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2014届最后冲刺高三数学回归课本

2014 届最后冲刺高三数学回归课本
第一节 集合与逻辑 1.集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性。 如:已知集合 A ? {x, xy, lg( xy)} , B{0, | x |, y} ,且 A ? B ,则 x ? (答: x ? ?1, y ? ?1) 2.区分集合中元素的形式 如 ?x | y ? lg x?—函数的定义域; ?y | y ? lg x?—函数的值域; ?( x, y) | y ? lg x? —图象上的点集;
2 如: (1)设集合 M ? {x | y ? x ? 3} ,集合 N= y | y ? x ? 1, x ? M ,则 M

y?



?

?

N ? __



(2)设集合 M ? {a | a ? (1, 2) ? ? (3, 4), ? ? R}, N ? {a | a ? (2,3) ? ? (4,5) , ? ? R} , 则M ? N ?_ __ ; (答: [1, ??) , {(?2,?2)} ) 3.集合的交、并、补运算

A B ? {x | x ? A且x ? B} ; A B ? {x | x ? A或x ? B} ; ?u A ? {x | x ?U , x ? B}

A B ? A? A B ? B ? A? B ?痧 UB ? 痧 B) ? U (A
U

U

A? A 痧 UB ? ? ?

U

A B?

A

U

B;
(答 a ? 0 )

如:已知 A ? {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A ? R ? ? ? ,则 a 的取值范围是 4.条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况

空集是指不含任何元素的集合, (注意 ? 和 {? } 的区别)空集是任何集合的子集,是任何非空集 合的真子集。含 n 个元素的集合的子集个数为 2 ,真子集个数为 2 ? 1 ;
n n

如:满足 {1, 2} ? (答:7) ? M ? {1, 2,3, 4,5} 集合 M 有______个; 5.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如 : 已 知 函 数 f ( x) ? 4 x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1 在 区 间 [ ?1,1] 上 至 少 存 在 一 个 实数 c , 使

3 2 6.原命题: p ? q ;逆命题: q ? p ;否命题: ?p ? ?q ;逆否命题: ?q ? ?p ;互为逆否的

f (c) ? 0 ,则实数 p 的取值范围为

(答: ( ?3, ) )

两个命题是等价的; 7.若 p ? q 且 q ? p 则 p 是 q 的充分非必要条件,或 q 是 p 的必要非充分条件; 如: "sin ? ? sin ? " 是 "? ? ? " 的 条件; (答:充分不必要条件)

8.注意命题 p ? q 的否定与它的否命题的区别: 命题 p ? q 的否定是 p ? ?q ;否命题是 ?p ? ?q 命题“ p 或 q ”的否定是“ ? p 且 ? q ”,“ p 且 q ”的否定是“ ? p 或 ? q ”;

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如: “若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的否命题是 它的否定是 (答:否命题: “若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是奇数” ,否定: “若 a 和 b 不都是偶数,则 a ? b 是奇 数” ) 函数与导数 9.指数式、对数式
0 , a ? 1 , log a 1 ? 0 , loga a ? 1 , lg 2 ? lg 5 ? 1, loge x ? ln x , ? 1 m an b a ? N ? loga N ? b(a ? 0, a ? 1, N ? 0) , a loga N ? N ; 1 log 8 1 如: ( ) 2 的值为________(答: ) 2 64

a n ? n am , a

m

?m n

10.基本初等函数类型 (1)一次函数 y ? ax ? b (2)二次函数 ①三种形式:一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ;顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k ; 零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ②区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ? 点处取得,具体如下: 如:若函数 y ?

b 处及区间的两端 2a
(答:2)

1 2 x ? 2 x ? 4 的定义域、值域都是闭区间 [2,2b] ,则 b = 2

③根的分布:画图,研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; ⅰ)若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根; ⅱ) 设 f ( x) ? x2 ? px ? q , 则 (1) 方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0

? p 2 ? 4q ? 0 ? 或? p ; ?? ? m ? 2 ⅲ)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为

? p 2 ? 4q ? 0 ? p ? ?m ? ? ? n ? f (m) ? 0 ? f (n) ? 0 f (m) f (n) ? 0 、 ? 、? 、? ; 2 ?af (n) ? 0 ?af (m) ? 0 ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0
? p 2 ? 4q ? 0 ? ⅳ)方程 f ( x) ? 0 在区间 ( ??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ?? ? m ? 2
(3)反比例函数: y ?

c c ( x ? 0) 平移 ? y ? a ? (对称中心为 (b, a ) ,两条渐近线) x x ?b

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y ? x? (4) 对勾函数:

a 是奇函数。 当 a ? 0 时, 在 (0, a ] [? a ,0) 递减 ( a , ??),(??, ? a ) x

递增;当 a ? 0 时,函数为区间 (0, ??),(??,0) 上的增函数; 11.函数的单调性 ①定义法 设 x1, x2 ??a, b? , x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2

②导数法; 注意 f ?( x) ? 0 能推出 f ( x) 为增函数,但反之不一定。如函数 f ( x) ? x 3 在 (??,??) 上单调递 增,但 f ?( x) ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的充分不必要条件。 ③复合函数由同增异减的判定法则来判定; 如(1)已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,则实数 m 的取

1 2 ?m? ) 2 3 3 (2) 已知函数 f ( x) ? x ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数, 则 a 的取值范围是_
值范围为 (答: ? (3)如函数 y ? log 1 ? x 2 ? 2 x 的单调递增区间是________(答: (1, 2) )
2

(??,3] ) ___ (答:

?

?

