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高考数学试卷分析


北京市近五年高考数学试题分析 北京市近五年高考数学试题分析
一. 在模块的交汇处设计试题 “在知识点的交汇处设计试题” ,基本确定了高考数学试题命制 的理论。这一提法得到了命题专家的认同,更得到了广大中学数学教 师的赞许。在这一理论框架指导下,数学试题避免了在难度上大起大 落的现象发生,保持了一定的稳定性。纵观北京近五年的高考数学试 卷,在这方面的特点尤其显著: 二.重点知识与数学思想方法------常考常新 高考命题, 不刻意追求知识点的覆盖率, 不回避重点知识的考查, 这是当前高考数学试题的另一个特色。重点知识:是那些在整个高中 数学知识体系中的主干;重要方法:就是在学生数学思维发展过程中 起到“推波助澜”作用的思想与方法。将这些“陈旧”的知识点与思 想方法设计成新颖的数学试题,整个试卷才会显得“骨骼强大”“肌 、 肉丰满” 。 三.承上启下的明显特点: 数学考试,要发挥数学作为基础学科的作用,要考查考生对中学 的基础知识、基本技能的掌握程度,要考查考生进入高等学校继续学 习的潜能。所以高中数学学习既是初中的延续也是大学学习的起点, 北京高考数学试题具有这些特点,初、高中知识与方法的衔接,尤其 是二次函数、二次方程、二次不等式的结合,因式分解应用,韦达定 理在解析几何中的运用。 四.擦边球:数学竞赛中的思想和方法
1

高考是一种选拔性的考试,这就决定了以能力为意的命题原则。 新的课程标准提倡不同的人学不同的数学, 那么数学科考试也应该有 “不同的人考不同的数学”的特点,这类题目就是俗称的“压轴题” 。 近几年,北京数学试卷的“压轴题”往往与数学竞赛中的思想与方法 相关联:

2

北京市近五年高考数学试题分析三角函数部分 北京市近五年高考数学试题分析三角函数部分 年高考) (06 年高考)已知函数 f ( x ) = (I)求 f ( x) 的定义域; (II)设 α 是第四象限的角,且 tan α = ? ,求 f (α ) 的值. Z 解:(Ⅰ)由 cosx≠0 得 x≠kπ+ (k∈Z),
2 4 3 1 ? sin 2 x . cos x

π

故 f(x)的定义域为{|x|x≠kπ+ ,k∈Z}. Z
2 4 (Ⅱ)因为 tanα= ? ,且α是第四象限的角, 3 4 3 所以 sinα= ? ,cosα= ,故 5 5

π

? 4? 3 1? 2× ? ? ?× 1 ? sin 2α 1 ? 2sin α cos α ? 5 ? 5 = 49 . f(α)= = = 3 cos α cos α 15 5

【解析】本题第一问考察的是三角函数图像,利用图像求定义域 问题。第二问考察了三角函数求值,象限角符号以及二倍角的应用。 本题属于简单题,主要是考察简单的运算能力。

π 年高考) (08 年高考)已知函数 f ( x) = sin 2 ω x + 3 sin ω x sin ? ω x + ? ( ω > 0 )的 ? ? ? 2?

最小正周期为 π . (Ⅰ)求 ω 的值;
2π (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? ? ? 3? 1 ? cos 2ω x 3 + sin 2ω x 2 2

解: (Ⅰ) f ( x) =
=

3 1 1 π? 1 ? sin 2ω x ? cos 2ω x + = sin ? 2ω x ? ? + . 2 2 2 6? 2 ?
3

因为函数 f ( x) 的最小正周期为 π ,且 ω > 0 , 所以
2π = π ,解得 ω = 1 . 2ω

π 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) = sin ? 2 x ? ? + . ? ? ? 6? 2

因为 0 ≤ x ≤

2π , 3 π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 6 6 6 1 π 所以 ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤ 1 . ? ? 2 ? 6? π 1 3 3 因此 0 ≤ sin ? 2 x ? ? + ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . ? ? ? ? ? 6? 2 2 ? 2?

【解析】本题第一问主要是考察诱导公式,正弦余弦二倍角公式, 周期公式及化简。第二问考察的是三角函数图像 y = A sin(ω x + ? ) 求值 问题。

年高考) (09 年高考)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B =
4 cos A = , b = 3 .(Ⅰ)求 sin C 的值; 5

π
3



(Ⅱ)求 ?ABC 的面积. (Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B = , cos A = , ∴C =
2π 3 ? A,sin A = , 3 5 3

π

4 5

∴ sin C = sin ? ?

2π 3 1 3+ 4 3 ? ? A? = cos A + sin A = . 2 10 ? 3 ? 2 3 5 3+ 4 3 ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A = ,sin C =

4

又∵ B = , b = 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得
3

π

∴a =

b sin A 6 = . sin B 5

∴△ABC 的面积 S = ab sin C = × × 3 ×

1 2

1 6 2 5

3 + 4 3 36 + 9 3 = 10 50

【解析】本题问中主要考察解三角形三个内角和为 180 度,转 换成已知角求未知角问题,还有三角函数的基本运算公式。第二问中 主要是正弦定理及三角形面积公式的应用。属于简单题。

年高考) (10 年高考)已知函数 f ( x) = 2 cos 2 x + sin 2 x (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的最大值和最小值 解: (Ⅰ) f ( ) = 2 cos
π 3
2π π 3 1 + sin 2 = ?1 + = ? 3 3 4 4

π 3

(Ⅱ) f ( x) = 2(2 cos 2 x ? 1) + (1 ? cos2 x) [来源:学_科_网]
= 3cos 2 x ? 1, x ∈ R

因为 cos x ∈ [ ?1,1] ,所以,当 cos x = ±1 时 f ( x) 取最大值 2;当
cos x = 0 时, f ( x ) 去最小值-1。

【解析】考察了三角函数值的知识及利用诱导公式求值问题。第 二小题考察了利用二倍角公式化简问题,根据三角函数值求值问 题。主要考察的是三角函数的基本运算能力。

【总结】 : 1..知识点:近五年三角函数考察的知识点大概有诱导公式,象
5

限角,正余弦函数图像性质及转换,正余弦两角和与差公式,二倍角 公式,三角函数求值,正余弦定理,三角形面积公式等。 2.分析:函数的解答题大致分为两方面,一种是解三角形问题, 这其中主要注意的就是三角形内角和,利用正余弦定理解题,计算量 较多。第二类问题就是求值问题,已知三角函数值求值,代入解析式 求值,以及化简求值,利用图像求值几种。 3.建议:在已知正弦,余弦,正切中一个,求另外两个三角函数 值主要是公式的应用,还有注意象限角符号。在化简中经常用到二倍 角公式以及两角和差的正余弦公式。图像中就是图像的转换,上加下 减,左加右减,上下伸长压缩,左右身长压缩等,观察函数的最大值 最小值。三角函数题主要是利用基础知识来解题,因此掌握基本知识 非常重要。

北京市近五年高考数学试题分析立体几何部分 北京市近五年高考数学试题分析立体几何部分

北京卷理) (本小题共 14 分) 1. (2006 北京卷理)(17) 如图,在底面为平行四边表的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ⊥ AC , PA ⊥ 平面 ABCD ,且 PA = AB ,点 E 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证: AC ⊥ PB ; (Ⅱ)求证: PB // 平面 AEC ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的大小.

解法: 解法: (Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD, ∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB⊥AC,AC ? 平面 ABCD,
6

∴AC⊥PB. (Ⅱ)连接 BD,与 AC 相交于 O,连接 EO. ∵ABCD 是平行四边形, ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO∥PB. 又 PB ? 平面 AEC,EO ? 平面 AEC, ∴PB∥平面 AEC. (Ⅲ)取 BC 中点 G,连接 OG,则点 G 的坐标为
uuur a b b ( , , 0) , OG = (0, , 0) . 2 2 2 uuu r b b uuur 又 OE = (0, ? , ), AC = (a, 0, 0). 2 2 ∴ OE ⊥ AC , OG ⊥ AC , ∴∠EOG 是二面角 E ? AC ? B 的平面角 uuu uuur r uuu uuur r OE ? OG 2 Q cos EOG = cos < OE , OG >= uuu uuur = ? . r 2 OE ? OG
∴∠EOG = 135O ∴ 二面角 E-AC-B 的大小为 135o .

