 2a2+ + A.2 C.2 5 答案 解析 B 原式= a2 + 1 ab a 1 -10ac+25c2 的最小值是( a-b B.4 D.5 ) ab + a 1 a-b + a2 - 10ac + 25c2 = a2 + b 1 a -b + (a - 4 4 5c)2≥a2+ 2+0≥4,当且仅当 b=a-b、a=5c 且 a2= 2,即 a=2b=5c= 2时等 a a 号成立,故原式的最小值为 4.故选 B. 1 4.已知 a>0,b>0,且 2a+b=4,则 的最小值为( ab ) A. 1 4 B.4 D.2 C 1 1 由 4=2a+b≥2 2ab,得 ab≤2,又 a>0,b>0,所以 ≥ ,当且仅 ab 2 1 C. 2 答案 解析 当 a=1,b=2 时等号成立. 5. 已知正数 x,y 满足 x+2y=2,则 x + 8y 的最小值为________. xy 点击观看解答视频 答案 解析 9 由已知得 x+2y 2 =1, 则 x+8y 1 8 ?1 8??x+2y? 1 x 16y 1 = + =? + ?? ?= 10+ + ≥ xy y x ? y x ?? 2 ? 2 y x 2 ( ) 4 1 (10+2 16)=9,当且仅当 x= ,y= 时取等号. 3 3 2y 8x 6.已知 x>0,y>0,若 + >m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y ________. 答案 解析 -4<m<2 2y 8x 根据题意,x>0,y>0,则 >0, >0, x y 2y 8x 所以 + ≥2 x y 2y 8x 2y 8x × =8,当且仅当 = 时, x y x y 2y 8x 即 y=2x 时等号成立,即 + 的最小值为 8. x y 2y 8x 若 + >m2+2m 恒成立,必有 m2+2m<8 恒成立, x y 所以 m2+2m<8,m2+2m-8<0,即-4<m<2. 7.已知点 P(x,y)到 A(0,4)和 B(-2,0)的距离相等,则 2x+4y 的最小值为 ________. 答案 解析 4 2 由题意得,点 P 在线段 AB 的中垂线上,则易得 x+2y=3, 3 ∴2x+4y≥2 2x·4y=2 2x+2y=4 2,当且仅当 x=2y= 时,等号成立,故 2 2x+4y 的最小值为 4 2. 8. 已知 x, y∈R, 满足 x2+2xy+4y2=6, 则 z=x2+4y2 的取值范围为________. 答案 解析 ∵2xy=6-(x +4y ),而 2xy≤ 2 2 x2+4y2 2 ,∴6-(x +4y )≤ 2 2 x2+4y2 2 ,∴x2 +4y2≥4,当且仅当 x=2y 时取等号.又∵(x+2y)2=6+2xy≥0,即 2xy≥-6,∴ z=x2+4y2=6-2xy≤12.综上可得 4≤x2+4y2≤12. ?1 ??1 ??1 ? 9. 已知 x, y, z 是互不相等的正数, 且 x+y+z=1, 求证: ? -1?? -1?? -1?>8. ?x ?? y ?? z ? 证明 1 1-x 因为 x,y,z 是互不相等的正数,且 x+y+z=1,所以 -1= = x x y+z 2 yz > ① x x 1 y 1 -1= 1-y y z = x+z 2 xz > ②, y y x+y 2 xy > ③, z z z -1= 1-z = 又 x,y,z 为正数,由①×②×③,得 ?1 ??1 ? ?1 ? ? -1?? -1?? -1?>8. ?x ?? y ? ? z ? 10.证明: 4 +a≥7(a>3). a -3 4 4 +a= +(a-3)+3≥2 a-3 a-3 4 a-3 证明 因为 a>3,所以 a- +3 =2× 4+3=7. 当且仅当 4 =a-3,即 a=5 时,等号成立. a-3 11.已知 lg (3x)+lg y=lg (x+y-1). (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+y 的