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苏教版高中数学(必修5)1.3《正弦定理、余弦定理的应用》word教案2篇

正弦定理余弦定理的应用(教学过程
教学过程: Ⅰ.课题导入
解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,如果我们抽 去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就要提高 分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.
下面,我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用. Ⅱ.讲授新课
[例 1]自动卸货汽车的车箱采用液压结构,设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长度.已知 车箱的最大仰角为 60°,油泵顶点 B 与车箱支点 A 之间的距离为 1.95 m,AB 与水平线之 间的夹角为 6°20′,AC 长为 1.40 m,计算 BC 的长(保留三个有效数字).
分析:求油泵顶杆 BC 的长度也就是在△ABC 内,求边长 BC 的问题,而根据已知条件, AC=1.40 m,AB=1.95 m,∠BAC=60°+6°20′=66°20′.相当于已知△ABC 的两 边和它们的夹角,所以求解 BC 可根据余弦定理.
解:由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA =1.952+1.402-2×1.95×1.40×cos66°20′=3.571 ∴BC≈1.89 (m) 答:油泵顶杆 BC 约长 1.89 m. 评述:此题虽为解三角形问题的简单应用,但关键是把未知边所处的三角形找到,在转 换过程中应注意“仰角”这一概念的意义,并排除题目中非数学因素的干扰,将数量关系从 题目准确地提炼出来. [例 2]某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测 出该渔船在方位角为 45°、距离 A 为 10 n mile 的 C 处,并测得渔船正沿方位角为 105°的 方向,以 9 n mile/h 的速度向某小岛 B 靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去 营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间. 分析:设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为 x h,则利用余弦定理建立方程来解决较好, 因为如图中的∠1,∠2 可以求出,而 AC 已知,BC、AB 均可用 x 表示,故可看成是一个已 知两边夹角求第三边问题. 解:设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为 x h,则 AB=21x n mile,BC=9x n mile,AC =10 n mile,∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°-105°)=120° 根据余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°得 (21x)2=102+(9x)2-2×10×9xcos120°, 即 36x2-9x2×10=0
解得 x1=23 ,x2=-152 (舍去) ∴AB=21x=14,BC=9x=6 再由余弦定理可得:cosBAC=AB2+2AABC·A2-C BC2 =1422+×1140×21-0 62 =0.9286, ∴∠BAC=21°47′,45°+21°47′=66°47′.

而舰艇方位角为 66°47′,23 小时即 40 分钟.

答:舰艇应以 66°47′的方位角方向航行,靠近渔船则需要 40 分钟. 评述:解好本题需明确“方位角”这一概念,方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标 方向线的水平角,其范围是(0°,360°). 在利用余弦定理建立方程求出 x 后,所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问 题,故仍然利用余弦定理. 从上述两个例题,大家可以看出,实际问题的解决关键在于转化为具体的解三角形问题, 从而与我们已知的知识方法产生联系.在下面的例题分析中,我们继续加以体会. [例 3]如图,在海岸 A 处发现北偏东 45°方向,距 A 处( 3 -1)海里的 B 处有一 艘走私船.在 A 处北偏西 75°方向,距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船,奉命以 10 3 海里 /时的速度追截走私船,此时走私船正以 10 海里/时的速度,从 B 处向北偏东 30°方向逃 窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间. 解:设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获(在 D 点)走私船, 则 CD=10 3 t 海里,BD=10t 海里. ∵BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA =( 3 -1)2+22-2( 3 -1)·2cos120°=6 ∴BC= 6

∵sBinCA =sin∠ACABC

∴sinABC=ACB·sCinA

=2sin1200 6



2 2

∴∠ABC=45°,∴B 点在 C 点的正东方向上,

∴∠CBD=90°+30°=120°

∵sin∠BDCBD =sin∠CDCBD

∴sin∠BCD=BD

sin∠CBD CD

=10t sin120° 10 3 t

=12



∴∠BCD=30°,∴∠DCE=90°-30°=60°

由∠CBD=120°,∠BCD=30°,得∠D=30°

∴BD=BC,即 10t= 6

∴t= 106(小时)≈15(分钟) 答:缉私船沿北偏东 60°的方向行驶,才能最快截获走私船,需时约 15 分钟. [例 4]用同样高度的两个测角仪 AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们的正西方向的上空, 分别测得气球的仰角是 α 和 β,已知 B、D 间的距离为 a,测角仪的高度是 b,求气球的高度. 分析:在 Rt△ EGA 中求解 EG,只有角 α 一个条件,需要再有一边长被确定,而△ EAC 中有较多已知条件,故可在△ EAC 中考虑 EA 边长的求解,而在△ EAC 中有角 β,∠EAC= 180°-α 两角与 BD=a 一边,故可以利用正弦定理求解 EA. 解:在△ ACE 中,AC=BD=a,∠ACE=β,∠AEC=α-β,