【考查内容】本题主要考查两条异面直线垂直的证明、直线与平面平 考查内容】 行的判定、平面与平面所成二面角等知识。

北京卷理)16 ( )16. (本小题共 2. (2007 北京卷理)16. 本小题共 14 分) 如图,在 Rt△ AOB 中, ∠OAB = ,斜边 AB = 4 . Rt△ AOC 可以通过
Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得到, 且二面角 B ? AO ? C 是直二面角. 动

π 6

点 D 的斜边 AB 上. (I)求证:平面 COD ⊥ 平面 AOB ; (II) D 为 AB 的中点时, 当 求异面直线 AO 与 CD 所 成角的大小; (III)求 CD 与平面 AOB 所成角的最大值.
A

D

解法: (I)由题意, CO ⊥ AO , BO ⊥ AO , 解法:

O C

B

7

∴∠BOC 是二面角 B ? AO ? C 是直二面角,

又Q 二面角 B ? AO ? C 是直二面角,
∴ CO ⊥ BO ,又Q AO I BO = O ,

∴ CO ⊥ 平面 AOB ,

又 CO ? 平面 COD .
∴ 平面 COD ⊥ 平面 AOB .

,则 DE ∥ AO , (II)作 DE ⊥ OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图)
∴∠CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角.

在 Rt△COE 中, CO = BO = 2 , OE = BO = 1 ,
∴ CE = CO 2 + OE 2 = 5 .
1 又 DE = AO = 3 . 2 ∴ 在 Rt△CDE 中, tan CDE = CE 5 15 = = . DE 3 3

1 2

A

D

O 15 . 3 C

E

B

∴ 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan

(III)由(I)知, CO ⊥ 平面 AOB ,
∴∠CDO 是 CD 与平面 AOB 所成的角,且 tan CDO = OC 2 = . OD OD

当 OD 最小时, ∠CDO 最大, 这时, OD ⊥ AB ,垂足为 D , OD =
OA OB 2 3 = 3 , tan CDO = , AB 3

∴ CD 与平面 AOB 所成角的最大值为 arctan

2 3 . 3

【考查内容】 本题主要考查平面和平面垂直的判定、两异面直线所 考查内容】 成的角、直线与平面所成角等基础知识,考查学生运算能力和推理论
8

证能力.

3. (2008 北京卷理)16. 本小题共 14 分) 北京卷理)16 ( )16. (本小题共 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC = BC = 2 , ∠ACB = 90o , AP = BP = AB , P
PC ⊥ AC .

(Ⅰ)求证: PC ⊥ AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 APB 的距离.

A C

B

解法: (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD . 解法:
Q AP = BP , ∴ PD ⊥ AB .
Q AC = BC ,
A C E B P

∴ CD ⊥ AB .

Q PD I CD = D ,

∴ AB ⊥ 平面 PCD .
Q PC ? 平面 PCD ,

∴ PC ⊥ AB .

(Ⅱ)Q AC = BC , AP = BP ,
∴△ APC ≌△BPC .

又 PC ⊥ AC ,
9

∴ PC ⊥ BC .

又 ∠ACB = 90o ,即 AC ⊥ BC ,且 AC I PC = C ,
∴ BC ⊥ 平面 PAC .

取 AP 中点 E .连结 BE,CE .
Q AB = BP ,∴ BE ⊥ AP .
Q EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影,

∴ CE ⊥ AP . ∴∠BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.

在 △BCE 中, ∠BCE = 90o , BC = 2 , BE =
∴ sin ∠BEC = BC 6 = . BE 3 6 . 3

3 AB = 6 , 2

P

H D B

∴ 二面角 B ? AP ? C 的大小为 arcsin

A

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 AB ⊥ 平面 PCD ,
∴ 平面 APB ⊥ 平面 PCD .

C

过 C 作 CH ⊥ PD ,垂足为 H .
Q 平面 APB I 平面 PCD = PD , ∴ CH ⊥ 平面 APB . ∴ CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离.

由(Ⅰ)知 PC ⊥ AB ,又 PC ⊥ AC ,且 AB I AC = A ,
∴ PC ⊥ 平面 ABC . Q CD ? 平面 ABC , ∴ PC ⊥ CD .
10

在 Rt△PCD 中, CD = AB = 2 , PD =
∴ PC = PD 2 ? CD 2 = 2 .
∴ CH = PC CD 2 3 = . PD 3 2 3 . 3

1 2

3 PB = 6 , 2

∴ 点 C 到平面 APB 的距离为

【考查内容】 本题主要考查两异面直线垂直的证明、两平面所成二 考查内容】 面角面所成角,点到平面距离,棱锥体积等知识。

4.( 北京卷理) (本小题共 4.(2009 北京卷理) 本小题共 14 分) ( 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥ 底面
ABC , PA = AB, ∠ABC = 60° , ∠BCA = 90° , D ,E 分别在 点

棱 PB, PC 上,且 DE // BC (Ⅰ)求证: BC ⊥ 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成 的角的大小; (Ⅲ) 是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理 由.

解法: (Ⅰ)∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC. 解法: 又 ∠BCA = 90° ,∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面 PAC. (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC,
11

∴ DE = BC , 又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AB,又 PA=AB, ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD =
1 AB , 2
1 2

1 2

∴在 Rt△ABC 中, ∠ABC = 60° ,∴ BC = AB . ∴在 Rt△ADE 中, sin ∠DAE =
DE BC 2 = = , AD 2 AD 4 2 . 4

∴ AD 与平面 PAC 所成的角的大小 arcsin

(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC, 又∵AE ? 平面 PAC,PE ? 平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A ? DE ? P 的平面角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AC,∴ ∠PAC = 90 . ∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC,这时 ∠AEP = 90° , 故存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 是直二面角. 【考查内容】本题主要考查直线和平面垂直的判定、直线与平面所成 考查内容】 的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力.
°

5.( 北京卷理)16( 5.(2010 北京卷理)16(本小题共 14 分) 如图, 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面

12

互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2 ,CE=EF=1. (Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDE; (Ⅲ)求二面角 A-BE-D 的大小。 解法: 解法:
1 证明: (I) AC 与 BD 交于点 G, 设 因为 EF∥AG, EF=1, 2 , 且 AG= AC=1,

所以四边形 AGEF 为平行四边形。所以 AF∥EG。 因为 EG ? P 平面 BDE,AF ? 平面 BDE,所以 AF∥ 平面 BDE。 (II) 因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平 面互相垂直,且 CE⊥AC,所以 CE⊥AC,所以 CE ⊥平面 ABCD。如图,以 C 为原点,建立空间直 ,D( 2 ,0, 角坐标系 C-xyz。则 C(0, 0, 0) ,A( 2 , 2 ,0)
2 2 2 2 uuu r 0) ,E(0, 0, 1) ,F( 2 , 2 ,1) 。所以 CF =( 2 , 2 ,1) , uuu r uuu r uuur uuu r BE = (0, 2 , ,DE = - 1) (- 2 , 1) 所以 CF · BE = 0-1+1=0, 0, 。

uuu r uuur CF · DE =-1+0+1=0。所以 CF⊥BE,CF⊥DE,所以 CF⊥平面

BDE
2 2 uuu r (III)由(II)知, CF =( 2 , 2 ,1) ,是平面 BDE 的一个法向 r r r uuu r uuu r 量,设平面 ABE 的法向量 n =(x,y,z),则 n · BA =0, n · BE =0。

? ? ( x, y, z ) ? ( 2, 0, 0) = 0 ? ? 即 ?( x, y, z ) ? (0, ? 2,1) = 0
13

所以 x=0,且 z= 2 y。令 y=1,则 z= 2 。所以 n=( 0,1, 2 ) ,从而 cos
r uuu r n , CF )= (

r uuu r n ? CF 3 r uuu = r 2 n ? CF

π

因为二面角 A-BE-D 为锐角,所以二面角 A-BE-D 为 6 。 【考查内容】 本题主要考查直线和平面平行的判定、直线与平面垂 考查内容】 直的判定、二面角等基础知识,考查空间向量和运算能力。

