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高中数学《导数的计算》同步练习2 新人教A版选修1-1


导数的运算

?

基础热身:
1. 求下列函数导数
2 (1) y ? x( x ? x ? x 3 )

1

1

(2) y ? ( x ? 1)(

1 x

? 1)

(3) y ? x ? sin 2 cos 2

x

x

(4)y= s in x

x2

2.如果函数 y=f(x)的图象如右图,那么导函数 y=f(x)的图象可能是(



3.设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e 2 B. e

) C.
ln 2 2

D. ln 2

?

知识梳理: 1.两个函数的和、差、积的求导法则
' 和差的求导法则:( u ? v) ?

?

.

即:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的

(或

). ;

(uv) ? u v ? uv . 积的求导法则: 等于 的导数乘以
' ' '

即:两个函数的积的导数, , 加上 乘以

商求导法则: , 等于 方.

? u ?? u ' v ? uv' ? ? = (v ? 0)即:两个函数的 v2 ?v?

的导数乘以

, 减去

乘以

,再除以分母的平

2. 复合函数的求导法则

形如 y ? f (u) ? f ( g ( x)) 的函数称为复合函数.

复合函数求导步骤:分解——求导——回代.

法则:y'| X =
2 2

·

☆ 案例分析:
例 1. ①[(3x2+1)(4x2-3)]′=(
)(4x -3)+(3x +1) ( ②利用导数的定义求函数 y= x ? 1 的导数. ③设函数 f ? x ? ? cos ? 3 x ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 。若 f ? x ? ? f
/

) .

? x ? 是奇函数,求 ? 。

用心

爱心

专心

1

例 2. 求所给函数的导数:
① y ? x ? log 2 x;
3

② y?x e ;
n x



y?

x3 ? 1 sin x

④ y=

cos x x



y ? sin 2 (2 x ? ) . 3

?

例 3. 设 x ? 3 是函数 f ? x ? ? ? x 2 ? ax ? b ? e3? x ? a ? ?4, x ? R ? 的一个极值点.求 a 与 b 的关
式(用 a 表示 b ) ,并求 f ? x ? 的单调区间. 系

例 4.已知函数 f ( x) ?

2x ? b ,求导函数 f ?( x) ,并确定 f ( x) 的单调区间. ( x ? 1) 2

例 5.已知函数 f ( x) ? x3 ? mx 2 ? nx ? 2 的图象过点(-1,-6) ,且函数 g ( x) ? f ?( x) ? 6 x
的图象关于 y 轴对称. (Ⅰ)求 m、n 的值及函数 y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a>0,求函数 y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.

练习
1. 已知 f(x)= a0 x ? a 1 x
n n ?1

? ? ? an?1 x ? an 其中 n 是正整数,则 f′(0)等于( )

A.a0n! B.a0 C.an-1 D.0 2. 若 f′(x)=x,则[xf(x)]′等于 ( ) 2 2 A.xf(x)+x B.f(x)+x C.x

D.f(x)

用心

爱心

专心

2

3. 下列函数中,导数不等于 A.2-

1 cos2x 4
2 2

1 sin2x 的是 2 1 2 B.2+ sin x 2

( ) C.

1 2 sin x 2

D.x-

1 2 cos x 2

4.函数 y=(2x -1) 的导数是 ( ) 3 2 3 3 3 A.16x -4x B.4x -8x C.16x -8x D.16x -4x 2 5.曲线 y=4x-x 上有两点 A(4,0) ,B(2,4) ,若曲线上一点 P 处的切线恰好平行于弦 AB,则点 P 的坐标是 ( ) A. (3,3) B. (1,3) C. (6,-12) D. (2,4) 6. 设 y=-tanx,则 y′= A. ? ( )

1 cos 2 x

B.

7. 设函数 f ( x) ?

x?a ' ,集合 M= {x | f ( x) ? 0} ,P= {x | f ( x) ? 0} ,若 M P,则实数 a 的取值 x ?1
C.(1,+∞) D. [1,+∞) . .

sin x cos 2 x

C.

1 1 ? x2

D.-

1 1 ? x2

范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1)

8.曲线 y ? 2 x ? x 3 过点(1,1)处的切线方程为 9.已知 f(x)=lnx-

1 2 x ,则使导函数 f′(x)>0 的 x 的取值范围是 2
2 2

10.函数 y=(1+x)(1+x ) 的导数是 11.曲线 y=x +2x 与曲线 y=-x - 12.已知函数 f ( x) ?
2 2

. .

ax ? 6 的图象在点 M(-1,f(x))处的切线方程为 x+2y+5=0. x2 ? b

1 的共切线方程是 2

(Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调区间.