根据正弦定理,得 AE=sin(a sαi-nββ)

在 Rt△ AEG 中,EG=AEsinα=sian(sinαα-sinββ)

∴EF=EG+b=sian(sinαα-sinββ) +b,

答:气球的高度是sian(sinαα-sinββ) +b.

评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设 EG=x,在 Rt△EGA

中,利用 cotα 表示 AG;在 Rt△EGC 中,利用 cotβ 表示 CG,而 CG-AG=CA=BD=a,

故可以求出 EG,又 GF=CD=b,故 EF 高度可求.

[例 5]如图所示,已知半圆的直径 AB=2,点 C 在 AB 的延长线上,BC=1,点 P 为

半圆上的一个动点,以 DC 为边作等边△PCD,且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧,求四

边形 OPDC 面积的最大值.

分析:要求四边形 OPDC 面积的最大值,这首先需要建立一个面积函数,问题是选谁

作为自变量,注意到动点 P 在半圆上运动与∠POB 大小变化之间的联系,自然引入∠POB

=θ 作为自变量建立函数关系.四边形 OPDC 可以分成△OPC 与等边△PDC,S△OPC 可用

1 2

·OP·OC·sinθ

表示,而等边△PDC 的面积关键在于边长求解,而边长 PC 可以在△POC

中利用余弦定理表示,至于面积最值的获得,则通过三角函数知识解决. 解:设∠POB=θ ,四边形面积为 y,则在△POC 中,由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP·OCcosθ =5-4cosθ

∴y=S△OPC+S△PCD=12 ×1×2sinθ + 43(5-4cosθ )

=2sin(θ -π3 )+54 3

∴当θ -π3

=π2

即θ =5π6

时,ymax=2+5

4

3 .

评述:本题中余弦定理为表示△PCD 的面积,从而为表示四边形 OPDC 面积提供了可

能,可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据,一般地也是分析几何量之间关系的重要公式,

要认识到这两个定理的重要性.

另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ

的构造及逆用,应要求学生予以重视.

Ⅲ.课堂练习

课本 P20 练习 1,2,3,4. Ⅳ.课时小结

通过本节学习,要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时,掌握由实际问

题向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力.

Ⅴ.课后作业

课本 P21 习题 1,2,3.

解三角形应用举例(二) 教学目标:
进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法,明确解斜三角形知识在实际中有着广 泛的应用,熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化,通过解斜三角形的应用的教学,继 续提高运用所学知识解决实际问题的能力;通过解斜三角形在实际中的应用,要求学生体会 具体问题可以转化为抽象的数学问题,以及数学知识在生产,生活实际中所发挥的重要作用. 教学重点:

1.实际问题向数学问题的转化; 2.解斜三角形的方法 教学难点: 实际问题向数学问题转化思路的确定 教学过程: Ⅰ.复习回顾 上一节,我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用,了解了一些把实际问题转化为 解三角形问题的方法,掌握了一定的解三角形的方法与技巧.这一节,我们给出三个例题, 要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决. Ⅱ.例题指导 [例 1]如图所示,为了测量河对岸 A、B 两点间的距离,在这一岸定一基线 CD,现 已测出 CD=a 和∠ACD=α,∠BCD=β,∠BDC=γ,∠ADC=δ,试求 AB 的长. 分析:如图所示,对于 AB 求解,可以在△ ABC 中或者是△ ABD 中求解,若在△ ABC 中,由∠ACB=α-β,故需求出 AC、BC,再利用余弦定理求解.而 AC 可在△ ACD 内利用正 弦定理求解,BC 可在△ BCD 内由正弦定理求解. 解:在△ ACD 中,已知 CD=a,∠ACD=α,∠ADC=δ,由正弦定理得
AC=sin[1800a-si(nδα+δ)] =sin(a sαi+nδδ)
在△ BCD 中,由正弦定理得
BC=sin[1800a-si(nββ+γ)] =sin(a sβi+nβγ)
在△ ABC 中,已经求得 AC 和 BC,又因为∠ACB=α-β,所以用余弦定理.就可以求得 AB= AC2+BC2-2AC·BC·cos(α-β)
评述:(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用; (2)注意体会例 1 求解过程在实际当中的应用. [例 2]据气象台预报,距 S 岛 300 km 的 A 处有一台风中心形成,并以每小时 30 km 的速度向北偏西 30°的方向移动,在距台风中心 270 km 以内的地区将受到台风的影响.问:S 岛是否受其影响?若受到影响,从现在起经过多少小时 S 岛开始受到台风的影响?持续时间多 久?说明理由. 分析:设 B 为台风中心,则 B 为 AB 边上动点,SB 也随之变化.S 岛是否受台风影响可 转化为 SB≤270 这一不等式是否有解的判断,则需表示 SB,可设台风中心经过 t 小时到达 B 点,则在△ ABS 中,由余弦定理可求 SB. 解:设台风中心经过 t 小时到达 B 点, 由题意,∠SAB=90°-30°=60° 在△ SAB 中,SA=300,AB=30t,∠SAB=60°, 由余弦定理得: SB2=SA2+AB2-2SA·AB·cosSAB =3002+(30t)2-2·300·30tcos60° 若 S 岛受到台风影响,则应满足条件 |SB|≤270,即 SB2≤2702 化简整理得,t2-10t+19≤0 解之得,5- 6 ≤t≤5+ 6 所以从现在起,经过 5- 6 小时 S 岛开始受到影响,(5+ 6 )小时后影响结束. 持续时间:(5+ 6 )-(5- 6 )=2 6 小时.

答:S 岛受到台风影响,从现在起,经过(5- 6 )小时,台风开始影响 S 岛,且持续 时间为 2 6 小时.
评述:此题为探索性命题,可以假设命题成立去寻求解存在条件,也可假设命题不成立 去寻求解存在条件.本题求解过程采用了第一种思路.SB≤270 是否有解最终转化为关于 t 的一 元二次不等式是否有解,与一元二次不等式解法相联系.
说明:本节两个例题要求学生在教师指导下自己完成,以逐步提高解三角形应用题的能 力. 练习:
1.海中有一小岛 B,周围 3.8 海里有暗礁,军舰由西向东航行到 A,望见岛在北 75°东, 航行 8 海里到 C,望见岛 B 在北 60°东,若此舰不改变航向继续前进,有无触礁危险?
答案:不会触礁. 2.直线 AB 外有一点 C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 速度由 A 向 B 行 驶,同时摩托车以 50 公里的时速由 B 向 C 行驶,问运动开始几小时后,两车的距离最小. 答案:约 1.3 小时. Ⅲ.课时小结 通过本节学习,要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法,明确解斜三 角形知识在实际中的广泛应用,熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化,逐步提 高数学知识的应用能力. Ⅳ.课后作业 课本 P21 习题 4,5,6. V.板书设计
第 6 课时:§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)
【三维目标】: 一、知识与技能
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算
角度的实际问题
2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题,并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公 式解决这些问题;
二、过程与方法 本节课是解三角形应用举例的延伸,利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几 何和物理上的问题
三、情感、态度与价值观
1.让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力;进一步培养 学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
2.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在教学过程中激发学生 的探索精神

【教学重点与难点】: 重点:利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题 难点:利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题
【学法与教学用具】: 1. 学法:能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用,有些题目只选用其
一,或两者混用,这当中有很大的灵活性,需要对原来所学知识进行深入的整理、加工,鼓 励一题多解,训练发散思维。借助计算机等媒体工具来进行演示,利用动态效果,能使学生 更好地明辨是非、掌握方法。
2. 教学用具:直尺、多媒体、实物投影仪. 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1 课时 【教学思路】:
一、创设情景,揭示课题
总结解斜三角形的要求和常用方法: (1)利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:
①已知两角和任一边,求其它两边和一角; ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求其它的边和角. (2)应用余弦定理解以下两类三角形问题: ①已知三边求三内角;②已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个内角.
二、研探新知,质疑答辩,排难解惑,发展思维

例 1(教材 P21 第 7 题)如图,有两条相交成 60 角的直线 XX? 、YY?,
Y
交点是 O ,甲、乙分别在 OX 、OY 上,起初甲离 O 点3 千米,乙离 OQ点?

1千米,后来两人同时用每小时 4 千米的速度, 甲沿 XX? 方向,乙沿Y?Y 方向步行, (1)起初,两人的距离是多少?

B?

P?

X?

O

?
AX

(2)用包含 t 的式子表示t 小时后两人的距离; Y?