总结 知识点: 1. 知识点:此部分是高中数学必修 2 中的内容,近几年高考中立体 几何部分主要考查在简单几何体中证明线面垂直关系.线面平行关 系。直线和平面平行关系、主要通过线面垂直的。判定定理、性质定 理,线面平行的判断定理、性质定理来推理证明。同时异面直线垂直 的证明和平面与平面垂直和平行的证明也会有不同程度的考查。 求异 面直线所成的角、两平面所成二面角的大小也是主要考查的内容。偶 尔也会考查几何体的表面积和体积。 2.分值分析: 2.分值分析: 立体几何部分的考查主要处于第二道大题的位置,有 分值分析 时选择题和填空题中也会有相应的考查, 分值基本在 13~19 分之间, 占总分的 10%左右. 3.学习建议: 3.学习建议: 此题型属于容易题,是应得分的题。学生在学习过程 学习建议 中应注意对各判定定理和性质定理的理解, 在理解的基础上加强其应 用,拓展空间想象力,最重要的是运用空间向量解决二面角的问题, 计算一定要准确。
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北京市近五年高考数学试题分析概率部分 北京市近五年高考数学试题分析概率部分 五年高考数学 2010 年(17)(本小题共 13 分) www.@ks@5u.com (17) 某同学参加 3 门课程的考试。 假设该同学第一门课程取得优秀成 绩的概率为 , 第二、 第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , ( p q > q ),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优 秀成绩的课程数,其分布列为 ξ
p

4 5

0
6 125

1
a

2
d

3
24 125

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求 p , q 的值; (Ⅲ)求数学期望 E ξ。 (17) (共 13 分)www.@ks@5u.com 解:事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩” i =1,2,3,由题意 , 知
P ( A1 ) = 4 , P( A2 ) = p , P( A3 ) = q 5

(I) 由于事件 “该生至少有 1 门课程取得优秀成绩” 与事件 ξ = 0 ” “ 是对立的,所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是
1 ? P (ξ = 0) = 1 ? 6 119 = , 125 125

(II)由题意知
1 6 P (ξ = 0) = P ( A1 A2 A3 ) = (1 ? p )(1 ? q ) = 5 125 4 24 P (ξ = 3) = P ( A1 A2 A3 ) = pq = 5 125 6 , p + q =1 整理得 pq = 125
15

由 p > q ,可得 p = , q = . (III)由题意知 a = P(ξ = 1) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = (1 ? p)(1 ? q) + p(1 ? q) + (1 ? p)q
4 5 37 = 125 1 5 1 5

3 5

2 5

b = P (ξ = 2) = 1 ? P (ξ = 0) ? P (ξ = 1) ? P (ξ = 3)

=

58 125

Eξ = 0 × P (ξ = 0) + 1× P (ξ = 1) + 2 P (ξ = 2) + 3P (ξ = 3)

=

9 5

北京卷理( (本小题共 13 分) 2009 北京卷理(5) 某学生在上学路上要经过 4 个路口, 假设在各路口是否遇到红灯 是相互独立的,遇到红灯的概率都是 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. (Ⅰ) 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概 率; (Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ξ 的分布 列及期望. 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概 解析】 率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用 概率与统计知识解决实际问题的能力. (Ⅰ) 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事 件 A,因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到 红灯,在第三个路口遇到红灯” ,所以事件 A 的概率为
16

1 3

? 1? ? 1? 1 4 . P ( A ) = ?1 ? ? × ?1 ? ? × = ? 3 ? ? 3 ? 3 27

(Ⅱ) 由题意,可得 ξ 可能取的值为 0, 2,4, 8 6, (单位: ) min . 事件“ ξ = 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯” k = 0, ( 1,2,3,4) ,
1 2 ∴ P (ξ = 2k ) = C ? ? ? ? ? ? ? ? ?3? ? 3?
4 k k 4? k

( k = 0,1, 2,3, 4 ) ,

∴即 ξ 的分布列是
ξ
P

0
16 81

2
32 81

4
8 27

6
8 81

8
1 81

∴ ξ 的期望是 Eξ = 0 ×

16 32 8 8 1 8 + 2× + 4× + 6× + 8× = . 81 81 27 81 81 3

17. (本小题共 13 分) 2008 年 17. 甲、 乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服 务,每个岗位至少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ) 设随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数, ξ 的 求 分布列. 17. (共 13 分) 解: (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 E A ,那么
17

P( E A ) =

A33 1 = , 2 4 C5 A4 40
1 . 40

即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是

(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么
P( E ) = A44 1 = , 2 4 C5 A4 10

所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E ) = 1 ? P ( E ) =

9 . 10

(Ⅲ)随机变量 ξ 可能取的值为 1,2.事件“ ξ = 2 ”是指有两人同时 参加 A 岗位服务,
3 C52 A3 1 则 P(ξ = 2) = 3 4 = . C5 A4 4

所以 P(ξ = 1) = 1 ? P(ξ = 2) = , ξ 的分布列是
ξ
P

3 4

1
3 4

3
1 4

18. (本小题共 13 分) 2007 年 18. 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一 次社会公益活动(以下简称活动) .该校合唱 团共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计 如图所示. (I)求合唱团学生参加活动的人均次数; (II)从合唱团中任意选两名学生,求他们参 加活动次数恰好相等的概率. (III)从合唱团中任选两名学生,用 ξ 表示这两人参加活动次数之
18

参加人数 50 40 30 20 10 1 2 3 活动次数

差的绝对值,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望 Eξ .

18. (共 13 分) 2007 年 18. 解:由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、50 和 40. (I)该合唱团学生参加活动的人均次数为
1×10 + 2 × 50 + 3 × 40 230 = = 2.3 . 100 100

(II)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率
2 2 2 C10 + C50 + C40 41 为 P0 = = . 2 99 C100

(III)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加 1 次活动, 另一人参加 2 次活动”为事件 A , “这两人中一人参加 2 次活动,另 一人参加 3 次活动”为事件 B , “这两人中一人参加 1 次活动,另一 人参加 3 次活动”为事件 C .易知
P (ξ = 1) = P ( A) + P ( B )

=

1 1 1 1 C10C50 C50C40 50 + = ; 2 4 C100 C100 99

P (ξ = 2) = P (C )
1 1 C10C40 8 = = ; 2 C100 99

ξ 的分布列: ξ

0

1

2

19

P

41 99

50 99

8 99

ξ 的数学期望: Eξ = 0 ×

41 50 8 2 + 1× + 2 × = . 99 99 99 3

18) (本小题共 13 分) 2006 年(18) 某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a,b,c,且三 门课程考 试是否及格相互之间没有影响. 求: (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (Ⅱ) 试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小. 说 ( 明理由) (18) (共 13 分) 解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C, 则 P( A) = a, P( B) = b, P(C ) = c (Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率
p1 = P( A ? B ? C ) + P( A ? B ? C ) + P( A ? B ? C ) + P( A ? B ? C )
= ab(1 ? c) + bc(1 ? a ) + ac(1 ? b) + abc = ab + bc + ca ? 2abc;

应聘者用方案二考试通过的概率

20

p2 =

1 1 1 p( A ? B) + p( B ? C ) + p( A ? C ) 3 3 3 1 = (ab + bc + ca ) . 3

(Ⅱ)因为 a, b, c ∈ [ 0,1? ,所以 ?
p1 ? p2 = 2 (ab + bc + ca ) ? 2abc 3 2 = ? ab(1 ? c) + bc(1 ? a ) + ca (1 ? b)] ≥ 0, 3?

故 p1 ≥ p2 , 即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.

一:综述, 综述, 概率与统计试题在解答题中位于 17 题或 18 题, 属于中等难度试 题,分值为 13 分,多数与实际生活密切相关,比如岗位分配,人员 安排,产品检验,及其他数据统计类型,要求考生熟悉生活中一些基 本常识,具备将文字转化为数学语言的能力,运用合理的概率类型求 解。

二:考察知识点 互斥事件,相互独立事件,对立事件,离散型随机变量的分布列,数 学期望,独立重复实验,排列组合与概率结合。其中相互独立事件, 对立事件,分布列和数学期望属于必考知识点。 相互独立事件,要求考生认识到各个事件之间彼此没有影响,但计算 时要考虑全面,不可顾此失彼。 对立事件,一般有标志词语,比如”至少,至多,不。。。“计算概 。。。
21

率时可用 1 减去其对立事件的概率。 离散型随机变量的分布列属于每年必考类型, 要求考生正确选择随机 变量的取值,不能多也不能少,计算每一个变量对应的概率都必须准 确,要求熟记期望的计算公式,结果准确无误。 独立重复试验,要求概率不变,各个事件彼此独立,要牢记其公式及 期望 np 与排列组合结合试题要求排列组合运用准确, 分开部分与总体的事件 总数,排列与组合的数值不能出错。

三:注意事项 1. 做题之前仔细审题,读懂题意,很多人概率题失分都是因为 误解题意。 2. 文字表述必须完整准确,不能光秃秃几个数值,否则造成无 谓的失分。 3. 计算分布列时可以根据概率和为 1 检验,如果有问题及时改 正。 4. 有时会出现统计学知识,要熟记几个统计学名词及含义,如 平均数,方差,频率分布直方图,茎叶图,众数,中位数, 总体及样本,频数与频率

北京市近五年高考数学试题分析导数部分 北京市近五年高考数学试题分析导数部分 分析 06 北京 16
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已知函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx 在点 x0 处取得极大值 5 , 其导函数 y = f '( x) 的图象经过点 (1, 0) , (2, 0) ,如图所示. 求: (Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a, b, c 的值.