13.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c在x ? ?2 处取得极值,并且它
3 2

的图象与直线 y ? ?3x ? 3 在点(1,0)处相切,求 a、b、c 的值.

用心

爱心

专心

3

14.已知 x ? 0 ,求证: e ? 1 ? x .
x

15. 设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) ? x ? ax与g ( x) ? bx ? c 的图象的一个公共点,
3 2

两函数的图象在点 P 处有相同的切线. (Ⅰ)用 t 表示 a,b,c; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围.

参考答案:
用心 爱心 专心 4

?

基础热身:

1.略 2. 【标准答案】A
【试题解析】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,所以只有答案 A 满足. 【高考考点】导函数的意义 【易错提醒】导函数的概念不清,不知道两函数之间的关系.

3. 【标准答案】B 【试题解析】∵ f ? x ? ? x ln x ∴ f ' ? x ? ? ln x ? x ? ∴由 f
'

1 ? ln x ? 1 x

? x0 ? ? 2 得 ln x0 ? 1 ? 2

? x0 ? e ,选B

例 1. 例 2. 例 3. f ′(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,
由 f ′(3)=0,得 -[3 +(a-2)3+b-a ]e
2 2

3-3

=0,即得 b=-3-2a,

则 f ′(x)=[x +(a-2)x-3-2a-a ]e =-[x +(a-2)x-3-3a ]e
2

3-x

3-x

=-(x-3)(x+a+1)e

3-x

.

令 f ′(x)=0,得 x1=3 或 x2=-a-1, 当 a<-4 时,x2>3=x1,则 在区间(-∞,3)上,f ′(x)<0, f (x)为减函数; 在区间(3,―a―1)上,f ′(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(―a―1,+∞)上,f ′(x)<0,f (x)为减函数.

例 4. 【标准答案】f ?( x) ?

2( x ? 1) 2 ? (2 x ? b)?2( x ? 1) ?2 x ? 2b ? 2 2[ x ? (b ? 1)] . ? ?? 4 3 ( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 1)3

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? b ? 1 . 当 b ? 1 ? 1,即 b ? 2 时, f ?( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??,b ? 1)
?

b ?1
0

(b ? 11) ,

(1, ?) ?
?

?

当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ?( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, 1)
?

(1,b ? 1)

b ?1
0

(b ? 1, ?) ?
?

?

用心

爱心

专心

5

所以,当 b ? 2 时,函数 f ( x) 在 (??,b ? 1) 上单调递减,在 (b ? 11) 上单调递增, , 在 (1 ? ?) 上单调递减. , 当 b ? 2 时,函数 f ( x) 在 (??, 上单调递减,在 (1 b ? 1) 上单调递增,在 (b ? 1 ? ?) 上 1) , , 单调递减. 当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ( x) ?

2 ,所以函数 f ( x) 在 (??, 上单调递减,在 (1 ? ?) 1) , x ?1

上单调递减. 【高考考点】: 导数,导数的应用 【易错提醒】: 公式记忆出错,分类讨论出错 【备考提示】: 大学下放内容,涉及面相对较小,题型种类也较少,易于掌握。

例 5. 【标准答案】
解: (1)由函数 f(x)图象过点(-1,-6) ,得 m-n=-3, ……① 3 2 2 由 f(x)=x +mx +nx-2,得 f′(x)=3x +2mx+n, 2 则 g(x)=f′(x)+6x=3x +(2m+6)x+n; 而 g(x)图象关于 y 轴对称,所以-

2m ? 6 =0,所以 m=-3, 2?3

代入①得 n=0. 2 于是 f′(x)=3x -6x=3x(x-2). 由 f′(x)>得 x>2 或 x<0, 故 f(x)的单调递增区间是(-∞,0)(2,+∞) , ; 由 f′(x)<0 得 0<x<2, 故 f(x)的单调递减区间是(0,2). (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f′(x)=3x(x-2), 令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

X f′(x) f(x)

(-∞.0) +

0 0 极大值

(0,2) -

2 0 极小值

(2,+ ∞) +

由此可得: 当 0<a<1 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值 f(O)=-2,无极小值; 当 a=1 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当 1<a<3 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值 f(2)=-6,无极大值; 当 a≥3 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得:当 0<a<1 时,f(x)有极大值-2,无极小值,当 1<a<3 时,f(x)有极小值-6,无极 大值;当 a=1 或 a≥3 时,f(x)无极值. 【试题解析】 【高考考点】本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识,考 查运用导数研究函数性质的方法,以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析 问题和解决问题的能力. 【易错提醒】对于 a 的讨论标准找不到或对其讨论不全造成结果错误.
用心 爱心 专心 6

【高考学习网提示】分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一,所以希望能加强这方面 的训练.