(3)什么时候两人的距离最短?

解:(1)设甲、乙两人起初的位置是 A 、 B ,

则 AB2 ? OA2 ? OB2 ? 2OA?OB cos 60 ? 32 ?12 ? 2?3?1? 1 ? 7 ,∴起初,两人的距离是 7 .
2
(2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P、Q ,则 AP ? 4t ,

BQ ? 4t ,
P 2 ?(
P 2 ?(


Q 3? 2

Q 4? 2

0?t? 3 4

4t ?

2

t?3 4

t3?



); ? t

(



2

,) ? t



?

t1 2



(

?t

所以, PQ ? 48t2 ? 24t ? 7 .

(3)PQ2 ? 48t2 ? 24t ? 7 ? 48(t ? 1)2 ? 4 ,∴当 t ? 1 时,即在第15

4

4

分钟末, PQ 最短。

答:在第15 分钟末,两人的距离最短。

例 2(教材 P19 例 3)作用在同一点的三个力 F1, F2 , F3 平衡.已知 F1 ? 30N , F2 ? 50N ,

F1 与 F2 之间的夹角是 60 ,求 F3 的大小与方向(精确到 0.1 ).

解: F3 应和 F1, F2 合力 F 平衡,所以 F3 和 F 在同一直线上,并且

大小相等,方向相反.如图 1-3-3,在 ?OF1F 中,由余弦定理,得

F ? 302 ? 502 ? 2?30?50cos120 ? 70? N ? .再由正弦定理,得

sin

?F1OF

?

50 sin 120 70

?

53 14

,所以 ?F1OF

?

38.2

,从而 ?F1OF3

? 141.8

.

图 1-3-3

答 F3 为 70N , F3 与 F1 之间的夹角是141.8 .

本例是正弦定理、余弦定理在力学问题中的应用,教学时可作如下分析:由图根据余弦

定理可求出 OF ,再根据正弦定理求出 ?F1OF .

例 3(教材 P19 例 4)如图 1-3-4,半圆 O 的直径为 2 ,A 为直径延长线上的一点,OA ? 2 ,

B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作等边三角形 ABC .问:点 B 在什么位置时,四边 形 OACB 面积最大? 分析:四边形的面积由点 B 的位置唯一确定,而点 B 由 ?AOB 唯一确定,因此可设 ?AOB? ? ,再用? 的三角函数来表示四边形 OACB 的面积. 解 : 设 ?A O? ?B . 在 ?AOB 中 , 由 余 弦 定 理 , 得

AB2 ? 1 ?2 2? ?2 ?2 1? ? 2? c o? . s

5 4 cos

于是,四边形 OACB 的面积为

S

?

S?AOB

?

S?ABC

?

1 2

OA?OB sin?

?

3 AB2 4

? 1 ? 2?1? sin? ? 3 ?5 ? 4 cos? ? ? sin? ? 3 cos? ? 5 3

2

4

4

?

2

sin

????

?

? 3

? ??

?

5 4

3.

图 1-3-4

因为 0 ? ? ? ? ,所以当? ? ? ? ? 时,? ? 5 ? ,即 ?AOB ? 5 ? 时,

32

6

6

四边形 OACB 的面积最大.

对于本例,教学中可引导学生分析得到四边形 OACB 的面积随着? ??AOB? 的变化

而变化.这样将四边形 OACB 的面积表示成 ? 的函数,利用三角形的有界性求出四边形 OACB 面积的最大值.

三、巩固深化,反馈矫正

教材 P20 第 1,2 题
四、归纳整理,整体认识
由学生总结本节课的内容
五、承上启下,留下悬念

六、板书设计(略)

七、课后记:

妹妹,你就这样悄无声息地消失在茫茫的人海,消失在我日夜的想念中。不曾带走我对你的点点回忆。千重山,万重水,割不断的是情深似海如潮的的思念。
默默坐在屏前,手指在键盘上轻轻的划过,所有的怀想,所有根植脑海抹不去的记忆,都凝聚指尖,触动着流年的痕迹,把一纸素笺的心事,轻吟纸笺,等你从陌上归来。我的妹妹,你 在哪里啊?哪里?问天,天不语,问己,己不明。想你的日子,见不到你的踪迹,让我陷入了沉思。有关你的一切,早已深深铭刻在心里。