解法一: 解法一: (Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上 f ′( x) > 0 ,在(1,2)上 f ′( x) < 0 ,在 (2, +∞) 上 f ′( x) > 0 , 故 f ( x) 在 (?∞,1) , (2, +∞) 上递增,在(1,2)上递减,因 此 f ( x) 在 x = 1 处取得极大值,所以 x0 = 1 . (Ⅱ) f ′( x) = 3ax 2 + 2bx + c,
?3a + 2b + c = 0, 由 f ′(1) = 0, f ′(2) = 0, f (1) = 5, 得 ?12a + 4b + c = 0, 解得 a = 2, b = ?9, c = 12. ? ?a + b + c = 5, ?

解法二: 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 f ′( x) = m( x ? 1)( x ? 2) = mx 2 ? 3mx + 2m, 又 f ′( x) = 3ax 2 + 2bx + c, 所以 a =
f ( x) = m 3 , b = ? m, c = 2m, 3 2

m 3 3 2 x ? mx + 2mx. 3 2 m 3 由 f (1) = 5 ,即 ? m + 2m = 5, 得 m = 6 ,所以 a = 2, b = ?9, c = 12 . 3 2

06 年北京卷的函数题是近几年最为简单的一次,放在大题第二 题也是近五年最靠前的一次。 本题主要考察利用导数研究函数单调性 和极值, 但对导数知识的考察比较到位, 比较全面, 但都是基础知识,

23

不需要特殊技巧。本题提醒我们应注重基础,对基础知识和主干知识 要提起足够的重视。

07 北京 19 如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为 2r ,短半轴长为 r ,计划将 此钢板切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的 端点在椭圆上,记 CD = 2 x ,梯形面积为 S . (I)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其 定义域; (II)求面积 S 的最大值. 解: (I)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立直角 ,则点 C 的横坐标为 x . 坐标系 O ? xy (如图) 点 C 的纵坐标 y 满足方程 解得 y = 2 r 2 ? x 2 (0 < x < r )
S= 1 (2 x + 2r ) 2 r 2 ? x 2 2 r 2 ? x2 ,

D

C 4r

A

2r

B

x2 y2 + = 1( y ≥ 0) , r 2 4r 2

= 2( x + r )

其定义域为 { x 0 < x < r} . (II)记 f ( x) = 4( x + r ) 2 (r 2 ? x 2 ),< x < r , 0 则 f ′( x) = 8( x + r ) 2 (r ? 2 x) . 令 f ′( x) = 0 ,得 x = r . 因为当 0 < x < 时,f ′( x) > 0 ; < x < r 时,f ′( x) < 0 , 当 所以 f ? r ? 是 f ( x) ? ? 2 2 2
r r
1 2

1

?

?

24

的最大值. 因此,当 x = r 时, S 也取得最大值,最大值为 f ? r ? = r2 . ? ? 2 2 ? 2 ?
1

1

3 3

即梯形面积 S 的最大值为

3 3 2 r . 2

07 年的函数题是以函数应用的形式出现的,是近五年唯一的一 次,但问题的情境数学味浓了些,并不像有些外省那样接近生活,题 目本身难度不大, 只要学生有基本的数学建模能力正确解答本题不存 在大的困难,但笔者认为这年还是比较成功的尝试,因为随着新课标 的实施,数学越来越强调学以致用,学生要注意这方面的训练。

08 北京 18 已知函数 f ( x) = 解: f ′( x) =
=

2x ? b ,求导函数 f ′( x) ,并确定 f ( x) 的单调区间. ( x ? 1) 2

2( x ? 1) 2 ? (2 x ? b) 2( x ? 1) ( x ? 1) 4

?2 x + 2b ? 2 ( x ? 1)3 2[ x ? (b ? 1)] . ( x ? 1)3

=?

令 f ′( x) = 0 ,得 x = b ? 1 .

当 b ? 1 < 1 ,即 b < 2 时, f ′( x) 的变化情况如下表:
25

x
f ′( x)

(?∞,b ? 1)

b ?1

(b ? 11) ,

(1, ∞) +

?

0

+

?

当 b ? 1 > 1 ,即 b > 2 时, f ′( x) 的变化情况如下表:
x
f ′( x) (?∞, 1) (1,b ? 1) b ?1 (b ? 1, ∞) +

?

+

0

?

所以,当 b < 2 时,函数 f ( x) 在 (?∞,b ? 1) 上单调递减,在 (b ? 11) 上单调 , 递增, 在 (1, ∞) 上单调递减. +
1) 当 b > 2 时,函数 f ( x) 在 (?∞, 上单调递减,在 (1,b ? 1) 上单调递增,在 (b ? 1, ∞) 上单调递减. +

当 b ? 1 = 1 ,即 b = 2 时, f ( x) =
+ 在 (1, ∞) 上单调递减.

2 ,所以函数 f ( x) 在 (?∞, 上单调递减, 1) x ?1

08 年的题目的题干非常简洁,看似很简单,但从考后得分统 计来看并不是很理想,很多同学求导没有做对,也有些同学不知如何 讨论,或讨论的不全。本题所涉及的知识点也很简单,主要是求导运 算和利用导数研究函数的单调性,和分类讨论思想的应用。

09 北京 18 设函数 f ( x) = xekx (k ≠ 0) (I)求曲线 y = f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围。
26

解(Ⅰ) f ' ( x ) = (1 + kx ) ekx , f ' ( 0 ) = 1, f ( 0 ) = 0 , 曲线 y = f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y = x . (Ⅱ)由 f ' ( x ) = (1 + kx ) e kx = 0 ,得 x = ? ( k ≠ 0 ) ,
1 若 k > 0 ,则当 x ∈ ? ?∞, ? ? 时, f ' ( x ) < 0 ,函数 f ( x ) 单调递 ? ? ? k?
1 k

减, 当 x ∈ ? ? , +∞, ? 时, f ' ( x ) > 0 ,函数 f ( x ) 单调递增, ? ?
1 ? k ? 1 若 k < 0 ,则当 x ∈ ? ?∞, ? ? 时, f ' ( x ) > 0 ,函数 f ( x ) 单调递 ? ? ? k?

增, 当 x ∈ ? ? , +∞, ? 时, f ' ( x ) < 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, ? ?
1 ? k ?