12.函数的奇偶性 ① f ( x ) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) ;

f ( x) 是奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) 定义域含 0 的奇函数满足 f (0) ? 0 ;定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充
分的条件; ②多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 13.周期性 (1)类比“三角函数图像”得: ①若 y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) ,则 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为

? a0 的奇偶性

T ? 2| a ?b|; ②若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且一周 期为 T ? 2 | a ? b | ;
③如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) 则函数 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ; 如定义在 R 上的函数 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函数,则方程 f ( x) ? 0 在 [?2, 2] 上至少有______ 个实数根(答:5 个) (2)由周期函数的定义“函数 f ( x ) 满足 f ?x ? ? f ?a ? x ? (a ? 0) ,则 f ( x ) 是周期为 a 的周期 函数“得:

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①函数 f ( x ) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x ) 是周期为 2 a 的周期函数;

1 (a ? 0) 成立,则 T ? 2a ; f ( x) 1 ③若 f ( x ? a) ? ? (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a . f ( x)
②若 f ( x ? a) ? 如(1)设 f ( x) 是 R 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则 f (47.5) 等 于_____(答: ? 0.5 ) (2)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数,若 ? , ? 是锐角 三角形的两个内角,则 f (sin ? ), f (cos ? ) 的大小关系为_________(答: f (sin ? ) ? f (cos ?) ) 14.常见的图象变换 (1)函数 y ? f ?x ? a ? 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向左 ( a ? 0) 或向右 ( a ? 0) 平 移 a 个单位得到的。 (2) 函数 y ? f ?x ? + a 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向上 ( a ? 0) 或向下 ( a ? 0) 平移 a 个单位得到的; (3)函数 y ? f ?ax? ( a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴伸缩为原来的

(4) 函数 y ? af ?x ? ( a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得到的。 如: (1)要得到 y ? lg(3 ? x) 的图像,只需作 y ? lg x 关于____轴对称的图像,再向____平移 3 个 单位而得到(答: y ,右) (2)若函数 y ? f (2 x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f (2 x) 的对称轴方程是_______(答: x ? ? (3)函数 f ( x) ? x ? lg( x ? 2) ? 1的图象与 x 轴的交点个数有____个(答:2个)

1 得到的。 a

1 ) 2

1 3 向向左平移 2 个单位,所得图像对应的函数为_____(答: f (3x ? 6) )
15.函数的对称性 (1)满足条件 f ? x ? a ? ? f ?b ? x ? 的函数的图象关于直线 x ?

(4)将函数 y ? f ( x) 的图像上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变) ,再将此图像沿 x 轴方

a?b 对称。 2 a?b ( 2 ) 若 f (a ? x) ? f (b ? x) , 则 f ( x ) 图 象 关 于 直 线 x ? 对 称 ; 两 函 数 f (a ? x) 与 2 b?a y ? f (b ? x) 图象关于直线 x ? 对称; 2 2 如(1)已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 满足条件 f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且方程 f ( x) ? x 有等 1 2 根,则 f ( x) =___ _(答: ? x ? x ) 2 x ?1? a (a ? R) 。 (2) 已知函数 f ( x) ? 求证: 函数 f ( x) 的图像关于点 M (a, ?1) 成中心对称图形。 a?x (3) | f ( x) | 的图象先保留 f ( x ) 原来在 x 轴上方的图象,作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的对称 图形,然后擦去 x 轴下方的图象得到; f (| x |) 的图象先保留 f ( x ) 在 y 轴右方的图象,擦去 y 轴左 方的图象, 然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到。 如 (1) 作出函数 y ?| log 2 ( x ? 1) | 及

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(2)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的 y ? log2 | x ? 1| 的图象; 图象关于____对称 (答: y 轴) 16.函数定义域、值域、单调性等题型方法总结 (1)判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 (2)求函数解析式的常用方法: ①待定系数法――已知所求函数的类型 如已知 f ( x ) 为二次函数, 且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) , 且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 , 则 f ( x ) 的解析式为

1 2 x ? 2 x ? 1) 2 ②代换(配凑)法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x ) 的表达式。
;(答: f ( x ) ?

如(1)已知 f (1 ? cos x) ? sin 2 x, 求 f x (2)若 f ( x ?

? ? 的解析式(答: f (x ) ? ?x
2
2

4

; ? 2x2 , x ?[? 2, 2] )

1 1 ) ? x 2 ? 2 ,则函数 f ( x ? 1) =_____(答: x 2 ? 2 x ? 3 ) ; x x ( 3 )若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,那么当
这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即 f ( x ) 的定义域应是 g ( x) 的值域。 ③方程的思想――对已知等式进行赋值,从而得到关于 f ( x ) 及另外一个函数的方程组。 如(1)已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,则 f ( x ) 的解析式 (2) 已知 f ( x ) 是奇函数,g ( x) 是偶函数, 且 f ( x) + g ( x) = (答: f ( x ) ? ?3 x ?

x ? (??,0) 时, f ( x) =________(答: x(1 ? 3 x ) )

1 ,则 f ( x ) = x ?1

2 ) ; 3 x (答: 2 ) x ?1

(3)求定义域——使函数解析式有意义(如:分母、偶次根式被开方数、对数真数、底数、零指数 幂的底数、实际问题有意义;若 f(x)定义域为[a,b],复合函数 f[g(x)]定义域由 a≤g(x)≤b 解出; 若 f[g(x)]定义域为[a,b],则 f(x)定义域相当于 x∈[a,b]时 g(x)的值域;

l ( g 如: (1) 函数 y ? f ( x) 定义域为 ? ,2? , 则 fo 2
2

?1 ? ? ?

2

x) 定义域为________ (答: x | 2 ? x ? 4 ) ;

?

?

(2)若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x) 的定义域为________(答:[1,5]) (4)求值域方法 ①配方法;如:函数 y ? x2 ? 2x ? 5, x ?[?1, 2] 的值域 ②逆求法(反求法) ;如: y ? 不等式,得出 y 的取值范围为
2

(答:[4,8]) ;

3x x x 通过反解,用 y 来表示 3 ,再由 3 的取值范围,通过解 1 ? 3x
(答: (0,1) ) ; _(答: [?4,

③换元法;如(1) y ? 2sin x ? 3cos x ?1的值域为__

17 ; ]) 8

(2) y ? 2x ? 1 ? x ?1 的值域为_____(答:?3, ?? ? ) (令 x ?1 ? t ,t ? 0 。运用换元法时, 要特别要注意新元 t 的范围) ; ④三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; 如: y ?

