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【热点重点难点专题透析】2016届高考物理二轮复习-细致讲解专题二-力与物体的曲线运动课件资料_图文

【思维导图】

从近三年的高考试题可以看出,曲线运动、曲线运动的条件 及其应用、 万有引力定律的应用是历来高考考查的重点、 难 点和热点。试题不仅涉及一般的曲线运动、平抛运动、圆周 运动问题,还常常涉及天体运动、带电粒子在电场、磁场或 复合场中的运动问题。高考几乎年年有新题, “新”主要表 现在情景新、立意新、知识新、学科渗透新。试题多以现实 生活中的问题(如体育竞技、军事上的射击、交通运输等) 和空间技术(如航空航天)等立意命题,突出对综合应用知识 解决实际问题能力的考查。 正确进行受力分析是解答曲线运 动的基本前提,充分利用牛顿运动定律(向心力公式)则是分 析曲线运动的关键,应用万有引力定律分析天体的运动更是 本专题的热点与难点。 注意运动的独立性原理在平抛运动中 的应用及其推广;能综合能量分析变速曲线运动的临界问题 与最值问题;理解黄金代换式、万有引力定律与向心力关系 的不同表达式,灵活解决各类天体运动问题。

预计今后对曲线运动部分的考查点主要是平抛运动和 圆周运动,特别是与能量综合考查圆周运动的临界问题是考 查的重点,但考查的概率更大的则是以航空航天新动向为背 景,天体及卫星运动为载体的问题,综合考查考生的建模能 力、数学运算能力以及综合应用能力。

第一讲 平抛运动和圆周运动

【高效整合】 一、曲线运动 1.曲线运动的特点 做曲线运动的质点的速度方向沿曲线在这一点的①切 线方向。做曲线运动的质点的速度方向时刻改变,即速度时 刻改变,因此,曲线运动一定是②变速运动。 2.运动的合成与分解 (1)运动的合成:由分运动求合运动的过程。 (2)运动的分解:由合运动求分运动的过程。 (3)合运动与分运动的关系:

3.力与运动的关系 (1)力与运动形式的关系 物体运动的形式,按速度分类有匀速运动和变速运动, 按轨迹分类有直线运动和曲线运动。 运动的形式取决于物体 的初速度 v0 和合外力 F,具体分类如下。 ①F=0:静止或匀速运动。 ②F≠0:变速运动。 a.F 为恒量时:匀变速运动。 b.F 为变量时:非匀变速运动。 ③F 和 v0 的方向在同一直线上时:直线运动。 ④F 和 v0 的方向不在同一直线上时:曲线运动。 (2)力与轨迹的关系 做曲线运动的物体,所受合外力一定指向曲线的③凹侧, 曲线运动的轨迹不会出现急折,只能平滑变化,轨迹总在力 与速度的夹角中。若已知物体的运动轨迹,可判断出合外力

的大致方向;若已知合外力方向和速度方向,可推断物体运 动轨迹的大致情况。 (3)对速率变化情况的判断 ①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时,物体的速率 增大。 ②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时,物体的速率 减小。 ③当合力方向与速度方向垂直时,物体的速率不变。 (4)物体做曲线运动的条件可概括为下图的关系:

二、平抛运动 1.平抛运动的研究方法 平抛运动是一种典型的曲线运动,通过平抛运动可以掌 握分析曲线运动的基本思路和方法。 因为做平抛运动的物体 只受重力,在水平方向上不受外力,所以做平抛运动的物体 在水平方向上做匀速直线运动;在竖直方向上受到重力,初 速度在竖直方向上的分量为零,所以在竖直方向上做自由落 体运动。研究曲线运动通常采用“⑥化曲为直”的方法。 2.平抛运动基本规律 (1)飞行时间:由 t=⑦ 知,时间取决于下落高 度 h,与初速度 v0 无关。 (2)水平射程:x=v0t=⑧ ,即水平射程由初速 度 v0 和下落高度 h 共同决定,与其他因素无关。