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 k > 0 ,则当且仅当 ? ≤ ?1 , 即 k ≤ 1 时,函数 f ( x ) ( ?1,1) 内单调递增, 若 k < 0 ,则当且仅当 ? ≥ 1 , 即 k ≥ ?1 时,函数 f ( x ) ( ?1,1) 内单调递增, 综上可知,函数 f ( x ) ( ?1,1) 内单调递增时,k 的取值范围是 [ ?1, 0 ) U ( 0,1] 09 年的导数题总体比较简单,前两问主要考察了复合函数 求导,利用导数求函数单调性,和分类讨论,而第三问也只是简单的 求参数的范围。在函数中属简单问题,得分情况好于 08 年,基础好 的学生中等都应得满分。
1 k

1 k

27

10 北京 18 已知函数 f ( x )=In(1+ x )- x + x 2 ( k ≥0)。 (Ⅰ)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间。 解: (I)当 k = 2 时, f ( x) = ln(1 + x) ? x + x 2 , f '( x) = 由于 f (1) = ln 2 , f '(1) = , 所以曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为
y ? ln 2 =
3 ( x ? 1) 2 3 2

x 2

1 ?1 + 2x 1+ x



3 x ? 2 y + 2 ln 2 ? 3 = 0

(II) f '( x) =

x(kx + k ? 1) , x ∈ (?1, +∞) . 1+ x x 当 k = 0 时, f '( x) = ? . 1+ x

所以,在区间 (?1, 0) 上, f '( x) > 0 ;在区间 (0, +∞) 上, f '( x) < 0 . 故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1, 0) ,单调递减区间是 (0, +∞) . 当 0 < k < 1 时,由 f '( x) =
x(kx + k ? 1) 1? k = 0 ,得 x1 = 0 , x2 = >0 1+ x k 1? k 1? k 所以,在区间 (?1, 0) 和 ( , +∞) 上, f '( x) > 0 ;在区间 (0, ) 上, k k

f '( x) < 0

故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1, 0) 和 (
(0, 1? k ). k

1? k , +∞) ,单调递减区间是 k

当 k = 1 时, f '( x) =

x2 1+ x

故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1, +∞) . 当 k > 1 时, f '( x) =
x(kx + k ? 1) 1? k = 0 ,得 x1 = ∈ (?1, 0) , x2 = 0 . 1+ x k

28

所以没在区间 (?1,
f '( x) < 0

1? k 1? k ) 和 (0, +∞) 上, f '( x) > 0 ; 在区间 ( , 0) 上, k k

故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1,
1? k ( , 0) k

1? k ) 和 (0, +∞) ,单调递减区间是 k

08,09,10,三年的函数题都是考查利用导数研究函数的单调性 和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.考 查的知识点和数学思想相对固定,体现了高考考查基本方法,基本技 能,稳中求变的出题原则,这三年的函数题基础知识扎实的同学得分 情况会比较理想。 总之近五年的函数题以考察导数的相关知识为主, 分值 13 分或 14 分, 是必考题型,难度中等偏难,一般放在第四道大题,解答本道大题要 求学生理解导数的基本概念, 掌握利用导数研究函数的单调性和极值 的常用方法,熟练掌握常见函数的导函数,导数的运算法则。另外分 类讨论思想近三年每年都有涉及,要注意分类讨论在函数题型的应 用。 学习建议:学生要熟练掌握常见函数的导函数和导数的求导法 则,不在运算上出错;深入理解导函数和原函数的关系,注意问题的 转化;对分类讨论思想要多练习多思考,避免对而不全的现象发生。

北京市近五年高考数学试卷分析解析几何部分 北京市近五年高考数学试卷分析解析几何部分 近五年高考数学试卷分析 纵观 2006—2010 年北京卷解析几何考题内容,突出了对主干知
29

识的考查,稳中有变,稳中有新,注重数学思想方法的考察;同时又 考察了考生的综合能力,具体体现在以下几个方面: 突出主干知识,没有偏题、 一、 突出主干知识,没有偏题、生题 19(2006 年) 、已知点 M (?2, 0), N (2, 0) ,动点 P 满足条件
| PM | ? | PN |= 2 2 .记动点 P 的轨迹为 W .

(Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A, B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值. 解法一: (Ⅰ)由|PM|-|PN|=2 2 知动点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线 的右支,实半轴长 a= 2 . 又半焦距 c=2。故虚半轴长 b= c 2 ? a 2 = 2 , 所以 W 的方程为
x2 y 2 ? = 1, x ≥ 2 2 2

uuu uuu r r

, (Ⅱ)设 A、B 的坐标分别为(x1y1)(x2y2). 当 AB ⊥ x 轴时, x1 = x2 , y1 = y2 ,从而 OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = x12 ? y12 = 2 。 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y = km + x ,与 W 的方程联 立,消去 y 得
uuu uuu r r

(9 ? k ) x
2

2

? 2kmx ? m 2 ? 2 = 0 ,

2km m2 + 2 , x1 x2 = 2 故 x1 + x2 = 1? k 2 k ?1

所以 OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + (kx1 + m)(kx2 + m)
= (1 + k 2 ) x1 x2 + km( x1 + x2 ) + m 2 = 2k 2 + 2 4 = 2+ 2 2 k ?1 k ?1 (1 ? k 2 )(m2 + 2) 2k 2 m2 + + m2 2 2 k ?1 1? k

uuu uuu r r

=

30

又因为 x1 x2 > 0 ,所以 k 2 ? 1 > 0 ,从而 OA ? OB > 2 . 综上,当 AB ⊥ x 轴时, OA ? OB 取得最小值 2. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 A 、 B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( y1 , y2 ) ,则
xi2 = yi2 = ( xi + yi )( xi ? yi ) = 2(i = 1, 2)

uuu uuu r r

uuu uuu r r

令 si = xi + yi , ti = xi ? yi , 则 siti = 2 ,且 si > 0 , ti > 0(i = 1, 2) ,所以 OA ? OB = x1 x2 + y1 y2
1 1 ( s1 + t1 )( s2 + t2 ) + ( s1 ? t1 )( s2 ? t2 ) 4 4 1 1 = s1s2 + t1t2 ≥ s1s2t1t2 = 2 2 2 =

uuu uuu r r

当且仅当 s1s2 = t1t2 ,即 ?
uuu uuu r r

? x1 = x2 时“=”成立. ? y1 = ? y2

所以 OA ? OB 的最小值是 2. 主要考察了双曲线定义、直线与双曲线的位置关系等基础知识, 同时又考察了圆锥曲线与向量函数的综合问题 17(2007 年) 、矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, , AB 边 0) 所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 = 0 ,点 T (?11) 在 AD 边所在直线上. , (I)求 AD 边所在直线的方程; (II)求矩形 ABCD 外接圆的方程; (III)若动圆 P 过点 N (?2, ,且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动圆 0)
P 的圆心的轨迹方程.

解: (I)因为 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 = 0 ,且 AD 与 AB 垂直, 所以直线 AD 的斜率为 ?3 .
31

又因为点 T (?11) 在直线 AD 上, , 所以 AD 边所在直线的方程为 y ? 1 = ?3( x + 1) .
3x + y + 2 = 0 .

(II)由 ?

? x ? 3 y ? 6 = 0, 解得点 A 的坐标为 (0, 2) , ? ?3 x + y + 2 = 0

因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2, . 0) 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又 AM = (2 ? 0) 2 + (0 + 2) 2 = 2 2 . 从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2)2 + y 2 = 8 . (III)因为动圆 P 过点 N ,所以 PN 是该圆的半径,又因为动圆 P 与 圆 M 外切, 所以 PM = PN + 2 2 , 即 PM ? PN = 2 2 . 故点 P 的轨迹是以 M ,N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支. 因为实半轴长 a = 2 ,半焦距 c = 2 . 所以虚半轴长 b = c 2 ? a 2 = 2 . 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为
x2 y 2 ? = 1( x ≤ ? 2) . 2 2

考察了直线和圆,重点考察了两直线的垂直关系、两点间距离公 式、两条直线的交点、轨迹方程等知识点 19(2008 年) 、已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x 2 + 3 y 2 = 4 上, 对角线 BD 所在直线的斜率为 1. (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 时,求直线 AC 的方程; 1) (Ⅱ)当 ∠ABC = 60o 时,求菱形 ABCD 面积的最大值.

32

解: (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方程为 y = x + 1 . 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ⊥ BD . 于是可设直线 AC 的方程为 y = ? x + n .
? x 2 + 3 y 2 = 4, 由? 得 4 x 2 ? 6nx + 3n 2 ? 4 = 0 . ? y = ?x + n

因为 A,C 在椭圆上, 所以 ? = ?12n 2 + 64 > 0 ,解得 ?
4 3 4 3 <n< . 3 3

设 A,C 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), 2,y2 ) , (x 则 x1 + x2 =
3n 3n 2 ? 4 , x1 x2 = , y1 = ? x1 + n , y2 = ? x2 + n . 2 4 n 2

所以 y1 + y2 = . 所以 AC 的中点坐标为 ? ?
3n n ? ,?. ? 4 4? 3n n ? , ? 在直线 y = x + 1 上, ? 4 4?

由四边形 ABCD 为菱形可知,点 ? ? 所以 =
n 4 3n + 1 ,解得 n = ?2 . 4

所以直线 AC 的方程为 y = ? x ? 2 ,即 x + y + 2 = 0 . (Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ∠ABC = 60o , 所以 AB = BC = CA . 所以菱形 ABCD 的面积 S =
2

3 2 AC . 2
2 2

?3n 2 + 16 由(Ⅰ)可得 AC = ( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 ) = , 2

所以 S =

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 + 16) ? ? <n< ?. ? ? 4 3 3 ? ?