妹妹,你是我心底最珍贵的爱!回想起我们一起度过的时光,是那么的美好。所有的细节历历在目。还记得我们初遇的散文吧吗?第一次与你相遇,是在你的空间,欣赏你温婉如水的文 字,一看到你的笔名冰格格,不问为什么,就一下子惊艳了我的目光,一下子就喜欢上了你高贵典雅的名字,喜欢上了你才华横溢精彩的文字,喜欢上了你冰清玉洁的聪慧,喜欢上了你的一 切。
妹妹,生命中的许多东西是可遇不可求的。姐姐能幸运的遇上你,是天意,是缘分,更是生命中注定让我们有共同爱好文字,走到了一起。在那些快乐美好的日子里,我们互相点评文章, 互相推心置腹的发短信交流,很快,我们就成了无话不说的网上好姐妹,彼此都会为伤感文字而流泪,也会为彼此的喜悦而欢呼雀跃
妹妹,姐姐永远不会忘记,在姐姐最困难的时候,是你不离不弃的向姐姐伸出援助之手,帮我渡过难关。是你一次次发短信打电话,询问病情,关心着姐姐。
记得那次,当电话那端,传来千里之外,你亲切的声音,那一刻,姐姐接电话的手在颤抖,心在激烈的跳动,姐姐卸掉所有的坚强面具,再也控制不了自己的情感,竟在你面前痛哭的发 泄流泪。你用温暖的话语,安慰鼓励着姐姐,为姐姐抹去眼角的泪痕,把微笑的阳光,洒向姐姐的世界,从此,你就成了姐姐一生的感恩。
妹妹,你在姐姐的眼里,是没有血缘关系,如同骨肉的亲人,甚至超越亲情的朋友,你留给姐姐的是太多太多的感动。常常让姐姐沉浸在绵绵幸福的回忆中。
妹妹,在姐姐悲痛欲绝地行走在死亡的边缘,是你的到来,让友情如一盏明灯,照彻我的灵魂,温暖着姐姐黑夜里的寒冷。从散文网到 007 等,一路走来,一根网线把我们紧紧的连在一 起,从相遇到相识,相知,想念,我们心灵共鸣,灵魂相依。
都说网络是虚拟的,没有真情,可是网络却让我们结下一份难解难分的真情。没有刻意,没有设计,只有一次的相遇,就让不在一个区域,从未谋面的你我,千里之距,心心相连。
妹妹,美好的日子总是过得太快,时间如白驹过隙,屈指算来,我与你已相识六年,六年来,你一直在我的心里,梦里。如今,你突然从我和众朋友的世界里,消失的无影无踪,怎能不 让我为你忧虑牵挂,你知道吗?这些日子,网上的朋友们都在打听你的消息,他们想念着你,梦海,汉茂油桃老师,小傻子等,和我给你发信息,给你打电话,一次次的找遍了整个网络空间, 和你相约的地方,可是,我们不管以怎样的方式,都没盼来你的回音,让我们焦急万分。
妹妹,你去了哪里?是去执行任务,还是外派他地。我们无从知晓。当从北京那里得到点滴消息,如今,你陷入困境,无法自拔,我们为你心疼,为你担心。我们怎能忍心看到你一个人, 独自承受那么多的精神压力。
妹妹,姐姐明白,善良的你,不愿让亲人和朋友分担你的痛苦,所以,没有告别,而孑然一人,走到与世隔绝的角落
妹妹,无论你在何方,无论北京来的信息是否可靠,无论你现今有多忙,无论你发生怎样的挫折,姐姐希望你别忘记,抽空给你的亲人,和朋友打个电话,或发个信息,报一声平安,不 能让爱你的那个人,独自默默煎熬孤独,徒留苍茫地想念。不能让你的朋友,日夜为你担心,望眼欲穿的期盼,有什么困难说出来,让大家替你想想办法,帮助你做点什么。
妹妹,人生的路,总不会是一帆风顺。总会遇到各种各样的风雨坎坷。很多事情,都是无法预料中发生,遇到困难,我们要学会坚强的面对,一首歌里唱得好“当灵魂迷失在苍凉的天和地 /还有最后的坚强在支撑我身体/当灵魂赤裸在苍凉的天和地/我只有选择坚强来拯救我自己。”梦海在给你的诗里写道:‘谁不能不顾自己的生命/而为那一点小小的纠纷/和偶尔的失误、、、、、、 而丧失了斗志/和坚强'
遥望远方,思绪蔓延。妹妹,你在哪里啊?你在哪里?你可听到远方姐姐的呼唤!望断天涯,路漫漫,既已相遇,何忍分离。