2sin x ? 1 的值域 1 ? cos x

3 (答: (??, ] ) ; 2

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⑤不等式法:利用基本不等式 a ? b ? 2 ab (a, b ? R? ) 求函数的最值。 如设 x, a1 , a2 , y 成等差数列, x, b1 , b2 , y 成等比数列,则 (答: (??,0] [4, ??) ) ⑥单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 如求 y ? x ? ______,

(a1 ? a2 )2 的取值范围是_ b1b2

___

1 9 x?2 ? log 3 ? 5 ? x ? 的值域分别为 (1 ? x ? 9) , y ? sin 2 x ? ,y?2 x 1 ? sin 2 x 80 11 , (答: (0, ) 、 [ , 9] 、 ? 0, ?? ? ) ; 9 2 y 及 y ? 2 x 的取值范围分别为______, x?2

⑦数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 如(1)已知点 P ( x, y ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上,则 (2)求函数 y ? (答: [? ⑧判别式法 如(1)求 y ?

( x ? 2) 2 ? ( x ? 8) 2 的值域

3 3 ; , ] 、 [? 5, 5] , [10, ??) ) 3 3
x 的值域 1 ? x2
x?2 的值域 x?3
(答: ? ? 1 , 1 ? ) ; ? ? 2 2? ? (答: [0, ] )

(2)求函数 y ?

1 2

(3)求 y ?

x2 ? x ? 1 的值域 x ?1
3 2

(答: (??, ?3] [1, ??) )

⑨导数法、分离参数法; 如(1)求函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 40 x , x ?[?3,3] 的最小值 (2)用 2 种方法求下列函数的值域: 。 (答:-48)

x2 ? x ? 3 3 ? 2x x2 ? x ? 3 ( x ? [?1,1]) ② y ? , x ? (??,0) ①y? , x ? (??,0) ;③ y ? 3 ? 2x x ?1 x
(5)解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证; (6)恒成立问题:分离参数法、最值法、化为一次或二次方程根的分布问题 a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x)max ; a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x)min (7)任意定义在 R 上函数 f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和;即

f ( x) ? g ( x) ? h( x) f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) 其中 g ( x) ? 是偶函数, h( x) ? 是奇函数 2 2 (8)利用一些方法(如赋值法(令 x =0 或 1,求出 f (0) 或 f (1) 、令 y ? x 或 y ? ? x 等) 、递推法、
反证法等)进行逻辑探究。 如(1)若 x ? R , f ( x ) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) ,则 f ( x ) 的奇偶性是____(答:奇函数) ;

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(2)若 x ? R , f ( x ) 满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y ) ,则 f ( x ) 的奇偶性是______(答:偶函数) ; (3)已知 f ( x ) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数,当 0 ? x ? 3 时, f ( x ) 的图像如右图所示,那么 不等式 f ( x) cos x ? 0 的解集是_____________(答: (?

, ?1) (0,1) ( ,3) ) ; 2 2 y x ? (4)设 f ( x ) 的定义域为 R ,对任意 x, y ? R ? ,都有 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) , y 1 且 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,又 f ( ) ? 1 , 2 ①求证 f ( x ) 为减函数;②解不等式 f ( x) ? f (5 ? x) ? ?2 .(答: ? 0,1? ? 4,5? ) .

?

?

17. (1) 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .
/

O

1

2

(2)导数几何物理意义:k=f (x0)表示曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率。
/

3

x
2

V=s (t)表示 t 时刻即时速度,a=v′(t)表示 t 时刻加速度。 如一物体的运动方程是 s ? 1 ? t ? t , 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 t ? 3 时的瞬时速度为_____(答:5 米/秒) 18.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn )' ? nxn?1 (n ? Q) . (3) (sin x)? ? cos x . (4) (cosx)? ? ? sin x . (5) (ln x )? ?

1 1 e x ; (log a )? ? log a . (6) (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a . x x

19.导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u ' ? v' .(2) (uv)' ? u 'v ? uv' .(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

20.复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ' ? ? ' ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有导数
' ' ' ,或写作 yu ' ? f ' (u) , 则 复 合 函 数 y ? f (? ( x)) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 yx ? yu ? ux

f x' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) . 21.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法:当函数 f ( x) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值.
22.导数应用 ⑴过某点的切线不一定只有一条; 如:已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x ,过点 P(2, ?6) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线的方程 (答: 3x ? y ? 0 或 24 x ? y ? 54 ? 0 ) 。 ⑵研究单调性步骤:分析 y=f(x)定义域;求导数;解不等式 f (x)≥0 得增区间;解不等式 f (x)≤0 / 得减区间;注意 f (x)=0 的点;
3 如:设 a ? 0 函数 f ( x) ? x ? ax 在 [1,??) 上单调函数,则实数 a 的取值范围______
/ /

(答: 0 ? a ? 3 ) ; ⑶求极值、 最值步骤:求导数;求 f ?( x ) ? 0 的根;检验 f ?( x ) 在根左右两侧符号,若左正右负,则 f(x) 在该根处取极大值;若左负右正,则 f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为

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最大值,最小的是最小值.