(3)落地速度:v= 2 + 2 =⑨


,以θ表

示落地速度与 x 轴正方向间的夹角,有 tan θ= =



,所以落地速度只与初速度 v0 和下落高度

h 有关。 3.平抛运动的几个推论 (以抛出点为起点)
(1)速度关系:任意时刻速度均与初速度、 速度的变化量 组成一直角三角形,如图甲所示。

平抛时物体在任意相等的时间内速度的变化量相等,均 为Δv=gΔt,方向竖直向下。 (2)角度关系:任意时刻速度偏向角的正切值是位移偏 向角正切值的 2 倍。如图乙所示。 tan α=2tan θ。 (3)中点关系:任意时刻速度的反向延长线必通过该段 时间内发生的水平位移的 中点。 三、圆周运动 1.圆周运动 (1)匀速圆周运动 ①定义:物体沿着圆周运动,并且线速度大小处处相等 的运动。 ②特点:线速度的大小恒定,角速度、 周期和频率都是恒 定不变的。

③性质:速度大小不变而速度方向时刻在变化的变速曲
线运动。 ④条件:合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且 指向圆心。

(2)向心力与向心加速度 做圆周运动的物体所受到的沿半径指向圆心方向的外 力叫作向心力。 向心力的方向:总是沿着半径指向圆心,始终与线速度 方向垂直,方向时刻改变,所以向心力是变力。 向心力的作用:只改变线速度的方向,不改变线速度的 大小。 向心力是根据力的作用效果命名的,它使做圆周运动的 质点产生向心加速度。根据牛顿第二定律,使做匀速圆周运 动的质点产生向心加速度的向心力大小:

F 向=m =mrω2=m

2

4π 2

2

r=4π2mn2r=mωv。

【解题精要】 一、绳、杆相连物体的运动的分解 速度分解的一个基本原则就是按实际效果进行分解。 物 体的实际运动方向就是合速度的方向,然后分析由这个合速 度所产生的实际效果,以确定两个分速度的方向。 跨过定滑轮的物体拉绳(或绳拉物体)运动的速度分解: 因绳子没有弹性,物体速度 v 沿绳方向的分速度就是绳子运 动的速度,另一个分速度就是使绳子摆动的速度,两个分速 度互相垂直。 因杆既不伸长也不缩短,由杆相连的两个物体沿杆方向 的分速度相等。

如图甲所示,一轻绳通过无摩擦的小定滑轮 O 与 小球 B 连接,另一端与套在光滑竖直杆上的小物块 A 连接, 杆两端固定且足够长,物块 A 由静止从图示位置释放后 ,沿 甲 杆向上运动。设某时刻物块 A 运动的速度大小为 vA,小球 B 运动的速度大小为 vB,轻绳与杆的夹角为θ,则( )。 A.vA=vBcos θ B.vB=vAcos θ C.小球 B 减小的势能等于物块 A 增加的动能 D.当物块 A 上升到与滑轮等高时,它的机械能最大

乙 【解析】由运动的合成与分解可知,物体 A 参与两个分 运动:一个是沿着与它相连接的绳子的运动,另一个是垂直 于绳子斜向上的运动。 而物体 A 的实际运动轨迹是沿着竖直 杆向上的,这一轨迹所对应的运动就是物体 A 的合运动,它 们之间的关系如图乙所示。由几何关系可得 vB=v'=vAcos θ, 所以选项 A 错误、B 正确。A、B 组成的系统只有重力做功, 系统机械能守恒,系统重力势能的减小量等于系统动能的增 加量,则小球重力势能的减小量等于系统动能的增加量和 A 的重力势能的增加量,故 C 错误。除重力以外其他力做

的功等于机械能的增量,物块 A 上升到与滑轮等高前,拉力 做正功,机械能增加,物块 A 上升到与滑轮等高后,拉力做负 功,机械能减小,所以 A 上升到与滑轮等高时,机械能最大, 故选项 D 正确。 【答案】BD