练习:
1. C.2.B.3.D.4.C. .5.A.6.A.7.C. 2 3 4 10.1+4x+6x +4x +5x .提示:展开后求导. 11.y=x- 8. 9. (0,1)

1 .提示:写出两曲线的切线方程(含各自的切点坐标) ,两条切线表示同一条 4

直线时,比较系数即可. 12.. (1)由函数 f(x)的图象在点 M(-1f(-1))处的 切线方程为 x+2y+5=0,知. 1 ? 1 ? 2 f ( ?1) ? 5 ? 0, 即f ( ?1) ? ?2, f ?( ?1) ? ? . 2 a ( x 2 ? b) ? 2 x ( ax ? 6) ? f ?( x ) ? . ( x 2 ? b) 2
解得a ? 2, b ? 3(? b ? 1 ? 0, b ? ?1舍去). 所以所求的函数解析式是f ( x ) ? ( II ) f ?( x ) ? ? 2 x 2 ? 12 x ? 6 . ( x 2 ? 3) 2 2x ? 6 . x2 ? 3

令 ? 2 x 2 ? 12 x ? 6 ? 0, 解得x1 ? 3 ? 2 3 , x 2 ? 3 ? 2 3 , 当x ? 3 ? 2 3 , 或x ? 3 ? 2 3时, f ?( x ) ? 0; 当3 ? 2 3 ? x ? 3 ? 2 3时, f ?( x ) ? 0. 2x ? 6 在( ??,3 ? 2 3 )内是减函数; 在(3 ? 2 3 ,3 ? 2 3 )内是增函数; x2 ? 3 在(3 ? 2 3 ,??)内是减函数. 所以f ( x ) ?

13. 由曲线 y ? f (x) 过(1,0)得1 ? a ? b ? c ? 0 ① 又 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax +b 则 f ?(?2) ? 12 ? 4a ? b ? 0


f ?(1) ? 3 ? 2a ? b ? ?3 ③ ……9 分. 解①②③得 a ? 1, b ? ?8, c ? 6 .
14. 设 f ( x) ? e x ? 1 ? x, 则f (0) ? 0, f ?( x) ? e x ? 1,当x ? 0时, f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(0,??) 上是
增 函数,? f ( x) ? f (0), 即e x ? 1 ? x 当 x ? 0 时,同理可证 e
x

? 1 ? x ,综上所述当 x ? 0 时

ex ? 1? x
15. (I)因为函数 f (x) , g (x) 的图象都过点( t ,0) ,所以 f (t ) ? 0 , 即 t 3 ? at ? 0 .因为 t ? 0, 所以 a ? ?t 2 .

g (t ) ? 0,即bt 2 ? c ? 0, 所以c ? ab.

用心

爱心

专心

7

又因为 f (x) , g (x) 在点( t ,0)处有相同的切线,所以 f ?(t ) ? g ?(t ). 而 f ?( x) ? 3x ? a, g ?( x) ? 2bx, 所以3t ? a ? 2bt.
2 2

将 a ? ?t 2 代入上式得 b ? t.

因此 c ? ab ? ?t 3 . 故 a ? ?t 2 , b ? t , c ? ?t 3 .
3 2 2 3 2 2

(II)解法一 y ? f ( x) ? g ( x) ? x ? t x ? tx ? t , y ? ? 3x ? 2tx ? t ? (3x ? t )( x ? t ) . 当 y ? ? (3x ? t )( x ? t ) ? 0 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 单调递减. 由 y ? ? 0 ,若 t ? 0, 则 ?

t t ? x ? t ;若 t ? 0, 则t ? x ? ? . 3 3

由题意,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,则

t t (?1,3) ? (? , t )或(?1,3) ? (t ,? ). 3 3 t 所以 t ? 3或 ? ? 3.即t ? ?9或t ? 3. 3
又当 ? 9 ? t ? 3 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减. 所以 t 的取值范围为 (??,?9] ? [3,??). 解法二: y ? f ( x) ? g ( x) ? x ? t x ? tx ? t , y ? ? 3x ? 2tx ? t ? (3x ? t )( x ? t )
3 2 2 3 2 2

因为函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,且 y ? ? (3x ? t )( x ? t ) 是(-1, 3)上的抛物线, 所以 ?

? y ? | x ? ?1 ? 0, ? y ? | x ? 3 ? 0.

即?

?(?3 ? t )( ?1 ? t ) ? 0. 解得 t ? ?9或t ? 3. ?(9 ? t )(3 ? t ) ? 0.

所以 t 的取值范围为 (??,?9] ? [3,??). .

用心

爱心

专心

8


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