? 15 ) 如: (1) 函数 y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在[0, 3]上的最大值、 最小值分别是______ (答: 5; ;
(2)已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在区间[-1,2 ]上是减函数,那么 b+c 有最__值__答:

15 ) 2 3 2 (3)方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根的个数为__(答:1)
大, ? 特别提醒: (1) x0 是极值点的充要条件是 x0 点两侧导数异号,而不仅是 f ? ? x0 ? =0, f ? ? x0 ? = 0 是 x0 为极值点的必要而不充分条件。 (2)给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑 f ?( x0 ) ? 0 , 又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一点一定要切记! 如:函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? a2在x ? 1处有极小值 10,则 a+b 的值为____(答:-7) 第三节 数列 24.等差数列中 an=a1+(n-1)d(叠加法) Sn== na1 ?

n(n ?1) n(n ? 1) n(a1 ? an ) d = nan ? d= (倒序相加法) 2 2 2
n-1

等比数列中 an= a1 q ;(叠乘法)当 q=1,Sn=na1 当 q≠1,Sn= 25.常用性质、结论: (1)等差数列中, an=am+ (n-m)d, d ?
n-m

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q = (错位相减法) 1? q 1? q

am ? an ;当 m+n=p+q,am+an=ap+aq; m?n

等比数列中,an=amq ; 当 m+n=p+q , am an ? a p aq ; 如①在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___(答:512) ; ②各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 则 log3 a1 ? log3 a2 ?

? log3 a10 ?

(答:10) 。
? bn ?

1 ? 、{anbn}、 (2)常见数列:{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、 ? ? ? ? an ? 等比;{an}等差,则 c an (c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0 且 c ? 1)等差。 ? ? ? bn ?

? ?

(3)在等差数列 ?an ? 中: ①若项数为 2 n ,则
S 偶 ? S 奇 ? nd ,

S偶 S奇

?

a n ?1 an

②若数为 2n ? 1 则, S奇 ? S偶 ? an?1

S奇 S偶

?

n ?1 , S2n?1 ? (2n ? 1)an?1 , n

在等比数列 ?an ? 中:若项数为 2 n ,则

S偶 S奇

? q ②若数为 2n ? 1 则

S 奇 ? a1 S偶

?q

(4)等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等差

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数列;等比数列{an}的任意连续 m 项的和且不为零时构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、?? 仍为等比数列。 如:公比为-1 时, S4 、 S8 - S4 、 S12 - S8 、?不成等比数列 26.等差三数为 a-d,a,a+d;四数 a-3d,a-d,,a+d,a+3d;等比三数可设

a ,a,aq; q

四个数成等比的错误设法:

a a 3 , ,aq,aq (为什么?) 3 q q

如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16, 第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16) 27.等差、等比数列的判定: {an}等差 ? an ? an?1 ? d (常数) ? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N *中项) (1)

? an ? an ? b(一次) ? sn ? An2 ? Bn(常数项为0的二次); a, b, A, B ? ?
?a n 2 ? a n-1 ? a n ?1 (n ? 2,n ? N) a (2) {a n }等比 ? ? ? n ? q(定); an ?1 an ? 0 ?

? a n ? a1 ? qn?1 ? sn ? m ? m ? qn ;
如若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = (答:-1) 28 .首项正的递减 ( 或首项负的递增 ) 等差数列前 n 项和最大 ( 或最小 ) 问题 , 转化为解不等式

?an ? 0 ?an ? 0 (或? ) ,或用二次函数处理;(等比前 n 项积?),由此你能求一般数列中的最大或最 ? ?an?1 ? 0 ?an?1 ? 0
小项吗? 如(1)等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。 (答:前 13 项和最大,最大值为 169) ; (2)若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成 立的最大正整数 n 是 (答:4006) 29.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构. n n 分组法求数列的和:如 an=2n+3 、错位相减法求和:如 an=(2n-1)2 、裂项法求和:如求和:

1?

1 1 ? ? 1? 2 1? 2 ? 3

?

1 1? 2 ? 3 ?

?n

?

(答:

2n ) 、倒序相加法求和: n ?1

0 1 2 如①求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ?

n ? (2n ? 1)Cn ? (n ?1) 2n ;

②已知 f ( x) ?

7 1 1 1 x2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =___(答: ) 2 2 2 3 4 1? x

30.求数列{an}的最大、最小项的方法(函数思想) :

?? 0 ? ①an+1-an=?? ?? 0 ?? 0 ?

?? 1 a n ?1 ? ? ? ?? 1 如 an= -2n +29n-3 ② an ?? 1 ?
2

(an>0) 如 an=

9 n (n ? 1) 10n

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③ an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= 31.求通项常法

n n ? 156
2

?S1 a ? (1)已知数列的前 n 项和 s n ,求通项 a n ,可利用公式 n ? ?Sn ? Sn?1
如:数列 {an } 满足

(n ? 1) (n ? 2)

1 1 a1 ? 2 a2 ? 2 2

?

1 14, n ? 1 a ? 2n ? 5 ,求 an (答: an ? n ?1 ) n n 2 ,n ? 2 2

?

(2)先猜后证 (3)递推式为 a n+1 = a n +f(n) (采用累加法); a n+1 = a n ×f(n) (采用累积法); 如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

1 n ?1 ? n

(n ? 2) ,则 an =________
(答: an ? n ? 1 ? 2 ? 1)

(4)构造法形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列 如①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+??+(a2-a1)+a1 ; an= (6)倒数法形如 an ? (答: an ? 2 3n?1 ?1 ) ; (5)涉及递推公式的问题,常借助于“迭代法”解决,适当注意以下 3 个公式的合理运用

a n a n-1 a 2 ? ? a1 a n-1 a n-2 a 1

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b 1 an ?1 如①已知 a1 ? 1, an ? ,求 an (答: an ? ) ; 3n ? 2 3an ?1 ? 1 1 ②已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? an an?1 ,求 an (答: an ? 2 ) n n(n ? 1) 2 2 2 2 (7)、常见和: 1 ? 2 ? ? n ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 13 ? 23 ? 33 ? ? n3 ? [ ] 6 2
第四节 32.终边相同(β =2kπ +α );
2 弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R ,1 弧度(1rad) ? 57.3

三角函数

2

2

如:已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 (答:2 cm ) 33.函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? b( ? ? 0, A ? 0 ) ①五点法作图; ②振幅?相位?初相?周期 T= 如(1)函数 y ? sin ?
2? ,频率; ?