【点评】对于运动的合成与分解,要注意一个定则和三 个原则,一个定则即平行四边形定则,运动分解时坚持三个 原则:(1)等效性原则,各分运动合起来的效果与实际的合运 动完全等效,可以互相替代;(2)实效性原则,根据运动的实 际效果将合运动分解;(3)灵活性原则,在不违背等效性原则 的前提下,根据解题的需要灵活分解。

二、小船渡河问题模型 小船渡河时同时参与了两个分运动,分别是随水漂流的 运动(水冲船的运动)和相对静水的运动(即船在静水中的运 动),船的实际运动是这两个分运动的合运动。 合运动是直线 还是曲线由两个分运动的性质决定,两个分运动都是匀速直 线运动时,其合运动也是匀速直线运动,其他情况时则不一 定是直线运动。

一般情况下河水的速度是不变的,但若认为河水的速度 是变化的将更接近实际情况。 若创设河水速度按一定规律变 化的新情景,将使船过河问题呈现出新的面貌。

有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为 v 的大河。小明驾着小船渡河,去程时船头指向始终与河岸垂 直,回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比 值为 k,船在静水中的速度大小相同,则小船在静水中的速 度大小为( )。 A. C.
2 -1 1- 2

B. D.

1- 2 2 -1

【点评】小船渡河问题要注意三个速度 v1(船在静水中 的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)之间的关系。 渡河时间只与垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无 关。

甲 如图甲所示,水平地面上固定一个光滑的绝缘斜

面 ABC,斜面的倾角θ=37°。一质量为 m,带电荷量为+q 的 小球从 O 点以初速度 v0 水平向右抛出, 恰好落在光滑斜面 顶端,并刚好沿斜面下滑,到达斜面底端 C 的速度是在顶端 A 的两倍。若空间存在方向竖直向下的匀强电场,电场强度 的大小
E= 2 ,再将小球从 3 5

O 点以一定的速度水平向右抛出。
4 5

则小球恰好落在光滑斜面底端 C 点,求此时小球水平抛出的 速度。(取 sin 37°= ,cos 37°= )

【解析】由题意可知:小球落到斜面上并沿斜面下滑, 如图乙所示,说明此时小球速度方向与斜面平行,否则小球 会弹起,所以,vy=v0tan
3 37°=4v0, 50 v= = cos 37 ° 4 0

乙 小球落到斜面上时有 vy=gt,解得 t=
30 4

O 到 A 的竖直位移 h=2gt2

1 30 2 90 2 h=2g( 4 ) = 32 30 2 s=v0t= 4

1

O 到 A 的水平位移

小球在斜面上做匀加速直线运动,由牛顿第二定律得加 速度 a=gsin 37°= 5
3

设斜面长为 l,由匀变速直线运动规律(2×
5 5 2 2 v 0) -( v0) =2al,解得 4 4 3 21 0 2 37°= 8 2 ,代入数值得 ' 125 0 2 l= 32

当有电场存在时,小球做类平抛运动,其等效重力加速 度为 g'=g+ = 2

O 到水平地面的高度 H=h+lsin

所以小球落到斜面底端的时间 t'=

t'=

14 0 2

O 到 C 的水平位移 x=s+lcos

31 0 2 37°= 8 v'=',代入数值得

故有电场时小球水平抛出的速度

v'=

31 14 0 。 56

【答案】

31 14 0 56

【点评】求解这类平抛运动问题,要注意如下几点:

第二步:找解题突破口 2 (1)已知平抛运动的竖直位移 h,利用公式 v =2gh 可求 出竖直速度。 由合速度沿斜面方向,利用几何关系,可求出水 平速度。 (2)利用公式
1 2 h=2gt 可求出

t,再利用 x=v0t 可求出水平

位移。 (3)小球在斜面上做匀变速直线运动,利用匀变速直线 运动规律可求出到达斜面底端的时间。 第三步:有条理作答。

四、竖直平面内圆周运动的绳、杆模型 在竖直平面内做圆周运动的物体,按运动至轨道最高点 时的受力情况可分为两类:一是无支撑的(如球与绳连接,沿 内轨道的“过山车”,等等),这类称为“绳(环)约束模型”; 二是有支撑的(如球与杆连接,球在弯管内的运动,等等),这 类称为“杆(管道)约束模型”。两种模型分析比较如下:

如图所示,在光滑水平面上竖直固定一半径为 R 的光滑半圆槽轨道,其底端恰与水平面相切。质量为 m 的小 球以大小为 v0 的初速度经半圆槽轨道最低点 B 滚上半圆槽, 小球恰能通过最高点 C 后落回到水平面上的 A 点。(不计空 气阻力,重力加速度为 g)求:

(1)小球通过 B 点时对半圆槽的压力大小。 (2)A、B 两点间的距离。 (3)小球落到 A 点时的速度方向。

【解析】 (1)在 B 点小球做圆周运动,由牛顿第二定律得
0 2 FN-mg=m 0 2 FN=mg+m 。

所以

(2)在 C 点小球恰能通过,故小球到达最高点时轨道的 弹力刚好等于零,只有重力提供向心力,由牛顿第二定律得
2 mg=m 1 2 点小球做平抛运动:xAB=vCt,h= gt ,h=2R 2

过C

联立以上各式可得 xAB=2R。 (3)设小球落到 A 点时,速度方向与水平面的夹角为θ, 则 tan θ= ⊥ ,v⊥=gt,2R= gt2 解得:tan θ=2
1 2

小球落到 A 点时,速度方向与水平面成θ角向左下方, 且 tan θ=2。
0 2 【答案】(1)mg+

(2)2R (3)见解析

【点评】解题时先分清是绳端球模型还是杆端球模型, 抓住绳端球模型中最高点 v≥ 及杆端球模型中最高点 v ≥0 这两个条件,然后利用牛顿第二定律求解。复习时要注 意培养自己的审题能力,要学会在读题时抓住关键词语,特 别是对“刚好”“恰好”“最大”“最小”“无压力”“轻 绳” “轻杆”等,要真正理解其含意。本题是线球模型,要注 意分析小球在最高点的弹力方向,正确求出在最高点所受合 外力的大小,再根据向心力公式求出速度的大小。

五、水平面内圆周运动的临界问题 此类问题要注意四个方面的分析:一是几何关系的分析, 目的是确定圆周运动的圆心、 半径等;二是运动分析,目的是 列出物体做圆周运动所需要的向心力公式(用运动学量来表 示);三是受力分析,目的是利用力的合成与分解的知识,表 示出物体做圆周运动时外界所提供的向心力;四是临界条件 的分析。其中临界状态是一个“分水岭”,“岭”的两边连 接着物理过程的不同阶段,各阶段物体的运动形式以及遵循 的物理规律往往不同,只有把握住临界条件,才能顺利求解。

如图甲所示,装置 BO'O 可绕竖直轴 O'O 转动,可 视为质点的小球 A 与两细线连接后分别系于 B、C 两点,装 置静止时细线 AB 水平,细线 AC 与竖直方向的夹角θ =37°,AB 细线上的拉力为零时,绳 AC 与竖直方向的最大夹 角为 53°。已知小球的质量为 m,细线 AC 长为 l,B 点距 C 点的水平距离和竖直距离相等。



(1)若 AB 细线水平且拉力等于重力的一半,求此时装置 匀速转动的角速度ω1 的大小。 (2)若使 AB 细线上的拉力为零,求装置匀速转动的角速 度ω的取值范围。