33

所以当 n = 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 . 考察了两条直线垂直关系、直线与椭圆的位置关系、弦长公式、 设而不求方法及函数最值等基础知识和方法, 这些都是课堂上老师重 点强调的内容。但此题目有个大陷阱,稍不谨慎就掉进去,菱形不是 所有顶点都在椭圆上!而且第一问就考查直线与圆锥曲线的位置关 系,有一定难度;第二问结合几何、函数等内容,不容易!所以此题 得分率不是很高,比 2007 年有难度
x2 y2 19(2009 年) 、已知双曲线 C : 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 3 , a b

右准线方程为 x =

3 3

(I)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 是圆 O : x 2 + y 2 = 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ≠ 0) 处的切线, l 与 双曲线 C 交于不同的两点 A, B ,证明 ∠AOB 的大小为定值。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法一:
? a2 3 ? = 3 ,解得 a = 1, c = 3 , (Ⅰ)由题意,得 ? c ? ?c = 3 ?a ?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ∴ b 2 = c 2 ? a 2 = 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x 2 ?
y2 = 1. 2

(Ⅱ)点 P ( x0 , y0 )( x0 y0 ≠ 0 ) 在圆 x 2 + y 2 = 2 上, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 圆在点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程为
y ? y0 = ? x0 ( x ? x0 ) , y0

34

化简得 x0 x + y0 y = 2 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
? 2 y2 x ? =1 及 x02 + y02 = 2 得 由? 2 ? ?x x + y y = 2 0 ? 0

( 3x
2 0 < x0 < 2 ,

2 0

2 ? 4 ) x 2 ? 4 x0 x + 8 ? 2 x0 = 0 ,

∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且

∴ 3x02 ? 4 ≠ 0 ,且 ? = 16 x02 ? 4 ( 3x02 ? 4 )( 8 ? 2 x02 ) > 0 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则 x1 + x2 = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
uuu uuu r r OA ? OB ∵ cos ∠AOB = uuu uuu ,且 r r OA ? OB
uuu uuu r r 1 OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + 2 ( 2 ? x0 x1 )( 2 ? x0 x2 ) , y0 = x1 x2 + 1 2 ? 4 ? 2 x0 ( x1 + x2 ) + x0 x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 ?
4 x0 8 ? 2x2 , x1 x2 = 2 0 , 2 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 2 2 2 x0 ( 8 ? 2 x0 ) ? 8 ? 2 x0 8 x0 1 ? ?4 ? 2 ? = 2 + + 2 2 3x0 ? 4 2 ? x0 ? 3x0 ? 4 3x0 ? 4 ? ? ? 2 2 8 ? 2 x0 8 ? 2 x0 ? 2 = 0. 2 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4

==

∴ ∠AOB 的大小为 90° ..w.k.s.5.u.c.o.m 【解法 2】 (Ⅰ)同解法 1.
35

(Ⅱ)点 P ( x0 , y0 )( x0 y0 ≠ 0 ) 在圆 x 2 + y 2 = 2 上, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 圆在点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程为
y ? y0 = ? x0 ( x ? x0 ) , y0

? 2 y2 x ? =1 化简得 x0 x + y0 y = 2 .由 ? 及 x02 + y02 = 2 得 2 ? ?x x + y y = 2 0 ? 0

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

( 3x ( 3x
2 0 < x0 < 2 ,

2 0 2 0

2 ? 4 ) x 2 ? 4 x0 x + 8 ? 2 x0 = 0 2 ? 4 ) y 2 ? 8 y0 x ? 8 + 2 x0 = 0

① ②

∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且

∴ 3x02 ? 4 ≠ 0 , A、 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 设 B
2 2 8 ? 2 x0 2 x0 ? 8 则 x1 x2 = 2 , y1 y2 = 2 ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4

∴ OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = 0 ,∴ ∠AOB 的大小为
90° ..w.k.s.5.u.c.o.m

uuu uuu r r

(∵ x02 + y02 = 2 且 x0 y0 ≠ 0 ,∴ 0 < x02 < 2, 0 < y02 < 2 ,从而当 3x02 ? 4 ≠ 0 时,方程①和方程②的判别式均大于零). 主要考察圆锥曲线的离心率、准线等基本量,及双曲线的标准方 程、圆的切线方程、利用向量求角度等基础知识和方法,考察曲线和 方程的关系等解析几何的基本思想方法,考察推理运算能力 19(2010 年) 、在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于

36

原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ? . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存 在,说明理由。 (I)解:因为点 B 与 A (?1,1) 关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标 为 (1, ?1) . 设点 P 的坐标为 ( x, y ) 由题意得 化简得
y ?1 y + 1 1 =? x + 1 x ?1 3

1 3

x 2 + 3 y 2 = 4( x ≠ ±1) .

故动点 P 的轨迹方程为 x 2 + 3 y 2 = 4( x ≠ ±1) (II)解法一:设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 M , N 得坐标分别 为 (3, yM ) , (3, yN ) . 则直线 AP 的方程为 y ? 1 =
y +1 = y0 + 1 ( x ? 1) x0 ? 1
4 y0 + x0 ? 3 2y ? x + 3 , yN = 0 0 . x0 + 1 x0 ? 1

y0 ? 1 ( x + 1) ,直线 BP 的方程为 x0 + 1

令 x = 3 得 yM =

于是 PMN 得面积
S
PMN

=

| x + y0 | (3 ? x0 ) 2 1 | yM ? y N | (3 ? x0 ) = 0 2 | x0 2 ? 1|

又直线 AB 的方程为 x + y = 0 , | AB |= 2 2 , 点 P 到直线 AB 的距离 d =
| x0 + y0 | 2
37

.

于是 PAB 的面积
S
PAB

=

1 | AB | d =| x0 + y0 | 2

当S

PAB

| x0 + y0 | (3 ? x0 )2 = S PMN 时,得 | x0 + y0 |= | x0 2 ? 1|

又 | x0 + y0 |≠ 0 , 所以 (3 ? x0 ) 2 = | x0 2 ? 1| ,解得 | x0 = 。 因为 x0 2 + 3 y0 2 = 4 ,所以 y0 = ±
33 9
5 3

故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为
5 33 ( ,± ). 3 9

解法二:若存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等,设点 P 的 坐标为 ( x0 , y0 ) 则 | PA | | PB | sin ∠APB = | PM | | PN | sin ∠MPN . 因为 sin ∠APB = sin ∠MPN , 所以 所以
| PA | | PN | = | PM | | PB | | x0 + 1| | 3 ? x0 | = | 3 ? x0 | | x ? 1| 5 3 33 9

1 2

1 2

即 (3 ? x0 ) 2 =| x0 2 ? 1| ,解得 x0 = 因为 x0 2 + 3 y0 2 = 4 ,所以 y0 = ±

故存在点 P S 使得 PAB 与 PMN 的面积相等, 此时点 P 的坐标为
5 33 ( ,± ). 3 9

主要考察球轨迹方程等基础方法,直线和椭圆,考察了设而不求
38

的常规思路,但由于运算量大,容易使学生产生为难情绪,突出 数学思想方法的考察 突出数学思想方法的考察 一、 突出数学思想方法的考察 纵观 2006—2010 年解析几何考题,分别考察了设而不求方法、分 类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想 等 二、 注重对学生综合能力的考查 通过对五年解析几何试题的分析,对学生能力的考查主要体现在 运算能力、推理能力、分析问题和解决问题的能力,例如 2010 年 考题计算量较大,强化数学思维和计算能力,是区分度较高的题, 能将优秀学生与普通学生区分开来 总之,通过对 2006—2010 年解析几何试题浅析,对广大师生提出一 点建议:一是在 2011 年对解析几何进行复习时,仍然重视对基础知 识、基本方法,常规思路要夯实;二是对于直线和圆锥曲线的位置关 系在应用时不但要理清思路,作为老师一定要亲力亲为,一定要和学 生一起运算,让学生真正学会、体会计算技能与技巧,不要把大量的 计算扔给学生!三是对于圆锥曲线与不等式、函数、向量等知识的联 系,一定要分类琢一分析,一定让学生把这类题的思路和计算方法学 得其精髓,领会其精神。 祝愿全体考生在今年的考试中能看清历史,把握未来,抓住现在。

