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高中数学一轮复习专题学案——向量综合练习


高中数学一轮复习——向量综合练习
一.基础练习 1. 设 a, b 是不同线两个向量,已知 AB ? 2a ? pb, BC ? a ? b, DC ? ?a ? 2b ,若 A , B , D 三点共线,则 p=___________. 2.若 a ? ? 0,1? , b ? ?1,1? ,且 a ? ? b ? a ,则 ? 的值是___________. 3. 已知平面上四个互异的点 A 、 B 、 C 、 D 满足 ( AB ? AC) ? (2 AD? BD? CD ) ? 0,则 △ABC 的形状为 ___________. 4. 在 △ABC 中 , ∠ BAC = 120? , AB=AC=2 , D 为 BC 边 上 的 点 , 且 AD ? BC ? 0 , CE ? 2EB , 则

?

?

A D? A E? ___________.
5.设 P 是椭圆

x2 y 2 1 ? ? 1 上任意一点,A 和 F 分别是椭圆的左顶点和右焦点, 则 PA ? PF ? PA ? AF 的 25 16 4

最小值为___________. 二.典型例题 例 1.已知 a ? 3, b ? 2, a与b 的夹角为 60 ? , c ? 3a ? 5b, d ? ma ? 3b . (1) 当 m 为何值时, c 与 d 垂直; (2) 当 m 为何值时, c 与 d 共线.

例 2.已知向量 m ? (1,1) ,向量 m 与 n 的夹角为 ? ,且 m ? n ? ?1 . (1)求向量 n . (2)若向量 n 与向量 q ? (1,0) 的夹角为

3 4

?
2

,向量 p ? (cos A,2cos2 ) ,其中 A,C 为 ?ABC 的内角,且 A,B,C

u r

c 2

依次成等差数列,求 n ? p 的取值范围.

例 3.如图,在 Rt ?ABC 中,已知 BC ? a ,若长为 2 a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ 与 BC 的夹角 ? 取 何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值.

C

a

A

B

例 4.已知两点 M (?1, 0), N (1, 0), 有点 P 使 MP ? MN , PM ? PN , NM ? NP 成公差小于零的等差数列. 求: (1)点 P 的轨迹是什么? (2)若点 P 的坐标是 ( x0 , y0 ) , ? 为 PM 与 PN 的夹角,求 tan? .

三.课后作业 5? 1? ? ? 1.已知 a ? ? ? 3, ? , b ? ? 3, ? ? , 则 a ? 2b 与 a ? b 的夹角 ? =___________. 3? 3? ? ? 2.已知平面向量 a ? (2, 4) , b ? (?1, 2) .若 c ? a ? (a ? b )b ,则 | c |? _____________. 3.已知 a ? ?1,2? , b ? ?1,1? , 且 a 与 a ? ? b 的夹角为锐角,实数 ? 的取值范围是__________. 4.在 ?ABC 中, OA ? ? 2cos? ,2sin ? ? , OB ? ?5cos ? ,5sin ? ? ,若 OA ? OB ? ?5 , 则 S?ABC ? __________. 5. 已知向量 OA, OB, OC 满足条件 OA ? OB? OC ? 0 , 且 OA ? OB ? 1, OC ? 2 , 则三角形 ABC 的形状是 ______________. 6.已知直线 x ? y ? a 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 A , B 两点,且 OA ? OB ? OA ? OB ,其中 O 为坐标原点,则实数

a 的值为________________.
7. 点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 内或边界上一动点, N 是边 BC 的中点,则 AN ? AM 的最大值是 _____________. 8. 在 △ABC 中 , 已 知 向 量 AB与AC满足( _____________.

AB AC AB AC 1 ? ) ? BC ? 0且 ? ? , 则 △ABC 的 形 状 是 | AB | | AC | | AB | | AC | 2

9.设 O ? 0,0 ? , A ?1,0 ? , B ? 0,1? ,点 P 是线段 AB 上的一个动点, AP ? ? AB ,若

OP ? AB ? PA ? PB ,则实数 ? 的取值范围是______________. 10.已知点 O 在△ ABC 内部,且有 OA ? 2OB ? 4OC ? 0 ,则△ OAB 与△ OBC 的面积之比为_____. 11.已知 A(3,0), B(0,3), C(cos ?,sin ?)
(1)若 AC ? BC ? ?1, 求 sin(? ?

?
4

)的值;

| OA ? OC |? 13, 且? ? (0, ? ),求OB与OC 的夹角. (2) O 为坐标原点,若


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