乙 【解析】(1)受力分析如图乙所示,由牛顿第二定律 TACcos θ=mg TACsin θ-TAB=m(lsin θ)1 2 解得 ω1=
5 。 12

(2)由题意,当ω最小时绳 AC 与竖直方向夹角θ1=37°, 受力分析如图丙



mgtan θ1=m(lsin θ1)min 2
得ωmin=
5 4

当ω最大时绳 AC 与竖直方向夹角θ2=53° mgtan θ2=m(lsin θ2)max 2 得ωmax=
5 3 5 ≤ω≤ 4 5 。 3 5 3

所以ω取值范围为 【答案】(1)
5 12

(2)

5 ≤ω≤ 4

【点评】 圆周运动中常见的临界问题有:(1)存在静摩擦 力作用的圆周运动,静摩擦力等于最大静摩擦力是分析求解 这类问题的重要临界条件。(2)存在轻绳弹力作用的圆周运 动,轻绳的拉力为零是求解这类问题的重要临界条件。当有 多根轻绳作用时可以用极限分析法找到多个临界值。 然后分 情况讨论。 (3)存在接触面支持力作用的圆周运动,支持力为 零是求解这类问题的重要临界条件。

【审题范例】 【例题】(2015 年·海南卷)如图,位于竖直水平面内 的光滑轨道由四分之一圆弧 ab 和抛物线 bc 组成,圆弧半径

Oa 水平,b 点为抛物线顶点。已知 h=2 m,s= 2 m。取重力 加速度大小 g=10 m/s2。

(1)一小环套在轨道上从 a 点由静止滑下,当其在 bc 段轨道运动时,与轨道之间无相互作用力,求圆弧轨道的半 径。 (2)若环从 b 点由静止因微小扰动而开始滑下,求环到 达 c 点时速度的水平分量的大小。

【规范答题】(1)小环套从 ab 滑落过程中,根据动能定 理有 mgR= m 2 -0 当小环套在 bc 段轨道运动时,与轨道之间无相互作用 力,则说明下落到 b 点时的速度,使得小环套做平抛运动的 轨迹与轨道 bc 重合,故有
2 4? 1 2 s=vbt,h=2gt 1 2

联立解得 R= =0.25 m。 (2)小环套沿 bc 段轨道下滑过程,根据动能定理有
1 mgh=2m 2 -0

设小环套滑到 c 点时速度方向与竖直方向的夹角为θ, θ等于(1)问中做平抛运动过程中经过 c 点时速度与竖直方 向的夹角,根据平抛运动规律可知 sin θ=
2 +2gh

=

1 = +? 3



根据运动的合成与分解可知 sin θ= 联立解得 v 水平=
2 gh =2 2 +4h

水平

m/s。

【答案】(1)0.25 m

(2)2 m/s

第二讲 万有引力定律及其应用

【高效整合】 一、开普勒行星运动定律 开普勒三个定律的内容如下表所示:

三、卫星运行规律 1.地球同步卫星的特点

2.极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极,由于地球自 转,极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运 动的卫星,其运行的轨道半径可近似认为等于④地球的半径, 其运行线速度约为 7.9 km/s。 (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的⑤球心。

四、万有引力问题的“一种模型、两条思路、三个物 体、四个关系” 1.一种模型 无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞 船、人造卫星)都可以看作质点,它们都围绕中心天体(视为 静止)做匀速圆周运动。 2.两条思路 2 (1)万有引力提供向心力,即 G=m=mω r=mr=ma。 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力,即 =mg 或 gR2=GM(R、g 分别是天体的半径、表面重力加速度), 2 公式 gR =GM 应用广泛,被称为“黄金代换”。

3.三个物体 求解卫星运行问题时,一定要认清三个物体(赤道上的 物体、近地卫星、同步卫星)之间的关系。

4.四个关系 “四个关系” 是指人造卫星的加速度、 线速度、 角速度、 周期与轨道半径的关系。

= 2

越高越慢

【解题精要】 一、万有引力定律的应用 1.天体重力加速度、质量和密度的估算 (1)天体表面附近表面附近重力加速度 忽略地球自转时,天体表面附近重力加速度 g=G 2 ,高 h 处重力加速度 g'=(
+?