2

? 5? ? ? 2 x ? 的奇偶性是______ ? 2 ?

(答:偶函数) ;

3 (2)已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1( a,b 为常数) ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5 ) ? ______

(答:-5) ;

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(3)函数 y ? 2 cos x(sin x ? cos x) 的图象的对称中心和对称轴分别是________、_______ (答: (

k? ? k? ? ? ,1 )( k ? Z ) 、 x ? ? ( k ? Z )) ; 2 8 2 8

? ? k? ? (4) 已知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? ) 为偶函数, 求 ? 的值。 (答:
③变换:φ 正左移负右移;b 正上移负下移; 34.正弦定理:2R=
a b c = = ; 内切圆半径 r= 2S ?ABC sin A sin B sin C a?b?c

?

6

( k ?Z ))

余弦定理:a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A , cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 S ? 1 ab sin C ? 1 bc sin A? 1 ca sin B ; 2 2 2 2bc

术语:坡度、仰角、俯角、方位角(以特定基准方向为起点(一般为北方) ,依顺时针方式旋转 至指示方向所在位置,其间所夹的角度称之。方位角 α 的取值范围是:0°≤α <360° 35. 同角基本关系: 如: 已知

n s i ? ? 3c o s ? tan ? 则 = ? ?1 , n s i ? ?c o s ? tan ? ? 1

_; sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 =_ (答: ?

__

36.诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限( ? 看作第一象限) 37.重要公式: sin2 ? ?

5 13 ; ) ; 3 5

1 ? cos2? 1 ? cos 2? ; cos2 ? ? . ; 2 2 如:函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ? 5 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________ 2

12 巧变角:如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

(答: [ k? ?

?

,k? ?

5? ]( k ? Z ) ) 12

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 等) , 2 2 2 2 2 ? 1 ? 3 如: (1)已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____(答: ) ; 22 5 4 4 4 3 (2)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函数关系 5 3 4 3 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) 为_____ (答: y ? ? 5 5 5 b 2 2 38.辅助角公式中辅助角的确定: a sin x ? b cos x ? a ? b sin ? x ? ? ? (其中 tan ? ? ) a 3 如: (1)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______(答: ? ); 2 tan ? (2)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 = (答:-2);
第五节 平面向量 39.向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是- a 。)、共线向量、相等向量

?

??

?

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注意:不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移) 40.加、减法的平行四边形与三角形法则: AB ? BC ? AC ; AB ? AC ? CB 41. a ? b ? a ? b ? a ? b 如:在 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC ,M 为 BC 的中点,则 MN ? _______。 (用 a、 b 表示) 42.向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则: ① a ? b ? a ?b ? 0 ; ②当 a ,b 同向时,a ? b = a b , 特别地,a ? a ? a ? a , a ? =- a b ;当 ? 为锐角时, a ? b >0,且 a、 b 不同 向,a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要非充分条件; 当 ? 为钝角时,a ? b <0, 且 a、 b 不反向,a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要非充分条件;③ | a ? b |?| a || b | 。如(1)已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是______(答: ? ? ? 43.向量 b 在 a 方向上的投影︱b︱cos ? =
a ?b a
? ? ?

(答: ?

1 1 a? b) 4 4

2

2

当 a 与 b 反向时,a ? b a ;

2

?

?

?

?

4 1 或? ? 0且? ? ) ; 3 3

44. e1 和 e2 是平面一组基底,则该平面任一向量 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ( ?1 , ?2 唯一) 特别:. OP = ?1OA ? ?2 OB 则 ?1 ? ?2 ? 1 是三点 P、A、B 共线的充要条件如平面直角坐标系中,

?

?

O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) , B(?1,3) ,若点 C 满足 OC ? ?1 OA? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且

? ??

? ??

? ??

?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______
45.在 ?ABC 中,

(答:直线 AB)

① PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为的重心,特别地 PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为的重心;

3 ② PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心; ③向量 ? ( AB ? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分线所在直线); | AB | | AC |
如: (1)若 O 是 ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ABC 的 形状为____(答:直角三角形) ; (2)若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, ?ABC 所在平面内有一点 P ,满足 PA ? BP ? CP ? 0 , 设

| AP | ; (3)若点 O 是 △ABC 的外心,且 ? ? ,则 ? 的值为___(答:2) | PD |
(答: 120 ) ;
1? ?

OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ABC 的内角 C 为____

OP = OP1 ? ? OP2 ;若 λ = 46.P 分 P1 P2 的比为 ? ,则 P1 P = ? P P2 , ? >0 内分; ? <0 且 ? ≠-1 外分,

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1 则 OP =

1 ( OP + OP2 );设 P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 1 2

x1 ? x2 ? x1 ? ?x 2 ? x ? x 2 ? x3 ? x ? , x ? , x? 1 , ? ? ? ? 2 ? 1? ? ? 3 ? ? ;中点 重心 ? ? y ? y1 ? y2 . ? y ? y1 ? ?y 2 . ?y ? y1 ? y 2 ? y 3 . ? ? ? 3 1? ? ? ? 2 ?
第六节 不等式 47.注意课本上的几个性质,另外需要特别注意: ①若 ab>0,则

1 1 ? 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。 a b

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类 讨论。 如:已知 ?1 ? x ? y ? 1 ,1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______(答:1 ? 3x ? y ? 7 ) ; 48.比较大小的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; (2)作商(常用于分数指数幂的代数式) ; (3)分析法; (4)平方法; (5)分子(或分母)有理化; (6)利用函数的单调性; (7)寻找中间量与“0”比,与“1”比或放缩法 ; (8)图象法。 其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。

1 t ?1 log 的 大 小 ( 答 : 当 a ?1 时 , a t和 l o g a 2 2 1 t ?1 1 t ?1 log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) ; 当 0 ? a ? 1 时, log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) ) ; 2 2 2 2 2 1 (2)设 a ? 2 , p ? a ? , q ? 2 ? a ?4a?2 ,试比较 p, q 的大小 (答: p ? q ) a?2 49.常用不等式:若 a, b ? 0 ,
如 ( 1 ) 设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 , 比 较

a 2 ? b2 ? a ? b ? ab ? 2 (当且仅当 a ? b 时取等号) ; 2 2 1?1 a b 2 2 2 (2)a、b、c ? R, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号) ; b b?m (3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ? (糖水的浓度问题) 。 a a?m 如:如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是_________(答: ?9, ?? ? )
(1) 基本变形:① a ? b ? ;(

a?b 2 ) ? 2



注意:①一正二定三取等;②积定和最小,和定积最大。常用的方法为:拆、凑、平方; 如:①函数 y ? 4 x ?