北京市近五年高考数学试题分析数列部分 北京市近五年高考数学试题分析数列部分 近五年高考数学试题分析

2006 年 (20) (本小题共 14 分) 在数列 {an } 中,若 a1 , a2 是正整数,且 an =| an ?1 ? an ?2 |, n = 3, 4, 5,L ,则 称 {an } 为“绝对差数列”. (Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列” (只要求写出前十 项) ; (Ⅱ)若“绝对差数列” {an } 中, a20 = 3, a21 = 0 ,数列 {bn } 满足 bn = an + an +1 + an + 2 ,n = 1, 2, 3,L ,分别判断当 n → ∞ 时,an 与 bn 的 极限是否存在,如果存在,求出其极限值; (Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
39

(20) (共 14 分) (Ⅰ)解:
a1 = 3, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 1, a5 = 1, a6 = 0, a7 = 1 , a8 = 1, a9 = 0, a10 = 1.(答案不惟一)

(Ⅱ) 因为在绝对差数列 {an } 中 a20 = 3 , a21 = 0 .所以自第 20 解: 项开始,该数列是 a20 = 3 , a21 = 0 , a22 = 3, a22 = 3, a24 = 0, a25 = 3, a26 = 3, a27 = o, ?? ?. 即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当 n → ∞ 时, an 的极限 不存在. 当 n ≥ 20 时, bn = an + an +1 + an+ 2 = 6 ,所以 lim bn = 6 n →∞ (Ⅲ)证明:根据定义,数列 {an } 必在有限项后出现零项.证明如下 假设 {an } 中没有零项,由于 an = an?1 ? an ?2 ,所以对于任意的 n,都有
an ≥ 1 ,从而

当 an?1 > an?2 时, an = an?1 ? an ?2 ≤ an ?1 ? 1(n ≥ 3) ; 当 an?1 < an ?2 时, an = an?2 ? an?1 ≤ an ?2 ? 1(n ≥ 3) 即 an 的值要么比 an ?1 至少小 1,要么比 an?2 至少小 1. 令 Cn = ?
? a2 n ?1 (a2 n ?1 > a2 n ), n = 1, 2, 3, ???, 则 0 < C A ≤ Cn ?1 ? 1(n = 2, 3, 4, ???). ? a2 n (a2 n ?1 < a2 n ),

由于 C1 是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 C1 < 0 ,这与 Cn > 0 ( n = 1, 2, 3, ???, ) 矛盾. 从而 {an } 必有零项. 若第一次出现的零项为第 n 项,记 an?1 = A( A ≠ 0) ,则自第 n 项开始, 每三个相邻的项周期地取值 0, A ,
?an + 3k = 0, ? A , 即 ?an + 3k +1 = A, k = 0,1, 2,3, ???, 所 ?a ? n + 3k + 2 = A,

以绝对差数列 {an } 中有无穷多个为零的项.

2007 年 20.已知集合 A = {a1,a2, ,ak } (k ≥ 2) ,其中 ai ∈ Z(i = 1, L,k ) ,由 A 中 L 2, 的元素构成两个相应的集合:
40

S = {(a,b) a ∈ A,b ∈ A,a + b ∈ A} , T = {(a,b) a ∈ A,b ∈ A,a ? b ∈ A} .

其中 (a,b) 是有序数对,集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n . 若对于任意的 a ∈ A ,总有 ?a ? A ,则称集合 A 具有性质 P .
1, 3} 2, (I)检验集合 {0,2, 与 {?1, 3} 是否具有性质 P 并对其中具有性质 P

的集合,写出相应的集合 S 和 T ; (II)对任何具有性质 P 的集合 A ,证明: n ≤
k (k ? 1) ; 2

(III)判断 m 和 n 的大小关系,并证明你的结论. 20. (共 13 分) (I)解:集合 {0,2, 不具有性质 P . 1, 3} 集合 {?1, 3} 具有性质 P ,其相应的集合 S 和 T 是 S = {(?1,,, 1)} , 2, 3) (3 ?
T = {(2, 1), ,)} . ? (2 3

(II)证明:首先,由 A 中元素构成的有序数对 (ai,a j ) 共有 k 2 个. 因为 0 ? A ,所以 (ai,ai ) ? T (i = 1, L,k ) ; 2, 又因为当 a ∈ A 时, ?a ? A 时, ?a ? A ,所以当 (ai,a j ) ∈ T 时,
(a j,ai ) ? T (i,j = 1, L,k ) . 2,

从而,集合 T 中元素的个数最多为 (k 2 ? k ) = 即n≤
k (k ? 1) . 2

1 2

k (k ? 1) , 2

(III)解: m = n ,证明如下: (1)对于 (a,b) ∈ S ,根据定义, a ∈ A , b ∈ A ,且 a + b ∈ A ,从而
(a + b,b) ∈ T .

如果 (a,b) 与 (c,d ) 是 S 的不同元素,那么 a = c 与 b = d 中至少有一个不 成立,从而 a + b = c + d 与 b = d 中也至少有一个不成立.
41

故 (a + b,b) 与 (c + d,d ) 也是 T 的不同元素. 可见, S 中元素的个数不多于 T 中元素的个数,即 m ≤ n , (2)对于 (a,b) ∈ T ,根据定义, a ∈ A , b ∈ A ,且 a ? b ∈ A ,从而
(a ? b,b) ∈ S .如果 (a,b) 与 (c,d ) 是 T 的不同元素,那么 a = c 与 b = d 中

至少有一个不成立, 从而 a ? b = c ? d 与 b = d 中也不至少有一个不成立, 故 (a ? b,b) 与 (c ? d,d ) 也是 S 的不同元素. 可见, T 中元素的个数不多于 S 中元素的个数,即 n ≤ m , 由(1) (2)可知, m = n .

2008 年 20. (本小题共 13 分) 对于每项均是正整数的数列 A:a1,a2, ,an ,定义变换 T1 , T1 将数列 A L 变换成数列
T1 ( A): ,a1 ? 1,a2 ? 1, ,an ? 1 . n L

对于每项均是非负整数的数列 B:b1,b2, ,bm , L 定义变换 T2 ,T2 将数列
B 各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列 T2 ( B) ;
2 又定义 S ( B) = 2(b1 + 2b2 + L + mbm ) + b12 + b22 + L + bm .

设 A0 是每项均为正整数的有穷数列,令 Ak +1 = T2 (T1 ( Ak ))(k = 0,2, ) . 1, L (Ⅰ)如果数列 A0 为 5,3,2,写出数列 A1,A2 ; (Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列 A ,证明 S (T1 ( A)) = S ( A) ; (Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0 ,存在正
42

整数 K ,当 k ≥ K 时, S ( Ak +1 ) = S ( Ak ) .
20. (共 13 分) (Ⅰ)解: A0:3,, 5, 2
T1 ( A0 ):4,1 , 3, 2, A1 = T2 (T1 ( A0 )): 3,1 ; 4, 2, T1 ( A1 ): 3,1,, 4, 2,0 A2 = T2 (T1 ( A1 )): 3,1 . 4, 2,

(Ⅱ)证明:设每项均是正整数的有穷数列 A 为 a1,a2, ,an , L 则 T1 ( A) 为 n , a1 ? 1 , a2 ? 1 , L , an ? 1 , 从而
S (T1 ( A)) = 2[n + 2(a1 ? 1) + 3(a2 ? 1) + L + (n + 1)(an ? 1)]
+ n 2 + (a1 ? 1) 2 + (a2 ? 1) 2 + L + (an ? 1) 2 .

又 S ( A) = 2(a1 + 2a2 + L + nan ) + a12 + a22 + L + an2 , 所以 S (T1 ( A)) ? S ( A)
= 2[n ? 2 ? 3 ? L ? (n + 1)] + 2(a1 + a2 + L + an ) + n 2 ? 2(a1 + a2 + L + an ) + n = ? n(n + 1) + n 2 + n = 0 ,

故 S (T1 ( A)) = S ( A) . (Ⅲ)证明:设 A 是每项均为非负整数的数列 a1,a2, ,an . L 当存在 1≤ i < j ≤ n ,使得 ai ≤ a j 时,交换数列 A 的第 i 项与第 j 项得到

数列 B , 则 S ( B) ? S ( A) = 2(ia j + jai ? iai ? ja j ) = 2(i ? j )(a j ? ai ) ≤ 0 .