)2g。

(2)利用天体表面的重力加速度 g、天体半径 R 和引力 常量 已知天体表面重力加速度、天体半径和引力常量,由
mg=G 2 得 2 g 3 M= ,天体密度ρ= =4 3 = 。 4 π π
3

(3)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨 道半径 r ①由万有引力等于向心力, 若已知卫星的轨道半径 r 和卫星的运行周期 T、角速度ω或线速度 v,可求得中心天 体的质量为 M===。 ②若已知天体的半径 R,则天体的平均密度ρ===。 ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为 其轨道半径 r 等于天体半径 R,则天体密度ρ=,可见,只要 测出卫星环绕天体表面运动的周期 T,就可估测出中心天体 的密度。

2.计算时应注意的问题
(1)由于环绕天体的质量m被约分,因此不能求出它的质量和密 度. (2)环绕天体的轨道半径r等于中心天体的半径R加上环绕天体离 中心天体表面的高度h,即r=R+h. (3)当环绕天体在中心天体表面绕行时,轨道半径r=R.

随着我国探月三步走计划的实现,中华儿女到月 球上去旅游不再是梦想,将来有一天你会成功登上月球。若 月球质量是地球质量的81 ,月球半径约是地球半径的4,地球 表面的重力加速度是 g,地球的半径为 R,你在地面上能向上 竖直跳起的最大高度是 h,忽略自转的影响,下列说法正确 的是( )。 A.你以与在地球上相同的初速度在月球上起跳后,能达 到的最大高度是 8 h
8 B.月球表面的重力加速度是81 g 4 C.月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为9 16 81 1 1

D.月球的密度为

27 π

【解析】物体在月球和地球表面附近做竖直上抛运动, 上升的最大高度可由运动学公式 h= 求得,由公式可知上升
2 2

的最大高度与当地的重力加速度成反比,根据万有引力定律 得,地球表面上的重力加速度 速度 由
1 g= 2 ,月球表面上的重力加 1 2 ' 2 1 2 16 g'= 2 ,所以 = 2 =81 ,故选项 2 1 2 81

B 错误;因速度相同,

2 h=2 得

h'g'=hg,解得 h'=16 h,所以选项 A 错误;

2 由牛顿第二定律有 G 2 =m ,得到 v= ,月球的第一 2 宇宙速度是地球第一宇宙速度的9,故 C 错误;设月球的质量 ' 为 M',半径为 R',由万有引力定律可得:G 2 =mg',解 ' '2 g ' ' ' 3 ' 16 得:M'= ,密度ρ= =4 = ,故 D 正确。 3= 4 π ' 27 π π '
3

【答案】D

【点评】估算天体质量和密度时应注意: (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天 体质量时,估算的只是中心天体的质量而非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r,只有在天体表面 附近的卫星,才有
4 r≈R;计算天体密度时,V=3πR3 中的“R”

只能是中心天体的半径。

双星问题具有如下特点: (1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之 间的万有引力提供的,故两行星做匀速圆周运动的向心力大 小相等。 (2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动, 因此它们的运行周期和角速度是相等的。 (3)两颗行星做匀速圆周运动的半径 r1 和 r2 与两行星间 距 L 的大小关系:r1+r2=L。

宇宙中两个相距较近的星球可以看成双星,它们 只在相互间的万有引力作用下,绕两球心连线上的某一固定 点做周期相同的匀速圆周运动。根据宇宙大爆炸理论,双星 间的距离在不断缓慢增加,设双星仍做匀速圆周运动,则下 列说法正确的是( )。 A.双星相互间的万有引力减小 B.双星做圆周运动的角速度增大 C.双星做圆周运动的周期减小 D.双星做圆周运动的半径增大

