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高考数学一轮复习第七章立体几何第43讲空间向量及其运算课件理_图文

第七章

立体几何

第43讲 空间向量及其运算

考纲要求

考情分析

命题趋势

2015,浙江卷,8T

1.了解空间直角坐标 系,会用空间直角坐

2016,山东卷,17T

标表示点的位置.

2.会推导空间两点

间的距离公式.

分值:3分

空间直角坐标系、 空间向量及其运算在 高考中主要作为解题 工具,解决直线、平 面的平行、垂直位置 关系的判定等问题.

栏目导 航

板块一 板块二 板块三 板块四

? 1.空名间称 向量的有关概念 概念

零向量

模为_0__的向量

单位向量 相等向量

长度(模)为__1_的向量 方向相___同___且模相___等___的向量

相反向量

方向相__反____且模_相___等__的向量

共线向量 平表__示_行_空__或间__向_重_量__合的__有_的向向线量段所在的直线互相

共面向量

平行于同一个平___面___的向量

表示 0
a=b a的相反向量为-a
a∥b

2.空间向量中的有关定理

(1)共线向量的定理 空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ,使得___b__=__λ__a_.

推论 如图所示,点P在l上的充要条件是O→P=O→A+ta.①

其中a叫直线l的方向向量,t∈R,在l上取

→ AB

=a,则①可化为

O→P=O→A+tA→B或O→P=__(_1_-__t)_O→__A_+__tO_→_B__.

(2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式:p=__x_a_+___y_b,其中x,y∈R,a,

b为不共线向量,推论的表达式为M→P=xM→A+yM→B或对空间向量任意 一点O,有O→P=___O→_M__+__x_M→_A__+__yM_→_B___或O→P=xO→M+yO→A+zO→B,其中x+y+z=__1_.

? (3)空间向量基本定理 ? 如向_做_果量_这_λ向,_个1e_1量那_空+_e么_间λ1_2,e存_的2_+e在_一2_,λ唯_个3e_e3一_基3是,一底空空组.间间实三中数个不λ不1共,共面λ2面的,的三λ3,向个使量向得,量aae=是1,空e2间,任e3一叫

3.空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作

→ OA

=a,

→ OB

=b,则∠AOB叫做

向量a与b的夹角,记作_〈__a__,__b_,〉其范围是__0__≤_〈___a_,___b_〉___≤__π,若〈a,b〉=

π 2



则称a与b__互___相___垂__直__,记作a⊥b.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a,b,则___|_a_||_b_|_c_o_s_〈___a__,_叫b做〉向量a,b的数量积,记 作___a_·_b__,即a·b=__|a__||_b_|_c_o_s_〈___a_,_.b〉

? (2)空间向量数量积的运算律 ? ①结合律:(λa)·b=___λ(_a_·_b_)_____; ? ②交换律:a·b=___b_·_a______; ? ③分配律:a·(b+c)=____a_·b_+__a_·_c_.

? 4.空间向量的坐标表示及其应用 ? 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).

数量积 共线 垂直 模

向量表示 a·b
a=λb(b≠0,b∈R) a·b=0(a≠0,b≠0)
|a|

夹角

〈a,b〉

(a≠0,b≠0)

坐标表示
a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0 a21+a22+a32
cos〈a,b〉= a1b1+a2b2+a3b3 a21+a22+a32· b21+b22+b23

? 1.思维辨析(在括号内打“√”或“ ”).
? (1)空间中任意两非零向量a,b共面.( √ )
? (2)对任意两个空间向量a,b,若a·b=0,则a⊥b.( ×)
? (3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个 零向量.( × )
? (4)若a·b<0,则〈a,b〉是钝角.( × )

2.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若

→ AB

=a,A→D=b,A→A1=c,则下列向量中与B→M相等的向量是( A )

A.-12a+12b+c

B.12a+12b+c

C.-12a-12b+c

D.12a-12b+c

解析:B→M=B→A+A→A1+A→1M=-a+c+12(a+b)=-12a+12b+c.

3.与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是( A )

A.????3102,252,-

22????和????-3102,-252,

2?? 2 ??

B.????3102,252,-

2?? 2 ??

C.????-3102,-252,

2?? 2 ??

D.????3102,252,

22????或????-3102,-252,-

2?? 2 ??

解析:因为与向量a共线的单位向量是±|aa|,

又因为向量(-3,-4,5)的模为 ?-3?2+?-4?2+52=5 2,

所以与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是±

1 52

(-3,-4,5)=±

2 10

(-3,-

4,5),故选A.