使得 am+1 = am+ 2 = L = an = 0 时, 若记数列 a1,a2, ,am 为 L 当存在1≤ m < n ,
43

C,

则 S (C ) = S ( A) . 所以 S (T2 ( A)) ≤ S ( A) .
1, L 从而对于任意给定的数列 A0 ,由 Ak +1 = T2 (T1 ( Ak ))(k = 0,2, )

可知 S ( Ak +1 ) ≤ S (T1 ( Ak )) . 又由(Ⅱ)可知 S (T1 ( Ak )) = S ( Ak ) ,所以 S ( Ak +1 ) ≤ S ( Ak ) . 即对于 k ∈ N ,要么有 S ( Ak +1 ) = S ( Ak ) ,要么有 S ( Ak +1 ) ≤ S ( Ak ) ? 1 . 因为 S ( Ak ) 是大于 2 的整数,所以经过有限步后,必有
S ( Ak ) = S ( Ak +1 ) = S ( Ak + 2 ) = L .

即存在正整数 K ,当 k ≥ K 时, S ( Ak +1 ) = S ( Ak ) .

2010 年 (20) (本小题共 13 分) 已知集合 Sn = { X | X = ( x1 , x2 ,…,xn ), x1 ∈ {0,1}, i = 1, 2,…, n}(n ≥ 2) 对于
A = (a1 , a2 , …an , ) , B = (b1 , b2 , …bn , ) ∈ S n ,定义 A 与 B 的差为 A ? B = (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |, … | an ? b n |);

A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) = ∑ | a1 ? b1 |
i ?1

(Ⅰ)证明: ?A, B, C ∈ Sn , 有A ? B ∈ Sn ,且 d ( A ? C , B ? C ) = d ( A, B ) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ∈ Sn , d ( A, B), d ( A, C ), d ( B, C ) 三个数中至少有一个是 偶数 (Ⅲ) 设 P ? Sn ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的 平均值为 (P).
d

44

证明: (P)≤
d

mn . 2(m ? 1)

(20) (共 13 分)www.@ks@5u.com 证明: (I)设 A = (a1 , a2 ,..., an ) , B = (b1 , b2 ,..., bn ) ,C = (c1 , c2 ,..., cn ) ∈ S n
b 所以 ai ? bi ∈ {0,1} , (i = 1, 2,..., n) www.@ks@5u.com 因为 ai , i ∈ {0,1} ,

从而 A ? B = (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,...,| an ? bn |) ∈ Sn 又 d ( A ? C , B ? C ) = ∑ || ai ? ci |? | bi ? ci ||
i =1 n

由题意知 ai , bi , ci ∈ {0,1} (i = 1, 2,..., n) . 当 ci = 0 时, || ai ? ci | ? | bi ? ci ||=|| ai ? bi | ; 当 ci = 1 时, || ai ? ci | ? | bi ? ci ||=| (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) |=| ai ? bi |

所以 d ( A ? C , B ? C ) = ∑ | ai ? bi | = d ( A, B)
i =1

n

(II)设 A = (a1 , a2 ,..., an ) , B = (b1 , b2 ,..., bn ) , C = (c1 , c2 ,..., cn ) ∈ S n
d ( A, B ) = k , d ( A, C ) = l , d ( B, C ) = h .

记 O = (0, 0,..., 0) ∈ Sn ,由(I)可知
d ( A, B ) = d ( A ? A, B ? A) = d (O, B ? A) = k d ( A, C ) = d ( A ? A, C ? A) = d (O, C ? A) = l d ( B, C ) = d ( B ? A, C ? A) = h

所以 | bi ? ai | (i = 1, 2,..., n) 中 1 的个数为 k , | ci ? ai | (i = 1, 2,..., n) 的 1 的 个数为 l 。 设 t 是使 | bi ? ai |=| ci ? ai |= 1 成立的 i 的个数,则 h = l + k ? 2t
45

由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数。 (III) d ( P) =
1 2 Cm

A , B∈P



d ( A, B ) ,其中

A , B∈P



d ( A, B ) 表示 P 中所有两个元素间

距离的总和,设 P 种所有元素的第 i 个位置的数字中共有 ti 个 1, m ? ti 个0 则

A, B∈P



d ( A, B) = ∑ ti (m ? ti )
i =1

n

由于 ti (m ? ti ) ≤ 所以

m2 (i = 1, 2,..., n) 4 nm 2 4
d ( A, B ) ≤ nm mn = 2 4Cm 2(m ? 1)
2

A, B∈P



d ( A, B) ≤
1 2 Cm

从而 d ( P) =

A , B∈P



纵观北京市 2006—2010 年高考试卷数列部分,本人有如下观点,写 出来以求抛砖引玉吧。 一.题型新颖,年年有创新。 题型新颖,年年有创新。 第一问设置题型都是新定义数列, 对学生平时学习提高了自学的能力 要求,年年都是新定义,但年年题不同。 入手容易得高分难,具有很强的区分度。 二. 入手容易得高分难,具有很强的区分度。 考题第一问较易,大部分学生都能完成。2006 年举出符合新定 义的前十项。 2007-2010 年判断给定的数列是否具有某性质。 第二问. 第三问难度较大,灵活性较强,能有效区分不同层次学生群体。
46

稳重有变,适度创新,凸显学科能力。 三. 稳重有变,适度创新,凸显学科能力。 2006-2010 年第一问都是新定义,但定义的角度不同。无论是 题目条件的叙述.设问的方式.解题的方法都符合一道良好把关题的 要求。 四.关注特点,发展思维 关注特点, 数学高考要求关注数学的学科特点,而概念性强,充满思辨性,应用 的广泛性是数学学科的主要特点。如:2008 年第 20 题对概念的理解 有较高的要求,要完成本题的求解,没有思辨的能力,没有清晰的概 念,没有应用意识是万万不行的。设计这样的试题与“多考一点想, 少考一点算”命题要求是合拍的,它可以有效的检测考生的理性思维 水平。 高考命题趋势和备考建议: 2011 年高考命题趋势和备考建议: 明年北京市将进入新课标高考的第二年,从 2010 高考试题上来看, 可以肯定的是明年高考在命题风格,题型设置,核心考点上都没有太 大变化,一定会是平稳过渡。针对 2011 年高考备考我提一下建议: 1、 紧扣课本,课本是高考复习的根本,是高考命题的源泉,因此 教材的作用不可忽视! 2、 重视基本概念,基本思想,基本方法的学习。基本概念,就是指 定义,定理的涵义和延伸,比如说 映射 函数 充要条件 等等 ;基 本思想,即我们在高中阶段要学会分类讨论,数形结合,方程与函数 的思想方法,并将这些数学思想方法转化成数学手段来解决实际问

47

题;基本方法,比如在解析几何里的动点问题我们可以考虑消参法, 数列中的构造法, 不等式证明中的放缩法, 等等, 这都是很好的方法, 在备考中通过掌握这一种方法就可以很顺利做一类题目,触类旁通, 举一反三!只有我们在平时不断积累,就能不断进步,高考中就会得 心应手,游刃有余! 3、 重视高考的第二、三的轮复习,第二轮复习要做重大调整, 要将各个模块知识重新组合成若干专题, 避免 “深挖洞” 控制难度, : 应该 “广积粮” 进行模块的交叉与综合。 : 要注重模块的综合与交叉。 从北京市近五年试题来看,在模块的交汇处命制的题目不一定是难 题,甚至是命题专家眼中的“容易题”,所以同学们要进行针对性训 练,不要让这种“容易题”成了同学们升学道路上的“拦路虎”。 4、 养成做笔记的习惯,第一轮复习基本上结束,在二轮复习中 记笔记无疑是提高效率最有效的方法, 我们的笔记应该包含以下几个 部分:(1)专题训练(哪些不太容易学会 在考试可以拉开差距?) (2)典型例题分析(考点,方法,易错点 引伸和变形)(3)错题 分析 (为什么错? 错在哪? 启示和教训)(4)本章小结(高考命 题趋势,考察形式等)。 5、 要有吃苦的准备,坚持到底。高考就像是场马拉松,能坚持到底 的就成功了一大半, 高考复习过程枯燥、 艰辛, 以此要经常自我激励, 自我鼓舞,遇到困难要及时解决,切忌半途而废!

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希望以上建议能对同学们有所帮助! 祝即将经历高考的同学们满怀信 心,2011 高考圆梦!

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