【解析】根据宇宙大爆炸理论,双星间的距离在不断缓 慢增加,双星做圆周运动的半径增大,由万有引力定律,双星 相互间的万有引力减小,选项 A、D 正确;由牛顿第二定律

G 2 =mrω2=m



4π 2

2

r,双星做圆周运动的角速度减小,周期增

大,选项 B、C 错误。 【答案】AD

【点评】求解双星或多星问题要注意如下几点: (1)两子星做圆周运动的向心力大小是相等的,利用万 有引力定律可以求得其大小。 (2)双星中两颗子星做匀速圆周运动的线速度与两子星 的轨道半径成正比。 (3)要特别注意的是在求两子星间的万有引力时,两子 星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。 (4)对于多星问题常用隔离法求解,即对其中的某星球 进行研究,其他星球对该星球的引力的合力提供其做圆周运 动的向心力。

三、卫星的变轨问题 若 运行。 若 若
2 G 2 <m ,供不应求——卫星做离心运动。 2 G 2 >m ,供过于求——卫星做近心运动。 2 G 2 =m ,供求平衡——卫星做匀速圆周运动,稳定

在同一椭圆轨道上,近地点速度大于远地点速度;不管 在哪一个轨道上,由 a=G 2 可知,同一点加速度相同。

2014 年 12 月 11 日 03 时 33 分,中国在酒泉卫星 发射中心用 “长征四号” 丙运载火箭成功将遥感卫星二十五 号发射升空,如图所示,发射时先将遥感卫星发送到一个椭 圆轨道上,其近地点 M 距地面 200 km,远地点 N 距地面 330 km。 进入该轨道正常运行时,其周期为 T1,通过 M、N 点时的速率 分别是 v1、v2,加速度分别为 a1,a2。当遥感卫星某次通过 N 点时,地面指挥部发出指令,点燃飞船上的发动机,使遥感卫 星在短时间内加速后进入离地面 330 km 的预定轨道,开始绕 地球做匀速圆周运动,周期为 T2,这时遥感卫星的速率为 v3, 加速度为 a3。

比较遥感卫星飞船在 M、N、P 三点正常运行时(不包括点火 加速阶段)的速率大小和加速度大小及在两个轨道上运行的 周期,下列结论正确的是( )。

A.v1>v2>v3 B.a2=a3>a1 C.T1<T2 D.卫星在圆轨道所具有的机械能小于在椭圆轨道所具 有的机械能

【解析】 当某次飞船通过 N 点时,地面指挥部发出指令, 点燃飞船上的发动机,使飞船在短时间内加速后进入离地面 330 km 的圆形轨道,所以 v3>v2,根据
G 2 =ma,加速度 2 G 2 =m 得;v= 又因

为 r1<r3,所以 v1>v3 故 v1>v3>v2,故 A 错误。根据万有引力提
供向心力,即 a= 2 ,由图可知 a2=a3<a1,故 B 3 错误。根据开普勒第三定律知, 2 =k,所以 T1<T2,故 C 正确。

因圆轨道的高度大于椭圆轨道的高度,故卫星在圆轨道所具 有的机械能大于在椭圆轨道所具有的机械能,故选 D 错误。 【答案】C

【点评】当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或 关闭发动机或空气阻力作用),万有引力不再等于所需向心 力,卫星将变轨运行:
2 (1)当卫星的速度突然增加时,G 2 <m ,即万有引力不

足以提供向心力,卫星将做离心运动,轨道半径变大,当卫星 进入新的轨道稳定运行时,由 v= 原轨道时小。
2 (2)当卫星的速度突然减小时,G 2 >m ,即万有引力大 可知其运行速度比在