4.如图,在四面体O-ABC中,O→A=a,O→B=b,O→C=c,D为BC的中点,E为AD 的中点,则O→E=___12_a_+__14_b_+__14_c___(用a,b,c表示).
解析:O→E=O→A+A→E=O→A+12A→D=O→A+12(A→O+O→D)=12O→A+14(O→B+O→C)=12a+14b +14c.

? 5.已知a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y 的值为_____1_或__-__3__.
解析:∵|a|= 22+42+x2=6,即x=±4, 又∵a⊥b,即a·b=0,即4+4y+2x=0, 即?????xy==4-,3 或?????xy==-1,4, 故x+y=1或x+y=-3.

?一 空间向量的线性运算
? 用已知向量表示某一向量的方法
? 用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以 图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、 减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量 之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点 的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法 则仍然成立.

【例1】

如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设

→ AA1

=a,

→ AB

=b,

→ AD



c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:

(1)A→P;(2)A→1N;(3)M→P+N→C1.

解析:(1)∵P是C1D1的中点, ∴A→P=A→A1+A→1D1+D→1P=a+A→D+12D→1C1 =a+c+12A→B=a+c+12b.

(2)∵N是BC的中点, ∴A→1N=A→1A+A→B+B→N=-a+b+12B→C=-a+b+12A→D=-a+b+12c. (3)∵M是AA1的中点, ∴M→P=M→A+A→P=12A→1A+A→P=-12a+???a+c+12b??? =12a+12b+c,又N→C1=N→C+C→C1=12B→C+A→A1=12A→D+A→A1=12c+a, ∴M→P+N→C1=???12a+12b+c???+???a+12c???=32a+12b+32c.

?二 共线定理、共面定理的应用

(1)证明点共线的方法:

证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题,如证明A,B,C三点共线,

即证明A→B,A→C共线,亦即证明A→B=λA→C(λ≠0).

(2)证明点共面的方法:

证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P,A,B,C四点共面,

只要能证明P→A=xP→B+yP→C或对空间任一点O,有O→A=O→P+xP→B+yP→C或O→P=xO→A+

y

→ OB

+z

→ OC

(x+y+z=1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面

的充要条件.

【例2】 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中 点,
(1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)求证:BD∥平面EFGH; (3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有O→M=14(O→A+O→B+O→C+ O→D).

证明:(1)如图,连接BG, 则E→G=E→B+B→G=E→B+12(B→C+B→D) =E→B+B→F+E→H=E→F+E→H. 由共面向量定理的推论知: E,F,G,H四点共面. (2)因为E→H=A→H-A→E =12A→D-12A→B=12(A→D-A→B)=12B→D, 所以EH∥BD. 又EH?平面EFGH,BD?平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.

(3)找一点O,并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,如图所示. 由(2)知E→H=12B→D,同理F→G=12B→D, 所以E→H=F→G,即EH FG,所以四边形EFGH是平行四边形. 所以EG,FH交于一点M且被M平分. 故O→M=12(O→E+O→G)=12O→E+12O→G =12???12?O→A+O→B????+12???12?O→C+O→D????=14(O→A+O→B+O→C+O→D).

?三 空间向量数量积的应用

数量积的应用

(1)求夹角,设向量a,b所成的角为θ,cos

θ=

a·b |a||b|

,进而可求两异面直线所成

的角.

(2)求长度(距离),运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量

积的计算问题.

(3)解决垂直问题,利用a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量

数量积的计算问题.

? 【例3】 如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和 对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中 点.
? (1)求证MN⊥AB,MN⊥CD;
? (2)求MN的长;
? (3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.

解析:(1)证明:设A→B=p,A→C=q,A→D=r. 由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60°. M→N=A→N-A→M=12(A→C+A→D)-12A→B=12(q+r-p), ∴M→N·A→B=12(q+r-p)·p=12(q·p+r·p-p2) =12(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0. ∴M→N⊥A→B,即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.

(2)由(1)可知M→N=12(q+r-p), ∴|M→N|2=14(q+r-p)2=14[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)] =14???a2+a2+a2+2???a22-a22-a22??????=14×2a2=a22. ∴|M→N|= 22a.∴MN的长为 22a.