9 1 ( x ? ) 的最小值 2 ? 4x 2

(答:8)

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②若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______
x y

(答: 2 2 ) ; (答:3 ? 2 2 ) ;

③正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1 , 则

1 1 ? 的最小值为______ x y

50.证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.另:商比②综合法--由因导果;③分 析法--执果索因;④反证法--正难则反。 51.解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方 ④公式法:|f(x)|>g(x) ? ;|f(x)|<g(x) ? 。 52.分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法(穿线法).注意偶次式与奇次式符号.奇穿偶回 如(1)解不等式 ( x ? 3)( x ?1)3 ( x ? 2)2 ? 0 (答: {x | x ? 1或x ? ?3 或 x ? ?2} ) ;

(2)解不等式

ax 2 ? x(a ? R) ax ? 1
1 1 {x | ? x ? 0} 或 x ? 0} ) 或 x ? 0} ;a ? 0 时, a a

a ? 0 时, {x | x ? { x | x ? 0} ;a ? 0 时, (答:

第七节 立体几何 53.位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a∥α 、a∩α =A (a ? α ) 、a ? α ③平面与平面:α ∥β 、α ∩β =a 54.常用定理

a // b ? ? // ? ? ? ? ? a // ? ①线面平行 b ? ? ? ? a // ? ; a ? ?? ? a ? ??
a // ?

? ? ?? ? ; a ? ? ? ? a // ? a ?? ? ?

? // ? ? ? a // b ? a ? ?? ? ? ? a // b ②线线平行: a ? ? ? ? a // b ; ; ? ? ? ? a ? ? a // b ; ? ? c // b ? a // c ? b ??? ? ? ? ? ? ? b? ? ? ? ? b?
a ? ? ,b ? ? ? a ??? ? // ? ? ? ? ? ? // ? ; ③面面平行: a ? b ? O ? ? ? // ? ; ? ? ? // ? a ? ?? ? // ? ? ? a // ? , b // ? ?

④线线垂直:

a ? ?? ??a ?b; b ? ??

??? ? a ? ?,b ? ? ? ? // ? ? a // b ? ? ? ??a ? ? ; ⑤线面垂直: a ? b ? O ? ? l ? ? ; ? ? ? ? l ? ? a ? ? ; ?? b ?? a ? ? a ? ?? ? ? ? a ? ? , a ? l l ? a, l ? b ? ?
⑥面面垂直:二面角 90 ;
0

a ? ?? a // ? ? ??? ? ? ; ??? ? ? a ?? ? a ? ??

55.平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系 三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ? 顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直 (两对对棱垂直) ? 顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等) ? 顶点在底面射影

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为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为 θ ,则 S 侧 cosθ =S 底;正三角形四心?内切外接圆半 径?; 56.球:表面积 S 球=4π R ;体积 V 球=
2

4 3 πR; 3

57.常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③割补法④ 等体积转化⑤线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行⑥线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直⑦有中点 等特殊点线,用“中位线、重心”转化. 第八节 解析几何 K y ?y 0 58.倾斜角 α ∈[0,π ],α =90 斜率不存在;斜率 k=tanα = 2 1
x2 ? x1

59.直线方程:点斜式 y-y1=k(x-x1);斜截式 y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0 两点式:
x y y ? y1 x ? x1 ;截距式: ? ? 1 (a≠0;b≠0); ? a b y2 ? y1 x2 ? x1

O


π α

求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解,直线 Ax+By+C=0 的方向向量为 a =(A,-B) 60.两直线平行和垂直 ①若斜率存在 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2 则 l1∥l2 ? k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2 ? k1k2=-1 ②若 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1⊥l2 ? A1A2+B1B2=0; ③若 A1、A2、B1、B2 都不为零 l1∥l2 ? ④l1∥l2 则化为同 x、y 系数后距离 d= 61.点线距 d=
| Ax0 ? By 0 ? C | A2 ? B 2

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2 | C1 ? C 2 |
A2 ? B 2

;

62. (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ? ( 4 )圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ( 圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
(3)圆的参数方程 ? 63.若(x0-a) +(y0-b) <r (=r ,>r ),则 P(x0,y0)在圆(x-a) +(y-b) =r 内(上、外) 64.直线与圆关系,常化为线心距与半径关系, 如:用垂径定理,构造 Rt△解决弦长问题,又:d>r ? 相离;d=r ? 相切;d<r ? 相交. 65.圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为 d,两圆半径分别为 r,R,则 d>r+R ? 两圆相离;d=r+R ? 两圆相外切;|R-r|<d<r+R ? 两圆相交;d=|R-r| ? 两圆相内切;d<|R- r| ? 两圆内含;d=0,同心圆。 2 2 2 2 66.把两圆 x +y +D1x+E1y+C1=0 与 x +y +D2x+E2y+C2=0 方程相减即得相交弦所在直线方程: (D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0; 67.圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心) 68.椭圆
x 2 y2 ①方程 2 ? 2 ? 1 (a>b>0);参数方程 ? a b ?y
2

2

2

2

2

2

2

2

2

?x ? a cos? | P F| ? b sin ? ②定义: d 相应 =e<1; |PF1|+|PF2|=2a>2c

③e= c ? 1 ? b 2 ,a =b +c ④长轴长为 2a, 短轴长为 2b⑤焦半径左 PF1=a+ex,右 PF2=a-ex;左焦点弦
2 2 2

a

a

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AB ? 2a ? e(x A ? x B ) ,右焦点弦 AB ? 2a ? e(x A ? x B ) ⑥准线 x= ?