于所需要的向心力,卫星将做近心运动,轨道半径变小,当卫 星进入新的轨道稳定运行时,由 v= 在原轨道时大。
可知其运行速度比

四、卫星中的功能关系与能量 人造天体具有较大的动能时,它将上升到较高的轨道运 动,而在较高轨道上运动的人造天体却具有较小的动能。反 之,如果人造天体在运动中动能减小,它的轨道半径将减小, 在这一过程中,因引力对其做正功,故其动能将增大。 同样质 量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。 其中卫星的动能 为
Ek= 2 ,因为重力加速度

g 随高度增大而减小,所以重力
Ep=- (设无穷

势能不能再用 Ep=mgh 计算,而要用到公式

远处引力势能为零,M 为地球质量,m 为卫星质量,r 为卫星轨 道半径。因为从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功, 所以系统势能减小,为负)。因此机械能
E=- 2 。同样质量

的卫星,轨道半径越大,即离地面越高,卫星具有的机械能越 大,发射越困难。

设一卫星在离地面高 h 处绕地球做匀速圆周运 动,其动能为 Ek1,重力势能为 Ep1。与该卫星等质量的另一卫 星在离地面高 2h 处绕地球做匀速圆周运动,其动能为 Ek2,重 力势能为 Ep2。则下列关系式中正确的是( )。 A.Ek1>Ek2 B.Ep1 >Ep2 C.Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 D.Ek1+Ep1< Ek2+Ep2

【解析】由万有引力充当向心力 G
1 2 mv =G ,所以 2 2( +?)

( +?)
2

=

2 +?



Ek1=G



2( +?)

、Ek2=G



2( +2?)

,选项 A 正确;取


无穷远处重力势能为零,则卫星在某一轨道上的重力势能

Ep=-G



+?

,所以在离地面高 h 处机械能为 Ek1+Ep1=-G
2( +2?)

2( +?)

,在

离地面高 2h 处机械能为 Ek2+Ep2=-G 【答案】AD

,选项 D 正确。

【点评】 (1)卫星在不同的轨道上运动,如果忽略阻力作 用,则机械能守恒,即 Ek+Ep=恒量。 (2)若卫星在不同的轨道上运动受到阻力作用,则机械 能减小,但动能不一定减小。

【审题范例】 【例题】(2015 年·安徽卷)由三颗星体构成的系统,忽 略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式:三颗星体 在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个 顶点上,绕某一共同的圆心 O 在三角形所在的平面内做相同 角速度的圆周运动(图甲为 A、B、C 三颗星体质量不相同时 的一般情况)。若 A 星体质量为 2m,B、C 两星体的质量均为 m,三角形的边长为 a,求:



(1)A 星体所受合力大小 FA。 (2)B 星体所受合力大小 FB。 (3)C 星体的轨道半径 RC。 (4)三星体做圆周运动的周期 T。

乙 【规范答题】(1)根据万有引力定律,A 星体所受 B、C
2 2 星体引力大小为 FBA=G 2 =G 2 =FCA,方向如图乙所示,则 2 星体所受合力大小为 FA=2 3G 2 。

A

(2)由万有引力定律,B 星体所受 A、C 星体引力大小分
2 2 2 FAB=FBA=G 2 ,FCB=G 2

别为

方向如图乙所示

根据正交分解有:B 星体在 x 轴方向所受分力

FBx=FABcos

2 60°+FCB=2G 2

B 星体在 y 轴方向所受分力 FBy=FABsin 60°= B 星体所受合力 FB= + =
2 2 2 7G 2 。

2 3G 2

(3)通过分析可知,三颗星体做圆周运动的圆心 O 为中 垂线 AD 的中点 所以 C 星体的轨道半径 RC= (
3 2 a ) 4

+ ( 2 a) ,可得

1

2

RC=

7 a。 4

(或:由对称性可知 OB=OC=RC ,cos∠OBD=

= = ,得

1 a 2

RC= 4 a) FC=FB=

7

(4)三星体运动周期相同,对 C 星体,由
2 2π 2 7G 2 =m( ) RC,可得 3 。 2 3G 2

T=π

【答案】(1)2 (4)π
3

(2)

2 7G 2

(3)

7 a 4


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