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《空间向量的正交分解及其坐标表示》课件


空间向量的正交 分解及其坐标表示

平面向量基本定理:

【温故知新】

如果e, 1 e 2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有 一对实数?, a =?1 e1 +?2 e2。 1 ?,使 2 ( e1、 e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。)

平面向量的正交分解及坐标表示

y

a ? xi ? y j
i ? (1,0), j ? (0,1),0 ? (0,0).

a
j
o i x

问题:
我们知道,平面内的任意一个向量 p 都可以用两个不 共线的向量 a, b 来表示(平面向量基本定理)。对于空 间任意一个向量,有没有类似的结论呢?

OP ? OQ ? zk. OQ ? xi ? y j.

z

OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk.
由此可知,如果 i, j , k 是空间 两两垂直的向量,那么,对空间任一 向量 p ,存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 p ? xi ? y j ? zk. 我们称

k i
x
O

p
j

P

y Q

xi, y j, zk

为向量 p 在

i, j , k 上的分向量。

探究:在空间中,如果用任意三个不共面向量

a, b, c

代替两两垂直的向量
论吗?

,你能得出类似的结 i, j , k

一、空间向量基本定理: 如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一 向量 p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z},使

p ? xa ? yb ? zc.

任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

a, b, c 都叫做基向量

特别提示:对于基底 a , b, c ,除了应知道 a, b, c 不共面,
还应明确: (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 (2)由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任意 两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它 们都不是 0 。 (3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底 中的某一个向量,二者是相关联的不同概念。

?

?

练习
1、已知向量{a,b,c}是空间的一个基底. 求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底.

结论:若e1 , e2 , e3 是空间内一组基底,?, ,?3 ? R ,若 1 ?2

?1 e1 +?2 e2 +?3 e3 =0 , 恒有?1 =?2 =?3 =0.

练2 设x ? a ? b, y ? b ? c, z ? c ? a, 且 a, b, c 是 空间的一个基底,给出下列向量组
① a, b, x ②x, y, z ③ b, c, z A. 1个 B. 2个 C. 3个 ④ x, y, a ? b ? c , ②其中可以作为空间的基底的向量组有( D.4个
D1 A1 D A B B1 C C1

C)

分析:能否作为空间的基底,即是判 断给出的向量组中的三个向量是否 共面,由于 a, b, c 是不共面的向量, 所以可以构造一个平行六面体直观 判断

设 a ? AB , b ? AA1 , c ? AD ,易判断出答案

二、空间直角坐标系
单位正交基底:如果空间的一个基底的三个基向量互 相垂直,且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底,常 用 e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交 基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点,分别以e1,e2,e3的正方向 建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这 样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz z

点O叫做原点,向量e1,e2,e3 都叫做坐标向量.通过每两个坐 标轴的平面叫做坐标平面。
x

e3 e1 O e2 y

二、空间向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向 量 p ,且设e1,e2,e3为坐标向量, 由空间向量基本定理,存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3

z

有序数组( x, y, z)叫做p在空间
直角坐标系O--xyz中的坐标, 记作.P=(x,y,z)
x e1

e3 O e2

p
y

例1 平行六面体中,若MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
D1 N A B C1 A1
B1

D

M

C

分析:要用a,b,c 表示 MN,只要结合图形,充 分运用空间向量加法 和数乘的运算律即可.

例1 平行六面体中,若MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
D1 A1
B1

解: 连AN, 则 MN=MA+AN
1 MA=- 3

N
A M B

C1 D

AC

1 = - 3 ( a+ b)

AN=AD+DN =
1 3 (2b+c

C

)

∴MN= MA+AN =

1 (-a 3

+ b + c )

练习
结论:若G 为?ABC 的重心,O为空间中任意一点, 1 则OG= OA+OB+OC , 且有 AG ? BG ? CG ? 0 3

?

?

小结与作业: 习题3.1A组第11题


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