2 a2 2b 2 、 通径(最短焦点弦) ,焦准距 p= b c a c

68.双曲线 ①方程
2 x 2 y2 | P F| 2 2 2 =e>1;||PF1|-|PF2||=2a<2c③e= c ? 1 ? b 2 ,c =a +b ? 2 ? 1 (a,b>0)②定义: 2 a d 相应 a a b

④四点坐标?实虚轴、 渐进线交点为中心⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦 点不同);到焦点距离常化为到准线距离 ⑥准线 x= ? 69.抛物线 ①方程 y =2px②定义:|PF|=d 准③顶点为焦点到准线垂线段中点;焦点 F( ④焦半径 AF ? x A ?
2

a2 2b 2 b2 、通径(最短焦点弦) ,焦准距 p= c a c
p p ,0),准线 x=- , 2 2

2 p 2 ;焦点弦 AB =x1+x2+p;y1y2=-p ,x1x2= p 其中 A(x1,y1)、B(x2,y2) 2 4

⑤通径 2p,焦准距 p; 70. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 B ? 0 ,当 B 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的上方的区域;当 B 与 Ax ? By ? C 异号 时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若B?0, 当 A 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的右方的区域; 当 A 与 Ax ? By ? C 异号时, 表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系. 2 2 2 2 2 2 2 71.过圆 x +y =r 上点 P(x0,y0)的切线为:x0x+y0y=r ;过圆 x +y =r 外点 P(x0,y0)作切线后切点弦方 2 程:x0x+y0y=r ;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直x轴. 72.对称 ①点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线 y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m 的对称点分别是(a,b), (-a,b),(-a,-b),(b,a),(-b,-a),(b-m、a+m)、(-b+m、-a+m) ②点(a,b)关于直线 Ax+By+C=0 对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解③曲线 f(x,y)=0 关于 点(a,b)对称曲线为 f(2a-x,2b-y)=0;关于 y=x 对称曲线为 f(y,x)=0;关于轴 x=a 对称曲线方程 f(2a-x,y)=0; 关于轴 y=a 对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题. 73.涉及弦中点与斜率问题常用“点差法”.如: 曲线 x 2 ? y 2 ? 1 (a,b>0)上 A(x1,y1)、B(x2,y2)中点为
a b
2 2 M(x0,y0),则 KABKOM= ? b 2 ;对抛物线 y =2px(p≠0)有 KAB= 2p

2

2

a

y1 ? y 2

74.轨迹方程 直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点 P(x,y)依赖于动点 Q(x1,y1)而变化,Q(x1,y1)在已知曲线上,用 x、y 表示 x1、y1,再将 x1、y1 代入已知曲线即得所求方程)、 参数法、交轨法等. 75. 解题注意:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误②求圆锥曲线方程常 用待定系数法、定义法、轨迹法③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程④ 2 2 运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为 Ax +Bx =1; 共渐进线 y ? ? b x 的双曲线标准方程可设为 x2
a
a
2

?

y2 ? ? (? 为参数, ? b2

≠0);抛物线 y =2px 上点可设为

2

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(

2 y0 ,y0); 2p

直线的另一种假设为 x=my+a;⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义. 76.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ), 其中 k 是待定的系数; 经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是 待定的系数. (2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点的直线 系方程为 ( A 1x ? B 1 y ? C1 ) ? ? ( A 2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l 2 ),其中 λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程: 直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时, 表示平行直线系方程. 与 直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是参变量. (4) 垂 直 直 线 系 方 程 : 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0 , B≠0) 垂 直 的 直 线 系 方 程 是

Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量.
77.点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种若 d ? 则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 78.直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种: ( d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2



d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
79.圆的切线方程 (1)已知圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两条 切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. 斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 .
2 ①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 . 80.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x. 渐近线方程: ? 2 2 2 a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y ? ? 0, (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线, 可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0, 焦点在 x 轴上, a b a b
2

焦点在 y 轴上). 81.抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式
2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ?

p . 2

过焦点弦长 CD ? x1 ?

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2

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y 82.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x , y ) ,其中 y 2 ? 2 px . 2p
2

2

第九节 排列、组合、二项式定理 83.计数原理:分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且每次得出 的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事) ,分步相乘(一步得出的结果都不是最后的结果, 任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事,各步是关联的) , 有序排列,无序组合. 如(1)将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共有 种; (答: 3 )
5

(2)从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台, 则不同的取法共有 种 (答:70) ; (3)从集合 ?1, 2,3? 和 ?1,4,5,6? 中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中能确定不 同点的个数是___(答:23) ; (4)72 的正约数(包括 1 和 72)共有 个 (答:12) ; (5) ? A 的一边 AB 上有 4 个点,另一边 AC 上有 5 个点,连同 ? A 的顶点共 10 个点,以这 些点为顶点,可以构成_____个三角形 (答:90) ;
m 84.排列数公式: An =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)=

n! ( n ? m )!