(3)设向量A→N与M→C的夹角为θ. ∵A→N=12(A→C+A→D)=12(q+r),M→C=A→C-A→M=q-12p, ∴A→N·M→C=12(q+r)·???q-12p???=12(q2-12q·p+r·q-12r·p) =12???a2-12a2cos 60°+a2cos 60°-12a2cos 60°???=12???a2-a42+a22-a42???=a22. 又∵|A→N|=|M→C|= 23a,∴A→N·M→C=|A→N||M→C|cos θ= 23a× 23a×cos θ=a22. ∴cos θ=23.∴向量A→N与M→C的夹角的余弦值为23,从而异面直线AN与CM所成角 的余弦值为23.

1.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果a与b为共线向量,则( C )

A.x=1,y=1

B.x=12,y=-12

C.x=16,y=-32

D.x=-16,y=32

解析:∵a=(2x,1,3)与b=(1,-2y,9)共线,

??1=2λx, ∴?-2y=λ,
??9=3λ,

∴?????xy==16-,32.

? 2F面.是A如A1BC图1上C,D的的正点位方,置体且关AAB系1CE为D=-_2A_E1_BB_1,_C_1C_D_F1_中=__,2_A_EF_是,__A则_1_BE_上F__与的. 平点,
EF∥平面A1B1CD

解析:以D为原点,DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体

边长为1,由A1E=2EB,CF=2AF,则A1(1,0,1), B1(1,1,1),E ???1,23,13??? ,

F???23,13,0???,D(0,0,0),C(0,1,0),可得E→F=???-13,-13,-13???,

→ A1B1

=(0,1,0),

→ A1D



(-1,0,-1),设n=(x,y,z)为平面A1B1CD的法向量,则有n⊥

→ A1B1

,n⊥

→ A1D

,故

??y=0, ???-x-z=0,

令x=1,得z=-1,即n=(1,0,-1),

→ EF

·n=0,∴

→ EF

⊥n,∴EF∥

平面A1B1CD.

3.三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向

量O→A,O→B,O→C表示M→G,O→G.

解析:

→ MG



→ MA



→ AG



1 2

→ OA



2 3

→ AN



1 2

→ OA



2 3

(

→ ON



→ OA

)=

1 2

→ OA



2 3

???12?O→B+O→C?-O→A???

=-16O→A+13O→B+13O→C.

O→G=O→M+M→G=12O→A-16O→A+13O→B+13O→C

=13O→A+13O→B+13O→C.

? 4.(2017·湖南张家界模拟)如图所示,四棱柱 A端B点CD的-A三1B条1C棱1D长1中都,为底1,面且为两平两行夹四角边为形6,0°以. 顶点A为
? (1)求AC1的长; ? (2)求证:AC1⊥BD; ? (3)求BD1与AC夹角的余弦值.

解析:(1)记A→B=a,A→D=b,AA1=c, 则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ∴a·b=b·c=c·a=12. |A→C1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a) =1+1+1+2×???12+12+12???=6, ∴|A→C1|= 6,即 AC1 的长为 6.

(2)证明:∵A→C1=a+b+c,B→D=b-a.

∴A→C1·B→D=(a+b+c)·(b-a)=a·b+|b|2+b·c-|a|2-a·b-a·c

=b·c-a·c=|b|·|c|cos 60°-|a||c|cos 60°=0.

∴A→C1⊥B→D,∴AC1⊥BD.

(3)由题意知B→D1=b+c-a,A→C=a+b,则|B→D1|= 2,|A→C|= 3,

B→D1·A→C=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1.

∴cos〈B→D1,A→C〉=

→→ BD1·AC →→



66.∴AC



BD1

夹角的余弦值为

66.

|BD1||AC|

?易错点1 “两向量同向”意义不清致误
? 错因分析:将a,b同向和a∥b混淆,没有搞清a ∥ b 的意义是a,b方向相同或相反.
? 【例1】 已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y), 并且a,b同向,则x,y的值分别为________.

解析:由题意知a∥b,所以1x=x2+2y-2=3y,即?????yx=2+3yx-,2=2x,

① ②

把①代入②得x2+x-2=0,(x+2)(x-1)=0,解得x=-2或x=1,

当?????xy==--26, 时,b=(-2,-4,-6)=-2a,

两向量a,b反向,不符合题意,所以舍去.

当?????xy==13, 时,b=(1,2,3)=a,a与b同向,所以?????xy==13,.

答案:1,3

编后语
? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。

2019/7/12

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谢谢欣赏!

2019/7/12

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