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第34届中国数学奥林匹克试题及解析!

. . . 第三十四届中国数学奥林匹克 第一天 1. a, b, c, d, e ≥ ?1 a + b + c + d + e = 5 的 数. S = (a + b)(b + c)(c + d)(d + e)(e + a) . 解法一 1 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a 一 数 ( (b + c)(c + d)(d + e)(e + a) ≤ ≥ ?162. 2 2 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a 数 ≤ 64 ≥ ?512. ≥ ?512 ( ≤ 3 数 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a 3 数 3 数 ≥ ?2 2 a+b<0 10 ? a ? b 4 )4 ≤ 81 a + b ≥ ?2 2018 11 . 数 ≤ 16 . a = b = c = d = ?1, e = 9 1 2 2 数 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a a + b, b + c, c + d, d + e, e + a . a + b, c + d > 0 a+b+c+d=5?e≤6 一 )5 2a + 2b + 2c + 2d + 2e = 32. 5 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a 一 (a + b)(c + d) ≤ 9. a + b, b + c, c + d, d + e, e + a ∈ [?2, 8] 3 e ≥ ?1 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a e+a≥4 ≤ 288 解法二 . a = b = c = ?1, d = e = 4 ≤ (?2)2 × 9 × 8 = 288. a+b > 0 . (b + c) + (d + e) ≤ 0 a≥5 a1 = a + b, a2 = c + d, a3 = e + a, a4 = b + c, a5 = d + e 5 ∑ i=1 ai = 2(a + b + c + d + e) = 10 a = 5 ? a4 ? a5 数 b, c, d, e. a, b, c, d, e ≥ ?1 ? ai + ai+1 ≤ 6(a6 = a1 ) ∑ {ai } ai 5 ai = aT (i) ∏ ai = 10, ai + ai+1 ≤ 6(a6 = a1 ) 些 5 的一 T ai 些 的 的 ai aT (i) ai 的 的 . 一 aT (i) 的 . . We are fools,we love math. 1 微信公众号 数学竞赛的那些事儿 1 ∏ 2 一 ? ? ??x + 2y + 2z = 10 ? ? ?x + y ≤ 6 ? ? ? ?y + z ≤ 6 ∏ ai ≥ ?162 i ? ?y + z ≤ 6 ?2y + z = 10 + 2x ≤ 12 ? z ( ? xy z ≤ x 2 2 ai ≤ 25 = 32 y+z 2 )4 ( )4 6 ≤2· = 162 2 {a, b, c, d, e} = {?1, ?1, 4, ?1, 4} . 3 二 ? 2x + z ≤ 2 ( )3 ( )3 2 2 2 x y z≤ ·y ≤ · 62 < 32 3 3 2 2 4 二 ii ? ? ? z≤3 ? ? ? ? ? ?x ≤ 2 ? y≤8 ? ? ? ?z ≤ 3 y ≤6+x ? ? ? ?y + 2z = 10 + 2x x2 z 2 y ≤ 4 · 9 · 8 = 288 5 二 i ? ? ? x≤3 ? ? y≤2 ? ? ? ?z ≤ 2 6 二 ii ? {a, b, c, d, e} = {?1, ?1, ?1, 4, 4} . ? x2 y 2 z ≤ 8 · 9 = 72 ? ?y, z ≤ 2 ?x ≤ 8 7 一 ? x2 y 2 z ≤ 29 = 512, {a, b, c, d, e} = {?1, ?1, ?1, ?1, 9} . ? ?x ≤ 6 + y ≤ 8 ?y, z ≤ 2 288 a, b, c, d, e xy 2 z 2 ≤ 8 · 24 < 288 ?1, ?1, ?1, 4, 4 ?1, ?1, ?1, ?1, 9 . ?512 a, b, c, d, e .We are fools,we love math 2 微信公众号 数学竞赛的那些事儿 2. P, Q 证明 Pm a, b 1 a ? b ? ka ? kb 2 a ? b, b ? c ? a ? c 3 2k + 1 4 5 6 a?b 3. △ABC EB 一 证法一 O2 ⊙(AKD) F AD ⊙O 1, 2 1, 2 2 的数 的 AB < AC, O K Q ?= A. PQ D 数 2的 {2k + 1, 2k (k + 1), k + (k + 1) } 2 2 数 a, b, c 一 数 a, b a?b 的 P1 , P2 , · · · , Pm {a, b, c} P = P1 , Q = Pm P 1 , P2 , · · · , P m 的 . 2k + 1 ? 2k (k + 1) (1) . 2a , 2b , a, b ≥ 2 P, Q 的 ∠BAC △ABC . P, Q . 一 BC E 一 BC P ?= D 一 数 数 2的 k . . ? 1 ≤ i ≤ m ? 1, P1 ∩ Pi+1 ?= ?. Pi ∩ Pi+1 ?= ? a ∈ P1 , b ∈ 数m≥2 2k + 1 . 数 数的 {3, 4, 5}, {5, 12, 13}, {12, 16, 20}, {15, 20, 25}, {7, 24, 25},

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