(m≤n,m、n∈N ),

*

m m?1 m m m?1 0!=1; A n n =n!; n.n!=(n+1)!-n!; An ? nA n?1 ; An?1 ? An ? mA n
m 85.组合数公式: C nm ? An ?

m!

n! n ? (n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) = m!( n ? m )! (m≤n), m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ?1

n m?1 m 1 Cn?1 ; Cn0 ? 1 ; Cnm ? Cnn?m ; Cnr ? Cnr?1 ? Cnr?1 ; Crr ? Crr?1 ? ? ? ? ? Crn ? Crn? ?1 ; Cn ? m

86.主要解题方法: ①优先法:特殊元素优先或特殊位置优先。 如:某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的 外墙,现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选择,其中 1 号石材有微量的放射性,不可用于 办公室内,则不同的装饰效果有_____种 (答:300) ②捆绑法 如(1)把 4 名男生和 4 名女生排成一排,女生要排在一起,不同的排法种数为_____(答:2880) (2)某人射击8枪,命中4枪,4枪命中中恰好有3枪连在一起的情况的不同种数为_____ (答:20) ③插空法 如(1)3 人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______种 (答:24) (2)某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如果将 这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为_____ (答:42) ④间接扣除法 如在平面直角坐标系中,由六个点(0,0),(1,2),(2,4),(6,3),(-1,-2),(-2,-1)可以确 定三角 形的个数为_____ (答:15) ⑤隔板法 如(1)10 个相同的球各分给 3 个人,每人至少一个,有多少种分发?每人至少两个呢?

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(答:36;15) (2)某运输公司有 7 个车队,每个车队的车都多于 4 辆且型号相同,要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成一运输车队,每个车队至少抽 1 辆车,则不同的抽法有多少种? (答:84) ⑥先选后排,先分再排(注意等分分组问题) 如某种产品有 4 只次品和 6 只正品,每只产品均不相同且可区分,今每次取出一只测试,直到 4 只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时,被发现的不同情况种数是_____ (答:576) 0 n 1 n?1 2 n?2 2 r n?r r n n 87.二项式定理 (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b 特别地:(1+x) =1+Cn x+Cn x +?+Cn x +?+Cn x r n-r r 88.二项展开式通项: Tr+1= Cn a b ;作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 要注意区别二项式系数与项的系数; 89.二项式系数性质 m n-m ①对称性: 与首末两端等距的二项式系数相等.Cn =Cn ②中间项二项式系数最大:n 为偶数,中间一项;若 n 为奇数,中间两项(哪项?)
0 1 2 n 0 2 1 3 ③二项式系数和 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2n ; Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1;
n 1 2 2 r r n n

90.f(x)=(ax+b) 展开各项系数和为 f(1);奇次项系数和为 [ f (1) ? f (?1)] ;偶次项系数和为
n 1 [ f (1) ? f (?1)] ; (ax ? by) 展开各项系数和,令 x ? y ? 1 可得. 2

n

1 2

91.二项式定理应用:近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展 开式的某些项的系数的和。 第十节 概率与统计 92.随机事件 A 的概率 0 ? P( A) ? 1,其中当 P( A) ? 1 时称为必然事件;当 P( A) ?0 时称为不可能 事件 P(A)=0; 93.等可能事件的概率(古典概率) ::P(A)=m/n;如: 如:设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率: ①从中任取 2 件都是次品;②从中任取 5 件恰有 2 件次品;③从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品;④从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 (答:①

2 10 44 10 ;② ;③ ;④ ) 125 15 21 21 8 ) ; 21

互斥事件(不可能同时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B); 如:有 A、B 两个口袋,A 袋中有 4 个白球和 2 个黑球,B 袋中有 3 个白球和 4 个黑球,从 A、B 袋中各取两个球交换后,求 A 袋中仍装有 4 个白球的概率。 (答:

对立事件(A、B 不可能同时发生,但 A、B 中必然有一发生):P(A)+P( A )=1;独立事件(事件 A、B 的发生互不影响):P(A?B)=P(A)·P(B); 如(1)设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 的概率相同,则事件 A 发生的概率 P(A)是______

1 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生 9 2 (答: ) ; 3

(2)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分 别得 100 分、100 分、200 分,答错得 0 分,假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8、0.7、0.6,且各题答对与否相互之间没有影响,则这名同学得 300 分的概率为_____________; 这名同学至少得 300 分的概率为_____________ (答:0.228;0.564) ; k k n-k 独立事件重复试验: :Pn(K)=Cn p (1-p) 为 A 在 n 次独立重复试验中恰发生 k 次的概率。 如 (1) 袋中有红、 黄、 绿色球各一个, 每次任取一个, 有放回地抽取三次, 球的颜色全相同的概率是________

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(答:

1 ) ; 9

(2)冰箱中放有甲、乙两种饮料各 5 瓶,每次饮用时从中任意取 1 瓶甲种或乙种饮料,取用甲 种或乙种饮料的概率相等,则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下 3 瓶的概率为__________ (答:

15 ) 128

94.总体、个体、样本、样本容量;抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽样 (用于个体有明显差异时). 共同点:每个个体被抽到的概率都相等

n 。 N

如:某中学有高一学生 400 人,高二学生 300 人,高三学生 300 人,现通过分层抽样抽取一个 容量为 n 的样本,已知每个学生被抽到的概率为 0.2,则 n= _______ (答:200) ; 95.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,即用样本平均数估 计总体平均数(即总体期望值――描述一个总体的平均水平)直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频 率除以组距的商(而不是频率),横轴一般是数据的大小,小矩形的面积表示频率 样本平均数: x ?

1 1 n ( x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ) ? ? xi n n i ?1
? ( xn ? x) 2 ] ?

样本方差: s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? n

1 n ( xi ? x)2 ; ? n i ?1



2 1 2 2 2 2 (x1 +x2 + x3 +?+xn -n x ) n

方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小,数据方差越大,说明这组数据的波动越大。 提醒:若 x1 , x2 ,

, xn 的平均数为 x ,方差为 s 2 ,则 ax1 ? b, ax2 ? b,

, axn ? b 的平均数为

ax ? b ,方差为 a 2 s 2 。
如已知数据 x1 , x2 ,?, xn 的平均数 x ? 5 , 方差 S 2 ? 4 , 则数据 3x1 ? 7,3x2 ? 7,?,3xn ? 7 的平均 数和标准差分别为 第十一节 96.复数的相等 复数 (答:22,6)

a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 97.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)

| z | = | a ? bi | = a2 ? b2 .
98.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i (c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

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